Full text of "Cours de géométrie descriptive et ses applications au dessin des machines, a l'usage des éleves des Écoles royales d'arts et métiers"

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>;,l,ZDdbyG00gIC 



S'a/ 
J-39 



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,.;,l,ZDdbyG00gle 



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nrr. 



COURS 



GÉOMÉTRIE DESCRIPTIVE 



APPLICATIONS AU DESSIN DBS MACHINES. 



3,q,l,ZDdbvG00gIC 



by Google 



t3l> 



l GÉONlTRIE DESCRIPTIVE 

APPUCATIONS AU DESSIN DES MACHINES, 



; ÉLim m écoles mnm d'ahts et i^m, 

|)i>r 3. 3ario, 



PABIS , 

MATHIAS, * LA LiaïkiiiEscmtirigiTii 
■TmiTKTUBu.K,Qaii aArtoiiA», lE. 



MARSEILLE , 

LIIKAIKIB OB.M-' CAMOIN. 



TOmOM , 

niAiBiE DsHOHGEn VILLAMtlS. 

AIX, 

El HÀKAIRE Et DELEUIL. 

1846. 



J,.:,z,;i.,C00gIC 



i.vCoogIc 



2; AVANT-PHOPOS. 

'^ Cet Abrégé de Géométrie descriptive est destiné à 
^ donner aux élèves des Écoles d'arts et naétiers, les 
î» moyens d'appliquer immédiatement celle science, soit 
au dessin , soit aux travaux qu'ils sont appelés à exé-> 
"3, culer dans leurs ateliers. Pour des praticiens , un cburs 
"^ de Géométrie descriptive doit être essentiellement pra- 
(^ tique. J'ai donc cherché^ dès le début , à montrer tout 
, le parti qu'on peut tirer des problèmes les plus simples 
et les pins faciles à résoudre, sur la ligne droite et le 
plan. Ces problèmes m'ont conduit de suite au' tracé 
des projections des corps. J'ai joint à cette partie du 
cours les développements nécessaires .pour initier les 
élèves aux méthodes de la projection oblique , si ha< 
bilement mises en lumières par M. Similien , profes- 
seur de dessin à l'École d'Angers. Ce cours, aous ce 
point de vue, n'est quelecomplémentdii^ien. Ce qu'il 
n'a pu dire dans un cours de dessin où il suppose ac- 
quises les connaissances de la Géométrie descriptive, 
je l'ai donné dans ce petit Traité. Avec ce seul secours , 
les élèves parviendraient difficilemwit à mettre un corps 
en projection oMique ; mais en étudiant la'Géométrie 
descriptive soiis cette forme , ils s'assimileront plus ai- 
sément les élégantes méthodes de M. Similien. 

Parmi les surfaces courbes, le cylindre, le cône et 
la sphère, m'ont offert de nombreuses abdications de 
ce qui se Ëiit fréquemment dans les ateliers, et notam- 



i.vCooglc 



ment dans celui des tours et motlèles, où les tracés 
empruntent toutes leurs méthodesà la Géométne. Ces 
mêmes problèmes m'ont conduit à traiter d'une ma- 
nière générale les questions qui se rapportent aux om- 
bres des corps, propres ou portées. Mais ce travail, 
pris isolément , serait tout à fait incomplet , si les élèves 
n'avaient entre leurs mains le Traité des ombres de M. 
Similien , où l'auteur a découvert des tracés aussi sim- 
ples qu'élégants, en donnant au rayon luminjeuxuDe 
direction constante et particulière, qui permet de sim- 
ptifier beaucoup les méthodes générales. 

Enfin, l'art de travailler le bois «tant un de ceux en- 
seignés dans les Écoles, j'ai cru devoir joindre aux 
principes sur les ombres, quelques principes de char- 
pente, particulièrement appliqués aux machines. 

Cette disposition et ce choix des matières m'ont pa- 
ru propres à faire comprendre aux élèves l'usage qu'ils 
peuvent faire de la Géométrie descriptive dans leurs 
travaux graphiques et pratiques. En réunissant ainsi 
dans le plus petit cadre possible le plus grand nombre, 
de notions utiles et pratiques sur cette science , j'ai cru 
satisfaire à uu besoin généralementsentidans nosEco- 
les, de ne plus taire apprendre la Géométrie descriptive 
isolément , mais de la rattacher, par ses applications, 
au Cours de dessin et à l'enseignement pratique. Je re- 
cevrai toutefois à cet égard, avec la plus vive recon- 
naissance , toutes les observations qui pourront m' éclai- 
rer sur la meilleure marche à imprimer aux études dans 
nos Écoles. Je serai toujours heureux de joindre à l'ex- 
périence que j'y ai déjà acquise, les lumières des per- 
sonnes qui , comme moi , ont consacré leur vie à cette 
oeuvre éminemment utile et attrayante, l'enseigne- 
ment de la jeunesse. 



i.vCoogIc 



FAVm ■SSEVTIEXJ.H A OOXUUOSR- ' 

Page 1^ , s 8. daDsIetitreduparagritphe, àlaplace des 
lettres , V , H , P , substitues v, k, p. 

Page i5, ligne i3. la po'iat p* , lises le poinlp". 

idem ligne 36. les projections des points v' , h' , fig. 8, 
/ûeîltisprojectionsv'elV d'un point, 
%.8. ■ 

Page 21 , ligiTe s. tC, Usez tl. 

Page 57, ligne 19. Adécrit, /ûezadécril. 

Page 4^ • ligne 34- situé sera ^osur, /isez situé sur^0,BerB. 

Page 44> ligne i5< bh, bv, lisez 6A, A'v, 

Page 5i , ligne 99. uv, lisez ux:.' 
- Page 54 > ligne 3q. a A , lisez vertical o k. 

idtm, ligne 55. ok , lisez op. 

Page 6t , ligne 91. dont le palier. Usa donc le palier. 

Page 69 , ligne ig. longuenr, lisez profondeur. 

Page 79 , ligne s3. du plan , lisez du point. 

Page 74 ) ligne 5. v'g' , lisez v g'. 

Page 7g, ligne 5. or, ne doit pas être en italiqoei. 

idem ligne 93. kq , lisez k'q. 

Page 85, ligne 95. hh'a,eta, lisez hh'a,, et a.. 

Page 88, ligne 1.9. ey, liaexrf. 

Page 8<) , ligne 1 ■ . eq , lisez i>f . 

Page 90. ligne 1 7. supprimez le mot : sur. 

Page 06 , ligne 19. n'iC' , lisez m* d". 

Page 99, ligne sS. qz, lisez f r. 

Page 1 1 4 • ligne 95, mettre un point après le mot : surface. 

idem , ligne 97. mettre une virgule après le mot: direc- 
trices. 

Page 1 1 5 , ligne 3. mettre une virgule après le mot : plan. 

Page 117, ligne 3 1 c' b\ lisez c' b". 

Page 119, ligne 1 . «* u" , lisez i" u". 

Page 149, ligne 95 autour, lisez au tour. 

Page 1 43 , ligne 98. au point , lisez aux points. 

Page i44i Iigne5a. p,f , lisBZ p q- 

Page 1S4, ligne 8. en cercle , lisez un cercle. 



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Page iâ4, ligne 3o. petit, /ùes demi-petit. 

Page 166, ligne 16. Les deux branches de la courbe sont tan- ' 
geates en ic\ Il est visible , liiez Icf 
deux branches de la courbe oai pour 
langeâtes f.n fc' les ligaes op.qr. i\ 
est visible, > 

rADTXt A ooaBioBK sim i-ai ruuroBBG. 

Figure 6. mettre la lettre /> à l'intersection dot ligne» 

«^AetLT., 
Figure 96. mettre lu lettre lau point de coacours des trots 

ligaes de la Sgurc rabattue. 
Figure 58. mettre la letbre;> Ji l'intersection de «A avec la 

ligne de terre. 
Figure 61. mettre la lettre jt" au point situé sur gg'" , et In 

p' Il l'intersection de v A et de i t. 
Figure 66. aiettre Uiettre gk l'iotersaction de v Aet de c' ^'. 
Figure 66 la droite qui passe par le point o et (joi ne passe 

■ et 67. pas par le point v , est inutile. 

Figure 83. mettre p' k la place de 9', situés près de f et 

mettre r' à la naissaucedupetitarc de cercle 

sur la ligné o'p^. 
Figure 84. mettre les lettresvel v",qui sont voisiiHw, aux 

points symétPt<{ues par rapport à rr' , sur la 

même horizontale. 
Figure 95. mettre la lettre t à la parallèla iji kph. 
Figure 99. mettre la lettre p à l'intersection de vk fX de 

la ligne de terre. 
Figure loâ mettre la lettre ( au point situé sur ok. 
' Figure 106. uiettre /lè la placedet' dimslcplao horizontal. 
Figure 1 95. mellre la lettre y b l'extrémité de l'horizontale 

du point h'. 
Figure iSs. mettre la lettre^i la place de q. 
Figure i5s'. mettre g à la place de q et mellre 9 au paint 

situé entre et ft ( le point g est situé sur a'6'). 
Figure 1 66. joindre le point 6 et le point s . mettre A' à la . 

rencontre de la circonférence et de b' k. 



i.vCoogIc 



Comme ce cours de géométrie descriptive est destiné mx 
élèves des Ecoles Royales d'Arts et Hétlera, et que ces élèves 
ont entre les mains la Géométrie de BobilUer, Doas admettrons 
oomme démontrés tous les théorèmes qui composent cet ou- 
vrage, et Dous réunirons ici en groupe les ënMicés de la plus 
grande partie des tbéorfmes qui sont relatifs auxeourbes et it la 
la géométrie de t'espace , eu nous bornant à signaler lenuméro 
de la page ob se trouve placée la démonstration de chacun de 
ces théorèmes. Cesénoncés porlentun uuméro d'ordre, auquel 
nous renverrons , Lorsqu'il y aura lieu, dans la s^ite du cours. 
DES COURBES. 

1. Une courhe est pUau lorsque tons ses éléments sont situés 
dans un même plan. 

2. Une courbe est à double courbure lorsque tous ses éléments 
ne sont pas situés dans un même plan. 

5. On appelle tangente à nne courbe , toute droite qui unit 
deux points infiniment voisins de cette courbe. La distance do 
ces points étant inappréciable à I'cbII, on les coasidèfe comme 
se confondant en ua seul point, qui prend le nom de point de 
contact. 

U. Une courbe pouvant aussi être supposée formée d'un nom- 
bre inflniâe cfttés infiniment petits, oneppelle aussi tan^'entei 
celte courbe , le proltmgement de l'un de ces petits éléments 
linéaires. 

B- Une tangente peut couper une courbe en d'autres points 
que son point de contact, excepté quand la courbe est convexe. 

6. On appelle normale la perpendiculaire à la tangente menée 
au point de contact. 

7. On appelle ordonnées d'one coiube les perpendiculaires 
abaissées des dliFérents points de cette courbe sur une droite 
fixe donnée dé position. 



3,q,l,ZDdbvG00gIe 



s. On a|)pelle sous-tangente H soui-ttormale les dlgtsnces du 
pied de l'ordonnée aux points où la tangente et la normale ren- 
contrent la droite fixe. 

9- Une asymptote A' une courbe esl une ligne droite qui s'ap- 
proche fîonïtamment de la courbe sans jamais la rencontrer. 

10. L'ordonnée d'une courhe prise par rapport A une de ses 
tangenles diminue jns4u'<"' point de contact où elle est nulle. 
La même propriéLé subsistant pour une courbe par rapporta 
son asymptote, on peut dire qu'une asymptote est tangeote i la 
courbe à l'infini. 

11- On âit()H'un»'f>9arbe louros, en im point, sa conemitt oa 
s<t conoexiié vers une droite , selon que l'ordonnée de ce point 
est plus griinde ou piaa petite que la denit-soDUDe des ordon- 
nées inliuiinent voisines, et éqnidistantes. 

l3. Un point tCinflexion eut celui où ta concatttè d'une courbo 
se cttnngeen conrexité,ou réciproquement. 

IS. Un poial multipie est celui uù vienoent se croîier deux Ou 
plusieurs branches d'une méiue courbe. 

ib. Un point de rebroussement est celui où deux branches 
d'une même courbe viennent se terminer brusquement. La tan<- 
genle de ce point est commune aux deux branches. 

15. On appelle axe d'une courbe toute droite qui divise en 
deux parties égales tes ordonnées qui lui sont perpendiculaires. 

16. On appelle centre d'une courbe un point tel que tonto 
cot-de de la courbe qui le contient , est divisée à ce point en deux 
parties égales. 

17. Un axe est transoerse quand ti traverse la couriie en nn 
ou plusieurs points. Ces points s'appellent sommets. On axe est 
m>n- transverse quand il ne rencontre pas la courbe, 

18- La perpendiculaire menée k an axe par le sommet est une 
tangente. 

19. Les tangentes tirées auxexirémil£s d'une droite qui pa«se 
parle centre sont parallèles. 

SO. Deux lignes courbes sont semblables lorsque ■ ayant ins- 
crit arbitrairement dans l'une un polygone, on peut toujonrs 
inscrire dans l'autre un polygone semblable. 

Si. Les propriétés des figures polygonales semblables s'ap- 
pliquent aux courbes semblables. 

.22. La ttét>eloppante à.' une courbe est uiie,'Seconde conrbe dont 
toutes les normales sont tangentes â la première. 

23. Construire la développante d'une courbe, (p. 120). 

2'i. Ueliipse est une courbe telle que la somme des distances 



:,.;,l,ZDdbyG00gIC 



4'uo (le ses poinu i deux points fixes , Domméa foyen , e&t lou- 
jours coDsianie. 
25. L'ellipse a deux axes tranaverses recUagulaircs. [p. 133). 

56. La somme des rayons recteurs d'uD point quelconque de 
l'ellipse est égale an grand axe. (p. 132). 

57. Décrire une ellipse, (p. 1S3 et 123). 

2S. La tangente fait avec les rayons vecteurs du point de con- 
tact des angles égaux, (p. 133). 

39. Mener uœ tangente à l'ellipse : 1* par un point pris sur 
la courbe ; 2o par ua point pris hors de U courbe ; 3° parallâle- 
ment ti une droite donnée, (p. 123 et 12ù}. 

30. Les projections des foyers sur une tangente quelconque 
sont situées sur la circonférence qui a pour diamètre le grand 
axe. (p. 12(i). 

31. Lorsqu'on décrit an cercle sur le grand axe comme dia- 
mètre , les ordonnées au grand axe , qui se correspondent dans 
l'ellipse et dans le cercle, sont entr'elles dans le rapport des 
deux axes- (p. 13^. 

S2~ L'aire de l'ellipse est égale an rapport de la circonférenoe 
au diamètre maltipUé par le produit de ses demi-axes. [p. laS). 

33- L'A^p£r6it{e est une courbe telle que la différence des âis<- 
tances d'un de ses points h deux points fixes , nommés foyers, 
est toujours constante. 

34. L'byperbole a deux axes rectangulaires. ( p. ISd). 

35. La différence des rayons vecteurs d'un point est égale |i 
Taxe tran s verse, (p. 136). 

36. Décrire uDe hyperbole par points , connaissant les foyers 
et l'axe transverse, [p. 136). 

37. La Itingente est la bissextrice de l'angle des rayons vec- 
teurs, (p. 136). 

38. Mener une ungente i l'hyperbole : i"* par un point pris 
sur la courbe; 3o par un point prin bors de la courbe ; 3" paral- 
lèlement à une droite donnée, (p. 137). 

39. Les projections des foyers sur une tangente quelconque 
sont situées sur une circonférence qui a pour diamètre l'axe 
transverse. (p. 127). 

£iO. L'hyperbole a deux asymptotes, (p. 137). 
fil. Construire une hyperbole connaissant ses asymptotes et 
un point- 
as. L^ parabole est une courbe dont tous les points sont éga- 
lement éloignés d'un point fixe, oomtné foyer, et d'une ligne fixe 
nommée directrice. 



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^ 4 — 

fiS. La parabole a ponr axe ta perfiendlcataire tirée dn foyer 
sur la dirccirice. (p. 128). 

hli- Tonte parallèle â l'axe ne coupe la parabole qu'en un seul 
point, (p. ISS). 

&5. Décrire par poiots une parabole dont le foyer et la direc- 
trice «ont (loiinés. (p. 128). 

46. La tangente est également inclinée sur l'axe et le rayon 
vecteur (lu point de contact, [p. 133). 

' h"?. Hener une tangente à la parabole : 1° par un point pria 
sur la caurboj "î" par un point pris Iiors de la courbe ; 3° paral- 
lèlement ù une droite donnée, {p. ISS). 

AS. l'a projection du foyer sur une tangente quelconque est 
•itaée sur la tangente du sommet, (p. 1>J9). 

Corot. 1. Le sommet est le milieu de la sous-tangeote. 

Corol. S. La sous-normale est égale b la moitié dn paramètre. 

&9. L'aire d'un segment parabolique est égale aux deux tiers 
du reclangle de même base et de même hauteur, (p. 139). 

SO. La cyciolde ésL une conrbe décrite par un point da 
plan d'un cercle qui roule , sans glisser, snr une de ses tan- 
gentes. —La cyclolde est ordinaire, si le point décrivant est si- 
tué sup la circonférence génératrice; elle est ralUmgée, si lo 
point lui est intérieur, et raccourcie tli est extérieur. La tan- 
gente porte le nom de directrice. 

61. Décrire une cyclolde ordinaire rallonfrée ou raccourcie' 
(p. 136). 

52. Construire la tangente en un point d'unecyctolde.^p. 127). 

63, L'épieycloïde est la courbe décrite par un point du plan 
d'un cercle qui roule, sans glisser, sur un autre cercle Qxe. 
L'épieycloïde est ordinaire, rallongée ou raccourcie, selon que le 
point décrivant est situé sur la circonférence, an dedans, ou an 
dehors. On dit aussi que cette ligne est interne ou externe, sui- 
Tant que le cercle flxe comprend on ne comprend pas le cercle 
mobile. 

5â' Décrire une épicycloide ordinaire, rallongée ou raccour- 
cie, (p. 138). 

55. Quand HD cercle roule intérieurement sur un cercle de 
rayon double, les éplcyctoidcs ordinaires sont des diamètres du 
cercle flxe, et les épicycloldes rallongées et raccourcies sont 
desellipws. (p. 138). 

56. Constmirela tangente en un point de l'épicycloide. (p. 1q9). 



>;,l,ZDdbyG00glc 



— 5 — 
THÉORÈMES RELATIFS A LA GËOMÉTRtE DE L'ESPACE. 

57. Une tlrniie ne peut être située en panie dans un plan et 
en partie au dehors. ( p. 112), 

58. Une droite ne peut rencontrer un plan qu'en un seul point, 
(p. Iii2). 

59. Deux plans qui ont trois points commnns , non situés eii 
ligne droite, coïncident dans toute leur étendue, (p. llxi)- 

Corol, 1. par trois poiots situés en ligne droite, on peut faire 
passer une infinité de plans. 

Carol. 3. On peut mener en cliaque point d'nne droite une in- 
floitéde perpendiculaires. 

Corol- 3 Par un point de l'espace on ne peut mener à une 
droite qu'une seule parallèle. 

60. La position d'un plan est déterminée par deux droites qnl 
se coupent , par trois points, par une droite et un point, par 
deux parallèles, (p. 143). 

61' L'intersection de deux plans qui se coupent est une 
droite, (p. Iti3). 
Corol. L'intersection de trQis plans est un point- 

62. Une droite est Aile perpentUcalaire à un plan lorsqu'elle est 
perpendlcubire à toutes les droites menées par sua pied dans 
ce plan. (p. iki). 

63. Il FufUt qu'une droite soit perpendiculaire à deux droites 
issues de son pied dans un plan, pour âtre perpendiculaire it ce 
plan. (p. lAâ). 

Gh. Par un point pris Iiors d'uu plan , ou dans un plan, on ne 
peut mener qu'une seule perpendiculùre à ce plan. (p. Ih^). 

65. Eii un point pris sur une droite ou tiors [l'une droite, on se 
peut mener qu'un plan perpendiculaire à cette droite, (p. IftS).. 

66. Les intersections de deux plans parallèles par im tn^- 
sièmesonl parallèles, (p. iliSi. 

67. Les parallèles comprises eiitre deux plaus parallèles lODt 
égales, [p. im- 

68. Deux pians perpendiculaires à une même droite sont pa- 
rallèles. (p.lZi7). 

69. Toute drtdte perpendiculaire h un plan est aussi perpen- 
diculaire au plan parallèle. ( p. iltT) . 

CoroU Par un point donné on ne peut faire passer qu'un plan 
parallèle â un plan donoé. 

. 70. Tous les plans qui passent par une droite parallèle â un 
plan , rencontrent ce plan suivaut des lignes parallèles à celle 
droite et parallèles entre elles. ( p. lUT). 



>;,l,ZDdbyG00gIC 



— 6 — 

CoroLi. SîuD plaD et une droite sontpirnlIUen, lODle paral- 
lèle à la droiieissued'un point du plan, pst située dans ce plan. 

Corot. 3. Une droite parallèle à la Tois à deux plans qui se cou- 
pent,est parallèle ùleurinterseciioD. 

71. Toute droite parallèle à une droite située, dans un plan, 
est parallèle â ce plan, t p- 1I|7). 

Corot- 1. Une droite et un pjan perpendiculaires à la même 
droite sont parallèles. 

Corot. 2. Le lieu des parallèles menées à un plan par \it> point 
quelconque, est un plan parallèle au premier. 

72. Si deux plans qui se coupent passent par deux parallèles, 
leur intersection est parallèle t ces droites, (p. Iù8). 

73. Deux angles ont des plans parallèles et soat égaux, lors- 
que leurs côtés sont parallèles et de même sens. (p. Iki)- 

lu. Si une droite est perpendiculaire à un plan , sa parallèle 
est aussi perpendiculaire à ce plan. ( p. Iâ6 ). 

76. Deux droites perpendiculaires à un même plan suit pa- 
rallèles, [p. iUS). 

76. L'inclinaison d'nne droite sur un plan , est mesurée par 
l'angle qu'elle forme avec sa projection 6ur ce plan. fp. 151 ). 

77. Toutplan conduit suiTantuqe droite perpendiculaire à un 
plan, est aussi perpendiculaire à ce plan. Ou bien: tout plan - 
perpendiculaire à une droite située dans un plan est aussi per- 
pendiculaire h ce plan. ( p. 153 ). 

78. Si deux plans sont perpendiculaires, toute droite tirée 
dans l'un d'eux perpendiculairement à l'intersection, est per- 
pendiculaire à l'autre plan. (p. 152). 

CeroL Lorsque deux plans sont perpendiculaires, et que d'un 
point pris dans l'un d'eux on mène à l'autre une perpendiculaire, 
elle se trouve tout entière dans le premier plan. 

79. Lorsque deux plans qui se coupent sont perpendlculaiTes 
à un même plan, leur intersection est aussi perpendiculaire b 
ce plan. [p. 153). 

80. Dn plan et une droite perpendiculaires à un même plan 
sont parallèles, [p. 152). 

81. Par une droite non perpendiculaire i un plan on peut 
toujours faire passer un plan perpendiculaire au premier, mab 
on ne peut en faire passer qu'un. (|i. 153). 

82. Deux plans sont parallèles lorsque, étant perpendiculaires 
au même plan , ils prissent par deux droites parallèles et non 
perpendiculaires à ce plan. (p. 153). 

83. Les perpendiculaires abaissées sur les facM d'un dièdre 



J,.;,-z.d=,G00gk' 



— 7 — 
à'nn poiDt intérieur, fonnent un angle dont le plun est perpen- 
diculaire a rarète,etquiegtle supplément de ce dièdre, (p. 153). 

$li- La pcrpenilicnlaire commune a deux droites, non situées 
dans le même plan, est leur plus courte distance, ip. 153). 

86. Toutgrand cercle divise la sphère en deux parties égales. 
(p.!80). 

86. Toute section plane de la sphère est nn cercle, (p. \S\). 

Coroi, 1. Far deux points de la surface sphérique, on peut 
toujours faire passer une circonférence de grand cercle. 

Coroi. 2. Par trois points de la surface sphérique. oa peut 
toujours faire passer une cireonférence de petîtcercle. 

67. Tout plan perpendiculaire à l'extrémité d'un rayon est 
tangent à ta sphère, {p. 181% 

Corot. 1. Toute droite tirée dans le plan tangent par le point 
de contact , est tangente â la sphère. 

CoroL 2. Deux tangentes à la sphère, issues d'un infime point, 
et terminées à leur point de contact, sont égales. 

88. Le plus court chemin d'un point i un autre, sur la surface 
sphérique , est l'arc de grand cercle qui unit ces deux points, 
(p. 183). 

89. Tout cylindre oblique, à base circulaire, peut être coupé 
suivant un cercle par un plan non parallèle aux bases, (p. 183). 

90. Dans un cylindre droit circulaire, toute section oblique 
aux bases est une ellipse, [p. 18&). 

91. Tout cjkne circulaire oblique peut être coupé snirant nn 
cercle par un plan non parallèle aux hases, [p. 185). 

9S. Dans un cône droit circulaire , toute section , qui ne passe 
pas par le sommet , est n»e ellipse . une hyperbole ou une para- 
bole. 



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COURS 

M 

GÉOMÉTRIE DESCRIPTIVE 

APPLICATIONS AD DESSIN D£S HACmNËS , 

À L'nUfiB DU AjLlvmt DBI iCOI-IS mOTALU u'ïHIt ST llâTIBU. 



PRËLQIIHAIKES. 



§ I. £u( de la géométrie deicriptive. — Pour doDiier inte 
idée plus nette du but de la géométrie descriptive, propo- 
soDs-nousde résoudre aoe question Tort simple de la géomMria 
de l'espace : Mener par une droite donnée un ptan paraltite 
Jl une autre droite donnée. La géomélrie nous apprend (71) 
qu'un plan est parallèle à une droite , lorsqu'il contient oœ 
parallèle à cette droite. Si donc ,par un point p fig. l'de la 
première droite ab, nous menons à l'autre cti une paraUèle 
;> f , le plan m n , déterminé par ces deux droites qui se 
coupent , sera le plab demandé. 

Quoique lA question soit maintenant résolue, néanmiHins, 
on comprend qu'il reste à réaliser phy^quement le résultat 
obtenu , c'est-à-dire à mener une parallèle à une droite, 
et à construire un plan qui passe par deux droites qui se 
coupent. Dans ta géomélrie plane, toutes les construcliona 
s'effectuent sur un plan , et sont rigoareusement déduites les 
ânes des autres, en employant le seul seconrsde la règle etda 
compas. Mais ici, tout ne se passe pasdans le même plan, et 
quoique, pour nous faire comprendre , nous ayons Ûgurè un 



3,q,l,ZDdbvG00gIC 



— iO — 
plaD tnn pour représenter celui qui passe par les deux 
droites ab eipq, ûo conçoit aisément qu'il n'y a rien de 
réel dans celle représeutalion , et que Ja question n'est pas 
i^lolue pbysiquefaent , en ce sens que nous ne sauriona re- 
produire te plan m n dans l'^pace et te rendre diitincl de 
la droite c d. 

La géométrie descriptive d<Hioe les moyens , à l'aide d'un 
dessin fait sur une surface plane, de reproduire ce plan ~ 
quand on le vent , et fui IrouTSf les élénents qui doivent le 
constituer. 

La géométrie descriptive a donc pour but de reproduire 
sur un plan toutes les coDStructions que l'on est susceptible 
. d'effectuer sur les corps, dans l'espace. 

§ 2. Déterminer la position d'un point. — Od dit qu'un 
point est rapporté à des plans, des droites, ou des points, 
qu3nd OD dëtermioe la position de ce point par des distances 
supposées connues , à ces plans , à ces droites , à ces 
pxmts. . 

§ 3. Déterminer laposition d^un piùni dans an plan. — 
Dbbs ud plan , on rapfiorte un point à deux droites qui se 
ecupent , et , le plus souvent, cei droites sont rectangulaires. 
La ptui<H>o d'un point «st eo eflet déterminâe, lorsqu'on 
connaît ses distaDccfi* deux axes fixes et donnés de posi- 
tion. Si l'on dit* pAr exemple, qu'un point est placé à une 
distaoee de 0" 01 5de l'axe ai x'/tg. 2, et à 0~ 02 de l'axe jr/, 
ce point ne pourra se trouver qu'à la rencontre des lignes 
mm',m" m^",m m"', m' m", loeoées parallèlement aux 
»%K, Im deux pfemièresà 0°' 015 de xx'y les deux autres 
àO' OSdej^'fCeslignfôse coupent aux points m, m', m", 
m*" qui satisfont à la question. 

Poar distinguer parmi ces quatre points celui qui répond 
seul à la question, il faut encore ajouter aux conditions 
primitives; celle d'être placée droite ou à gauche àeyy, 
aB-desSusoB au-dessous de x x'. Le point se trouve alors 
parfailtmeot déterminé. 

§ 4. DéUrminet Ut poùtiort d'un point dam l'espace. — 



>;,l,ZDdbyG00gIC 



_ [1 „ 

Lorsqu'oD veut fixer la positioD d'un point dans l'ei' 
pace, on le rapporte à trois plans rectaDgulairesxfv'.yy, »«', 
fig, 3 , eo donnant ses distances à chacun de ces trois plans. 
EneOiet, si le point cherché est à une distance donnée ma; 
du plan !cx\ il fera partie des points des plans mm", m*m*' 
menés parallèlemeot à x x\ et à une distance ma; de ce plan. 
Si ce point est aussi à une distance donnée my du planyj% 
il fera partie des points des plans mm'*,m"' m^> menés pa- 
rallèlement kyy', et à une distance m^ de ce plan. Donc , 
c« point ne pourra plus être confondu qu'avec les points 
communs à ces quatre plans, c'est-à-dire avec les points 
des 4 lignes mm', m" m'", m^''m^ ym"' m">-Enfto^ 8j ce 
point est aussi à une distance ms de z=\ jl fera partie des 2 
plans mm™ ,tn'm^',et se trouvera être l'un des 8 points de 
la rencontre de ces plans et des 4 droites précédentes. Ces 
points sont t»,m', m", m'", m", m* ^m^'^vi"'- 

Pour distinguer le point cherché de ces huit points qui 
satisfont k la coodition d'être distants de la quantité ma; de 
««', de la quantité my àtyy', et de la quantité ms de s a',. 
il faut ajouter à cette condition la position du point par 
rapport à chacun de ces plans ; Par exemple, dire que le 
point est BH-dessus de j;a;', à droite de/y ', et en avant de z z'. 
Alors le point m satisfera compléteuent à la question. 

§ 5. Déiarminer la position d'un point à l'aide de tes pro- 

jeetiom lur deux plant 4)uelconques Ce s'est point aiosî 

que nous déterminerons à l'avenir la posilioo d'un point.: 
]!ïous le ferons h l'aide de deux plans seulement , mais Dons 
nous donnerons les projections de ce point sur ces deux 
plans, rtous avons vu en géométrie que ces projections ne 
sont autre chose que les pieds des perpendieolaires abaissées 
de ce point sur les deux plans. Soient, en effet A et v fig. 4, 
les projections d'un point sur les deux plans L H et L V rec- 
tangulaires. Si de ces points on élève les perpendiculaires 
km et V m aax deux plans L H et L V, elles devront coo- 
tenir )e point cherché. Ce point se trouvera donc à la reo- 
cootre de ces deux lignes eu m. La position d'un point de 



>;,l,ZDdbyG00gIC 



■— 12 — 
Vetpace esi donc détertninée par ses projections sur deux 
plans non paraUHes. 

§6. Ptatts de projection, ligne de terre, lignes projet 
tantes. — Les deux plans L H et Ii V se nommeot plans de 
projection. Le plas soDvmt I'ud de ces plans est choisi 
horizontal^ c'est-à-dire perpendiculaire à la direction do âl' 
à plomb; l'autre est verîM;a^, c'est-à-dire perpebdicnlaire 
au plan horizontal. Mous désignerons par H le plan horizon- 
tal et par V le plan vertical. 

La ligne d'intersection L T de ces plans porte le nom de 
ligne de terre, 

rtous emploierons souvent un troisième plan de projetion 
perpendiculaire aux deux premiers; nous le déûgnerons 
par P. 

Les perpendiculaires mk et mv qui servent à projeter 
un point m de l'espace, on qui, élevées de ses deux projec- 
tions sur les plans respectifs H et V, servent à déterminer le 
ptrint m, se nomment les lignes projetantes de ce point. 

§ 7. Si des projections H eï V d'un point M de l'espace 
fig. 6, on abaisse des perpendiculaires HP et VP sur la ligne 
de terre , dans chacun des deux plans, elles se rencontreront 
sur cette ligne de terre, — Soient A et v les projections d'an 
point m de l'espace. Par les deux lignes projetantes m k 
etmti faisons passer un plan qui coupera la ligne de terre 
en p, et sera perpendiculaire à cette ligne (77 et 79). Ré- 
ciproquement la ligne LT est perpeediculaire à ce plan, et 
par conséquent auxligoesAp,v/>, qui passent par son pied 
dausce plan. Donc les perpendiculaires abaissées des points 
V et A sur la ligne de terre, se coupent au même point p. 

§8. Séeiproquement, si des deux points H et V prit, l'un 
dans le plan, horizontal , Cautre dans le pian vertical , on 
abaisse tes perpendiculaires R? et VP sur ta ligne de terre, 
et $i ces deux perpendiculaires totnbent au même point P, 
tes points ti et V, seront tes projections d'un mime point do 
l'espace. — En effet , la ligne L T étant perpendiculaire aux 
deux droites /i/'gVp, est perpendiculaire à leur plan (63), 



:,.;,l,ZDdbyG00gle 



— 13 — 
ainsi qoe les plans V et H (77). Donc les perpenâicalaires 
km et V m au plan H et aa plan V seront situées dans le 
plao V h (78 t.orol.) et se rencontreront en un certain point m 
qui aura alors pour projections les points ketv. 

Il suit de ce paragraphe et du précédent que, pour que 
deux points situés, l'un dant le plan horizontat, C autre dant 
l» plan vertical , soient les pragecttotts d*un même point de 
l'espace, il faut et il suffit que les perpendioalaires abaiê- 
aées respectivement de ckttoun de ces points sur ta ligne de 
terre , se coupent aa même point. 

§ 9. Rabattement des plans de projection l'un sur l'autre. 
— Jusqu'à présent nous avons figuré les plans de projection 
tels qu'on les voit dans l'espace, et nous avons également 
figuré les lignes projetantes d'un point qui n'auraient pas 
en réalité les dimensions qu'îles ont sur la figure. Mais ce 
que noua venons d'efllBctuer, pour ainsi dire par la pensée , 
nous pouvons en conserver la trace sur un dessin plan , oà 
toutes les lignes auront leurs dimensions naturelles. 

C'est même ainsi que nous opérerons toujours parla suite. 
- rions effectuerons dans l'espace , par la pensée , tontes les 
eoDStructioDS qnï nous seront nécessaires pour résoudre une 
question; puis nous traduirons ces constructions sur un . 
dessin plan , d'une manière analogue à celle que nous allons 
employer. 

Pour ramener sur un plan toutes les constructictnsde l'es- 
pace, on fait tourner le plan vertical autour de la ligne de 
terrecomme charnière, jusqu'à ceqn't) vienne se conrondre 
avec le plan horizontal. De cette manière, comme les deux 
plans de projection partagent l'espace en quatre régions, 
formées par les parties supérienre et inférieure du plan 
vertical , et par les parties antérieure et postérieure du plan 
horizontal, lorsque ces deux plans se sont rabattus l'un sur 
l'autre, on convient que la partie supérieure du plan Y se 
rabat sur la partie postérieure du plan H, et que la partie . 
inférieure du plan V vient s'appliquer sur la partie anté- 
rieure du plan H. 



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— i4 _ 

11 ast évident que )«s mêmes parties de ces deux plam se 
recouvriroBt égalemeot , si l'on fait tourner le plan H eD le 
rabatUkDt sur le plan V. 

La figure 6 fait comprendre ce rabattement. 

§ 10. Projections d'un point dam le rabattement des 
plans de projection. — Contéqaeiuiea. — Il est aisé de voir 
ce que devieDoeot les projectioos d'un point de l'espace d^ns 
le rabattemeut des plans de projection I'ub sur l'autre. £b 
effet, dans le mouTement du plan Y autour de la charnière 
L T, la ligne vp ne cesse pas d'être perpendiculaire à cette 
cfiaraière ; elle vient donc se cooToodre « dans le rabatte- - 
ment en p v', avec la ligne p h qui est aussi perpendiculaire 
à la charnière. 

D'où \\ suit que, dans-le rabatument des plana de pro- 
jection Cun sur l'autre, les deux pvojeattona d'un même 
point dû l'espace se trouvent placées sur une même perpendt' 
calaire à la Ugne de terre. 

D'où il suit encore que, pour que deux points, dans Ik 
rabattement des plans de pryection, soient les projections 
d'vn même point de P espace, il faut et il suffit ijuelalign^ffUi 
joiTtt ces deux points toit perpendiculaire à la ligne déterra 

§ 11. Définir une épure. — On appelle ipure le dessio 
plan qui représente le rabattement des plans de projection 
l'un sur l'autre, et de tout ce qu'ils contiennent. 

§ i%, pistanees d'un point aux plans de projection, — 
]Les lignes niA et mv fig. 6 mesurent les distances du point 
m, la première au fflan H, la seconde au plan V; ces lignes 
sont respectivement égales à leurs parallèles pv etpA, no , 
aux ligues pv' etph da^ns le rabattement. Bouc, la distance 
d'un point à l'un d^ plans de projeetioj^ est ntesurèe par ta 
distancede sa projection sur l'autre à la ligne de terre, 

§ 13. Projetions d'un point dans toutes ses positions, -~- 
Leit projections d'un point changent de position par rapport 
à la ligne de terre , suivant qu'il est placé au-dessus ou ao^ 
dessous du plan H, devant ou derrière le plan V. La fig. 7 
fait voir ce que devîennenl les projections, d'un point si 



i.vCoogIc 



— Il — 

siTeiBCDt placé dans tes quatre angles fonnfe parl«i plans 
de projection, dans le rabattemeot de ces derniers, et la fi* 
giire 8 donne ces inémes projections fignréts sur l'épure. ' 
Le poîDt p fig. 7 et 8 placé au dessus du. plan H «t-cto 
avant du plan V, aura, dans le rabatlement, sa projection 
verticale v placée au-dessus de la ligne de terre, et sa pr»* 
jectioo liorizontale h au-dessous. Le point p' , égaleoMal 
placé au-dessus du plan H, aura aussisa projection verticale 
v' au-dessus de la ligne de terre; mais comme il est der- 
rière le plan V, sa projection borizootale h' paraîtra , dana 
le rabattement , être située dans la partie 6upérieur«'du plan 
vertical, et elle sera aii-dessus de la ligne de terre, dn 
même cMé que la projection verticale v'. Le point p' situé 
au-dessous du plan H , aura sa projection verlicaie v" av- 
dessous de la ligne de terre, dans le rabattement , et cettR 
projection placée dans la partie inférieure du plan vertical 
paraîtra être dans le plan horizontal. Le contraire.aura lieu 
potir la projeelioB horizontale, qui étant sitjuée. danSi la 
partie postérieure du plan horizontal, paraîtra être daiw le 
, plan vertical ,' et sera située au-dessus de la ligne de terr^. 
On voit enfin que le point p'" aura ses deux projee^oq^ 
placées au-dessous de la ligne de terre en W" et v'". 

On conclut de là que la position d'un point dans l'un des 
4 angles étant assignée , la pMition des projections du point 
par rapport à la ligne de terre se trouve déterminée. . 

Héciproqnement, les projections des points v' h'fig.&.f 
étant données, il est facile de reconnaître à laquelle des 
quatre régions ce point appartient. On [bra pour cela le rui.- 
Boonement suivant :-Ge point a sa projection verticale placée 
au-dessus de la ligne de terre , donc il est gituéau-dessus dq 
plan borizontaL'Il ne reste donc plus qiï'Àdàternaioers'il est 
en avant on en arrière du plan vertical.Or, sa projection ho- 
rizontale est située au-dessus de la ligne de terre, ce qui est 
le caractère d'un point placé derrière le plan vertical. Donc 
enfin , ce point est placé entre la partie supérieure du plan 
vertical et la partie postérieure du plan horizontal. 



bvGooglc 



Dn p(dat m placé dans le plan horizontal , est à loi-Diëme 
sa projectioD horizontale , et sa projectioa verticale m' eat 
' sitaèe ssr la ligne de terre , car la perpendicolaire m ni' est 
■lliiieâaDsIeplJBDH (78corol.). — Un point m^BUDé dans 
le plan vertical , est à M~mème sa projection verticale , et 
sa projection horizontale est située sur la ligne de terre. Un 
point 9 , situé but la ligne de terre , est à lul-méqie sa pro- . 
jection horizontale et sa projection verticale (fig, 7 et 8). 

§ 14. Projection d'une ligne, d'une ligne droite, plan 
projetant. — Une ligne étant composée de points, la pro- 
jection d'une ligne est la ligne continue qui unit les projec- 
tions de tous les points de la première, fig. 9. 

La projection d'une ligne droite sur un plan est une ligne 
droite; car (ouïes les perpendiculaires abaissées des points 
de la droite sur ce plan , seraient comprises dans le plan 
perpendiculaire au premier mené par la droite (81), et tom- 
beraient sor l'interseetion de ces deux plans (fig. 10). 

Pour projeter une droite sur un plan, il suffira donc 
d'abaisser d'un de ses points une perpendiculaire sur ce plao, 
de faire passer un plan par les deux droites, et de détermi- 
ner l'intersection des deux plans. 

Le plan qui sert à projeter une droite se nomme plan 
projetant. 

§ 15. Une droite de l'espace est déterminée, lortqu'oa 
connaît lea projections sur les platu H etV. — En effets 
soient a 6 eta'b'jfig. ll,leB projections d'une droite sur les 
plans H et V. Si par ces droites on élève des plans respecti- 
vement perpendiculaires aux plans H et V, ils contiendroot 
tousdenx la droite de l'espace, et leurintersectian ÀB <lé- 
terminera entièrement sa position (61). 

Les projections de la droite prennent la pusiliona 6 et a'fr% 
dans le rabattement des plans de projecUoa l'un sur Vau- 
tre fig. 12. 

§iè. Projections d'une droite dans toutes ses positions. — 
Cne parallèle au plan horizontal porte le nom de horizontale. 
Une parallèle au plan vertical ne porte pas le nom de verii- 



3,q,l,ZDdbvG00gIe 



— 17 — 
eale. Une vhniêate est une ligne perpendicnlairc au pl« 
liorizODlal; elle est aussi parallèle au plan vertical (80). Hoe 
periteodiculaire -an plan vertical est ansM une boriroiltle. 

Lorsqu'une droite A fi est hoiiziHitaie/ïg. t3,-8a ppqee> 
Uon horizontale ab occupe nue ponlioD qudcoiiqiae par . 
rapport A l« tigae de^ terre , ma» cette projection est parai* 
Me « la llgae hel-izoDtale eUe-oième (70). Sa projection Ter- 
titfato est-par&ltële à la ligne de len-e, car cette bMizontalf 
èlaat parallèle à sa projection horizontale, le plan .qqMa 
projette verUcaleoieul et -le ptao horizoatai, passqst afcra 
par deuxligMs'parallMesABiet a&,et sonlpifa^ètot (SB); 
tèarB^iutMTKCtlons par le pitra veriicAl Mot dose paialipiM 
(66); doBC la prejeétion' verticala c6t parallèle à la {igoe 
de (erre. 

-O» férttt-'VOîr éçaleaieiU qiie la j^c^tim verticale dîne 
parallèle au plan vertical est une droite quelcoAquef et que 
sa- pmjeGliDn bodzoatale est one parole' à la ligne de 
terre. 

Lorsqo'une droite est parallèle à la.ligM de terre, «Uf 
est parallèle à ctettutadespiaiIsficLy (71); doSc ceiplan 
{■rejétadtsenàpent les pl«D> V* «t H suivant des parallèl^i 
a eUe-ia&ne, ou à laliglte de.l4rr«.(70). Donc, lorsqu'fuw 
Ugneestp^aUèla à laligaede (erre, ses.pr<)jections sont par 
raUèlcd àcetteUgOP. . ., , 

JUopsqu'une droite o> (^' l^i) .pst parpfîndiculajce au 
I4*qQ, m prttjecUoi) Itorizoqtate 6 est un pptal, quiest.le 
pî^ de cett« yertiijale dans le .plan; et ^ projectioB verti- 
cale f'i' est uqaperpeadic^liir^'âla U^e de. terre, car ^n 
pi^o pco^t^nt esta la foisp^rpepii^Ctilaire aux.dei)x,pl,fnq 
Het V (TTJr'do^&it est -pw'§ei>dici4aire à la ligoe de terre 
(79)' B.ècipro<|ueiDçnt , c^lt£ ligne est p«rpendicu)aire au 
méHoe pUut pfrojetfDt, et par ci^aséguient perpendiculaire à 
toute droite comme la prf^ectiou verticale de la verticale) 
qui passe par sou pied dans la plan. , 

Ou ferait voir également que la projection vertioale d'qne 
^olte perpendiculaire au plan V, est un point, et que sa 
,2 



>;,l,ZDdbyG00gk', 



~ t8 — 
projection borlzoatale est ane perpeadicolaireà la ligne de 
terre. ' 

Ls flgore 15 dôme snr l'épure « c'est-à-dire quand les 
plans de projections s(^ r^MttuB l'un sur l'autre, les pro- 
jeetioBs des lignes que dovu veneas de conddârvr* c'est-^> 
dire d'une parallèle an plan homonla) , d'uec parallèle au 
plan Tflrlleal , d'une parsdièle à la ligne de (erre, d'iy» per- 
. paidicalaire an plan horiaoïita), et d'une perpendicalaira 
an plan rertitaK 

Lonqn'nne lignent, fig; i6, ert titaèe d«ai l'on des 
plans de projection , elle est k etlaHaèrne sa projection wr 
ceplaa,et sa prq|ectioD SBrl'uitFe est la ligae de terre; car 
SOI plan projatant est alors le plan de projection, dans le- 
quel elle est située. 

Lorsqu'une ligne Fenontrala ligne de terre, ses projeetiMis 
oM la position de la ftg. 17. 

Enfin, One ligne Â,B peot fitre sitoèe dans on' plan pw- 
pendicalelre k la ligne de terre, /tg. 18. Dans ce cas, ses 
preJectloDB sermt toutes deux perpendicalains à la ligne 
4e terre, et au mètaepobt de cette ligne; m^ cnprojee* 
Uons ne safBientirius pourdèteradqer la porition de la droite 
dans l'espace, car, pour que la droite soit dèteraiiBée, il- 
faut que ses deux plarû de projection se coupait, et ici Us 
se confondit. Il faut donc d'autres contf lions-pour fixer sa 
position dans l'espace. U Taûdr ait , par exemple , on dotœr 
deux p(4nl8 de la droite par leurs projections , ou un peint 
et l'inclinaison de la ligne sur l'un des j^sds H ou V, ou Usa 
enfla changer de plan vertical de proJecUM, on, ce qui est 
la même chose, m d'antres termes, se donner la projection 
a" 6" da la droite sur nn antre plan Terttcal de projection 
Xët que P, pour leqnd la nouvelle ligne de terre serait ti\ et 
qu'on suppose ici également rabattu sur le plan horizontal. 
Les projecâons de cette droite seraient alors ab, a" 6", et 
elle serait parfaitement déterminée. 

§ 17. Déurmîner la position tCuTU courbedaiu Veipaee; 
— courbe parallèle h l'un des plana de projection, — Noofl 



:,.;,l,ZDdbyG00gIC 



— 19 — 
aroDS d^oi,§ 14, Ih projection d'oae U^k, étroite on 
cttorbe « sar on plan. Une c«arbe dans l'capatM eit détemi- 
née , comiae l'est «ne ttgue driûtc y par ws deux pr<4tieli«m 
9W les phiDi V et H. Ëo effet, les pef]>«o£(»l4ÙrM élevées 
«n plan H, des divers points et la proieetioB honionUde, 
fbmteat aiw sarCaoe qui doit coatoùr la looaih» de l'aifaee, 
poisqpe, poar obteair cette prafaelîoaiil «faHa,.éMvaÉlte 
da la caarbe, abnSHr les tnèinfle fwpaBdioilaire» mr le 
I^H.De mtoe Ifli f>erp«adfeBWfe9 levées OH pbtoVdes 
fetmifiB la projeotloa Torticale de l« eo«rb^, fomerpat uw 
surface qui devra égaleOMBt conteBir U eoiirbe ds l'Miiaf^ ; 
due «afia cette deraièn) se Irottvara A la rencontra de ces 
daKXiOrfactw, puisqu'eiiaest lr«cifl Mir.cIiaMiaed'elles. 

fiteéarataacBt, ces Mvrbes d'iotonaoUoD ne aant pas des 
callites pianes : te sont descBldicsà ilenbic «ourAivï, 
c'ert-A lfii«f daHt «oqs les èièttaots ae sont pas dMs le 
nfiHepln. 

I^raqu'aae cflurbe pl«M da» l'espace «»t ptraltàl« A rtni 
des plans de projection , elle se projette sur ce plan saÎTast 
■■e coiu^ ^(afe h flHe'4a6aie ; car les BBCtloas CaUes ^ns 
m priHoe par d« flans partlHites sont des poljfpnes 
Aganx. 

§ 18> Détcrfaittfér la patîtion d'wi plan dam Vupme. 
Traeti d'an plan. — Deas droiteB sidbaat pa«r dMananer 
la positioB d'aa plan. Si doëc oa d«uw les dawc btemec- 
tions d'an pUa avec les ptant de pfti^fioa,.eUes, taf^Bt 
ipoàr Axer >a posItioB. 

Ces interaectioDS se nommcti les tmceâ du plan^ t'ane, 
(noe horizontale , l'autre , trace vcrlicate , ]lSg. 19. 

Ces deax traces se eoapentea on niftme (Kâota de la H(^ 
4h terre , car ce point est le seul point eianmaa aax .trois 
flans, €i il doit a^MUtenir A cbacoae des interaicliOBS 
«toi reprAsenteid respeetbKmaiit les poiXs commaas au 
plaa 4oaaë et «nx plans de prôjectioa. 

§ 19. Traces ttunplandans.touta tes pontioTU. — Lors- 
qu'on plan est parallèle an plan boriioatal , fig.W, il n'a 



>;,l,ZDdbyG00glc 



— 20 — 
pas*) Hice itorizMUle;-» trace verticaleav est uoe pa- 
«sH^ h tu ligne de tene, en- ces deux ligeeSEoM les InMr- 
nelinsdedlWixplaDBiiiraflèlesparQa &roiri6in«. 

Le coDtr«)pe a lieu langue le plan est paralMIe an plan 
y et tft ri ^ iiD'-a pM â« trat» verticfile, et sa trace est ho- 
liae^lale a A«ttfafa11Ue à la iigtoda terre, /i^w 2 1 ; nénafe 
>dè«wprtfcattùnqBeciiiiMMi. 

. V»flmu pmMko, b.^-1à^e àa tevM fig. 22, aeeedeak 
«TlKeBpvritàlMà laUgaedeinte, car'le plan KorUdHtal 
4» prelÏMItoa , 4ui ^I9B par la ti^M de terre , coilp«.lfl fta« 
soivaBt um ftamIHIe à'eette Ucne (70). 

LorscfH'iHi ptaa' «Bt perpenaiealBir& au ptin boHtroalRt, 
fig. a&,»atraoeboriKoiitale<tceapeuBQp(Uif)(M)qarieoo^Me 
■par n^tpwK à- la UgM'dMer» , nais n tivee ▼erUeale est 
pe»p«ndieulaiie'Àla M^«4detotre;cardlee8t)'i4«V8eti«B . 
^d«k|iUD0 ferfandieatatfes ali |rtAllRlâzoBtd,-etpà^^ 
suite elle est perpendicDiaire à ce plan (79), et ]nr, ottnaÈ-r 
4««ittperpindfQalalM-à}ai llgée ^ içrcfe (62) ^ pans ^lar 
SOS pted. . '. 

. Xe oMtfralfe'a KAt loTsque te ptaniest perpendiculaire loi 
])tia,véi)tlcai:«a tffice verlic«leestq«eledni}ae'par'raf^«M 
à la ligne de terre', et sa trace horizontale lui est perpes^ei» 
latfejf^.S4;nèmedèaton3tratioBqaeci-desfii8. ■■> 

Dapto» paq^pÉiiMJrire k laUgnti'de terre, fig. 25, est 
aiëjMtpatfBoàicttmBma^iBbx plana 4«'ProJ«Gtion(77^ 
&ècifii«qnBn^.Uilifn;de tante art perpeadieiulaiAB à.tie 
plan , et par suite à ses deux traces qui passeat par «ctt fàtt^ 

Larsqn/Do^.plan passe par ta ligne de terre, fig^ 26,;ses 
deux tracas aoeoMfondrnt avet cette ligne, et cette. difrai^e 
ae flufBt plus pour dëlenDÎBer la positioo. du 'ptan: U finut 
alors^^ur-Iafixer^aedoiiBeruDe antre droHe situàe d«4s~ 
le pias, ou l'ûHiliiHnson du plan^rec l'un dM plaorV on-W^ 
«u UaneofiD (dttMgpr de plan. verLicfl de proJKtfn^ «u ne 
qui est la même chose, en d'autres termra, se 4»Bt)er |« 
trace tv .du plan sur un aulne fUn vertical de projectf oo, tel 
4|ueP,pourlequrila:noaveU« ligne de terre devient IT, et 



>;,l,ZDdbyG00gk' 



— 21 — 

q«'oik^ si|)ptee4ci.<èg«l«Hltt ràbiUta sur te plm horïroafahj 

les traces du plan seraient alors 1 1', t v, et sa posilion serati' 
aiiuù nrËtiAantel dé^MiM^. -- ' - . -. - < . ■{■.'■■.'■ 

^ivifatid'AttBidit (InsieftfaècMcMé ^«nigiw|ih«ï ai «idt 
9«B>, en^amÉMe-daàcl^ni, ui]^eliiri<blWHiCe«itT«»s 
terminé par deux pointa situés dana.W'|p|alB4»:pMi^rit)0', 
aBft4tolto^rdléuv4[iU«»diiiM6s^,i»mïplâiii^9MfiHr4éâx 
dDwBBt'iégqIeMitat wlaiou daiUlM^^a^'dff^'fEtifeiaiau.-.A; 
raiiew,-<l(iiw}iK^/Baia JOnd»r«p>.- ^r, yln*^ '-WÊé ili<ifc 
ou un plan y nous enteitdriaMtpeb UtMs'iinfrieltobsdB'.ptliav 
del&dMiterHwitiB Knbsduptai. ' < i Y- 

. fi» ;iMllB4 vtDEnoe^ parï^H^tqnfl' cokgt hiriM h -iKi phi t 
1lie,4lMS «^M» ^■rwiufe«Ui.d|ï^iHBati!M»dl»4wx (««n 
leeUonftiri'iin paRil,4'aba;iMitft, ««•dHi:UaCcsî«d'uai:pite, 
Boiift|uiÉn'ata.en-ct»(itspq«e eopalidfieelto'dniteaD'oq 
plaBt'jeMdéterlBiDtei. ■■-• -r, x 

Hous n'eiuploierons plus'désQnn^sJGfaÉaqtvs flw j IgM^t 
OB r4(ÎBf, qne IqByi^^iMLaeroMl iojMpp— Meaipawi aMer 
à.tçwrdiiMnit*4i(iq^ilfiiWloigiliir»ivré^flm^qtewiu 
efSMtapsSBSMWMoklmcl^aWt - 

8*r M»^r6itef « gionStna desfaàftHS , ftatfôt He f l M »; 
qoel:.qBp IbAqaUin point dppuUM^ à.-unuA-oMte'f -awpm^ 
jeetionâohetitafipBrtiiBihaiiK piia^qotifis^diâBMtotéMtlet 
et csmbA -d'aiitêufs iSB ^o^^iMs. d'ttsi mÊme ftipt «dtâ* 
vent se trouver sur lUmpiftina'.pelpaldiaidbiwâ la.JfgDe4i 
teri«'-§ 11>>^ ^In «eroot dtnç ainii paibitoMffitdétcrjaMes. 
SmeaiJiJi\ .ifv' fig.-i7, i». yttaiwiisiiA AlalM.àfailAîViif- 
namtppl yfirçewliKM^aBif:]àtàgae4stiaTe,p el p' Mot 

leB'pn)jMltt>i»d'fn^oiÉldeUdkicHte. - 

Si Tau dansait, ]a projection pd'ns peiM de^ QoHe 
droite, pobr d^lerraÎBer l'aatre, il est dair qu'il -buffiraiit 
de Biciur'ladroiteT) p' perpendiculaire à laligiiode tecre> 



C,.;,l,ZDdbyG00glc 



— Jî — 

jusqu'à Javeaeoatre de U prt^ection v c rl ia ie.ée ta dmite 
mp\ 

Four faire passer une droite par «s point doMè f. p\ fig. 
38 , U saSl 4b Umott dana Im plans de pn^ectloo deas 
italtmpfÊkfeÊMoi^pmtm^i^fieâonnfipecHnt da peiM. 
■aifl» pt(MèaM.(»tMMemia«, car il faut dns poials 
PMn-dMarateeranadrAe. (topcstdoec tracar OBafoib 
de dnitaa p«t •* peW. 

S*il«*«8H4eMrepBaKf utadcsétapar les dwi poiau 
p. ;>' et 9. f \ aïon iftdlwle est dètanaiBÉe, et NI pn^eetiaiift 
aantJesdaax lif/Êm p^H p* f\Omna atanitm matÊffoe 
dM« «■tre toi da» poiats domièi. 

§ 22. Trouver Cinter section ik dava éroUu; aanÛUitm 
ptmrtfm^ianjLdr^teasoemtpem. — Lenqa'UDptMappar- 
dest kmat dtoile, set projecUoi» appartwaat i erihw de 
Ladroila, il s'ennA que A deaxdroitea Mcoiq>«Dt, lear 
point d'iatocseetioa dt^t avoir ses proja^iDiia à la fais si totes 
flor les pr<t}ecUMU des deux drirites; Aaofaab,»^ V eiod,c' tV 
se eoapeal m poiat o. a' fig. 29. 

Oa lùre de [à UB moyen d» reeoiBialtn si deux todiMfle 
conpest daas Tespace, à l'aide de Icara |H«Jectiooa.&i «Cet, 
si elles oot un point commun, ce peint doit avoir aes pn^M- 
IfoBS placées sor une même petpeadinlairef à la ligne de 
lam; et coàmeeHesdoinutitre en même temps sar les pro- 
JestiBBS des deux droites, il faudra doue que le peint dte 
reneoBtre de ieu» pvofaeUoaii. horixoiitales et le p<^itt de 
rencottre de lenn pMjeetieniTerticalaB Miieot sltnteaw DOS 
mtaie perpeD^onlaira à la ligae de terre. Telle est la cod- 
dMeaponrqoe dânx droites s» coupeaL 

§ tytMpivjattimi* àe éema pm*xUélta toti patmltèUê.—' 
Par unpointdanaiimaier mus parait^ à tinA droi$adaia»ée. 
^— Soient A, A.'1espre|ecticnifidu ptùntâoBoé,^^. SO^soient 
a b, a' b\ les projections de la droite. Lorsque deux droites 
•ont paralldies^ears projectioos sur un plan qneiconqae »n t 
parallèles, car les plans projetants passent par deux lignes 
parallèles, et sont pcrpendicalaireB au même plan (82).IIsuit 



CiilizDdbyGoOglc 



— « — 

de là qHâ si par les prateetioiiB h. k' du psiat deooè. wnis 
menondeS'psrallèk8rBip«elfTesauxdraHesa&,.a' i', oei 
paraHMes <;rf,Vif', nfoot lMpnJecUoB8.de la ^l^ftlIéle 



§■ 24^ — CamttrmTé It» >n:^MMM (Tun fNirfUMtptp^ 
ooMnoÛMnt iw pfWTecfmu (it» m^ mfManAw dontiguM. 
<<0nM4» dd grwMlayr et Heditmtion, — Oa paot applfa|«CV 
le § 23 à !a rteobAto»de n probita». Soleiit fi$. U et »2, 
oA, et' i*, oe^o^ 0*. o^a'dVItSprojeetioBBdes tPQisarfttos. 
Si, pw IweHréi^Mi ds cbacoiie â'eHes, neu dmooiu des 
parallèlva inxdeaxaqtne, «Nesdétwoiiaerwit las IroisfAces 
&m paralMllpfpède ^nl coatiBBB»t h» «rttes doaato^ Ces 
face»9i]Bt adaé, a'Vt'tff, mbfo, a'i'fc'. ac^^c, a'£g'c'. 
P(Wr«Mii^éierkparaWUpipMe, It wliLds i«eBwW>a' 
.ra >W*s Ki^ artiat <ift, a* A', fKfk% gh, g'K. 

§ 25. £•> ji^<(!f«o«toiw dV» p«h'»( danUiitfiWei, ir«uver 
Mt pro^twn sw «n plom perpMtdieiUaiiv it l'un dqadsua; 
frremùrv. — if 6M8-f«eHt0» ^mir tute dmiu, — Oa a SO|l- 
veot oceasîaii de rteottdfe ce p p o M ftn o j et la- sohiUoii eo est 
fortBimpla,]UlaflltfmMl^:Mrl«tM«iWedu §12. Soient 
htA t% las prc^sctiolMé'ttB p9Wtf ^g- 33tet soit /t'. la q^^- 
velle ligne de terra eu la trace du second plan Tertîcal do 
pnil*ctiffii. UBOusabatstoof fcV.perpeBdiçulaiiv &'t*irtsi 
BesupnaoH7>*v', =pv, topqÎDt «' wrala projeptioo 4e- 
masdâi, car-la diria»wdu point au plan H est toujours^ji v 
«t doH ëtn eseoct) ci^iioàe par jt'v' d'après le § 12. 
' SU'on rabattait lemouveou plandopr^ieclionsarleplen 
V^ ^ le faisant teorneFauttMirdaft" au lieu de <t*, lapro- 
jadiao aoBvelle pMsdrait la position v" .telle que^"v" 
=^pk^ car p"«" doit eoaiwe ex^uar U dislance du point 
aaplraV, §12. 

Il est évident que paiM* tracer la. prttiectioB d'uw droite 
sur le nouveau plan , il sHffifaU d'y. projeter deux points de 
cette dcoite, fig. 34. 

§ 26. Etant données les dcuas projeçtùtiu dVi pattcr sur 
iespianty u1i^tr.wxv6rsa proJ6c%ia>Kiutvtn plan perpetuiicu- 



>;,l,ZDdbyG00gIC 



— J4 - 
laire awc deux premiersi. -^ Le protrièfieyréoédeatcpuduil 
à la solutioD. QDAiqrief en réiliU,)e8-deuxiprajfctib>»d'jin. 
corpsiNitfl^ëDtpo«r1e4M^tBftiélr,vK trbinéme pnjMtii». 
est soiiTeDt Décessaire, si ce n'est indispensable, r^n'rniïiir 
lésjU(tU^qiâ'9eo«tTfl^liâ«Bt.^aDk Inikinin, etpooi'don- 
Bor une iâé« pki»DéttR in cu^ ^m I'or yeot reppâasoter, 
Pfttpb&s'fioifr exempte ua-nodèle.'fle'^aliek tel qu'il fltf {a, 
S«B[fë poiff ^ttvtfrré aBs'flmlettrs. S«te^. 36 (H)^ tai^o- 
jéctbii tiMlzô&ta)e,«C (Vyia^rÀjectiàn verticale. Sait l't* 
leiiaQveaB'^éfl-depr(:^ecti(Mi.Âbaia»itilelui(iIesp«b4s<]e 
la projection bofizoBisfo ^ â«& pe0peD#ralains ^Ci'y.St 
p8rtirde'Ceke'llgM,'aoa8|^orCwoDslei>diitApRtH'4elapn>- 
jecUoQ rertteale à /( sur lef 'perpeadicalate«s comspM- 
âa»tefi,et nùus àUmvàlwàaiSilBA.y». fig. :{F):^'3vwit , 
tr<Hsiéiiie prt^eeticfDdu paUer. Ijétranapaitid». di^fiCM. 
à ti àl iB^qnëpÈcr (es^rasdflcflrtdedè taflgun. 

§ 27. De ta repréientmti»i^ d^ stirfaoa nmtLrhêêv ' — MfiM 
avOBfl VB comment OQ déter(âiaatt~aa pfrârtf'UM dfoite, nq 
plan, en géométrie deseri^îVe. U'dMs mt» à'friK-coiaalr 
tre la manière de ^epréâenlir>le8 surhces coiirb»j.lînitées 
Od illhtiitëes, elles corps 9<^idet )>ol;Mres oa t«r>i*i<>é8 par 
dès surfaces courbes. 

Lorsqu'une sarfdtà courbff est assnJaUle k ose dôâBliat) 
géométrique^ celte défleitlon est ordipairement trmimU&fta 
des replions particaliërés entre certafsuUgderdroitMioa 
courba tracées sur la surface, relations de forme , de posi- 
tion 6u de moureméat. Eo ^8èral,(ni peÙtdiFefu'aMâsut*' 
face courbe est -engendrée par itnè ligfi» dtoite.va/coufbie, as- 
sujettie à se mouvoir, suîtdnl une'' toèdàitrmiade, éurttaeg^ 
plusieurs autres iignes fiée» donMiiu ■dhp»sit\on. 

La première ligne est appelée la génératrice ^e là sorfaee. 
Les'ligoesflxês en sont les directrioes, 
■ Ponrmieàt faire comprendre ^ee tyà {>r4cMe, qoub don- 
nerons quelques exemples de généralioD de surfaces. 6t nous 
commencerons par le plan. ' 

Le plan est Que surface qui peut être supposée engendrée 



i.v Google 



— 25 — 
par uDe^lroite asBHjottàftà,» «ouTHfi^iaBalWHawt^à elle 
B^nVf «Q s'epfMi^tflur «■• mf* é i mtm.; fiwr qw» le ^Ua 

/(g. 36 , et la droite ge, g'e* à laquelle la gènératTkja'Atit' 
être f«rtMète::Pstf ■dÉtanpintr jwfti ymifita.mate o M Wg '^ 
la g*âîto-aMe¥,«1-wffi«.4tfv«ri*e ob iwtel Av» wr 1* dir 
ra<9rfoe;-'eLd6tnMaarffaËi)e:poiBit «i« ptni)MI*»^0.'S'ft'-; 
W».Mfft»»'(îr4btd»fii£ineetog«odrto pu ah» è»fte aas 
sa}abie.à!M BMtnir piiBt^ aig gtft eUa-ntaiâ «6 sunuil: 
leiB-eBf fevnrsid'foedigBK'Canrt* âèon^^qai Ait la4ipwtiie« 

descriptire, il suffit de donner )e8j)iljac{iwW:a-&C)a' ^'e', 
/tg:. tf^ cK ift-d^tUift»,, cet iw"9io\acii»Ks$B^g'è' ;de la 
AMta Â 4aqtnHe M ftafécMcice-doit <Mre.paf<Mke- .So.ÇfG^ i 
poû «Téir SMgÉiiénitriieii^tQopvte, U^Mftra deK0f>âri9 
Mpsiiit ^, vi, 10 19 «rfecinc*, (it 4c i««ii«r p«r c« pQ)qt-a|»i) 
pj J i BWI t à;g:6,-gV. - ' 

Le-e^dwdMît-à'bisftOHi^wdaBtiwtt) noqs se^t- 
mMoccolpib M':géobidUtef:«^q^it-*t|Q]Oi^ pai:Uc^lisr de 
cette surface. 

Une »«ffffaM:iAMi%N>>airii«agnlNe ptr vw droite aau- 
jrttlfe "ft pUHw contlM^wniit ^ar UBiWia^ denôé , appelé 
wntMM da /« jui^bce^et-à stûne le: ooBtDur d'une lîgpe 
courbé '^1)0060 qui .«ytiAJitnEflrue de âBtt« ^rlace. Foer 
déterminer une surface conique, en géométrie deicripUve', 
H saffît^a dpme» le8'|KttJB0tMM<,s'.du samaiet, et celles 
abcy i^b^ o^iàéla^ettMiat,ifig. -38» ev* pfHir, avoir lUe 
géBératficetitMleoMiae, il^FBr* de. prendre nn poiat hjv 
sur Udtraeii^ceyietdF j«iadra«e |poiiit<at} sommet; 

Le cAoe droit A base circulaire n'est qa'uq^cae partlctiUBf 
de ettHa^matasm. - ' 

Rmi aTQiiBraeiig^méli-iequo.tfHilesles sections faites 
par an plan passant parmn diamètre da la spbèFe . -ètaîQat 
égales il ua grand cercle de cette spfaere. Cette surface peut 
denc être supposée engendrée par UDdenù'gfand cercleo^i; 



>;,l,ZDdbyG00gIC 



— 86 — 
aMujelU à toartwr autour do Mamètre afr, /?g. SS'.CeUe 
s|Mre sera entlérenent npréMMte eagtoaiètrkidefleff^- 
tive lorsqu'tHi A)iiiieri les proi^Ktioas éa l'axe flt le dia- 

Geite snrfacQ a'est qu*«i cm particoier da «w/Sux» de 
f^étM)(>if«i qid fl«Bt «ogHOilréM |rar m« comlw pli— ■«■>il 
tie ft tonroer aatoar d'm axa situa dans sso plut. Fanr ^«e 
la surface soft déterminée , il faut coanaUre les pu^aeêaas 
a , a* à" de l'axe, /E^^; 40^ làa^ que la vteftabla foraM de la 
gèflëratriee a'bod 6tfppoa6e ptaeto d«H tn ptan gg^ paral- 
lèle à l'ao des plans de projection. Kous trouTeraos Ueatét 
le moyen de détenniâer les projectioas d'nw poUOo» qOti- 
ctHiqne de ta g^lératrlee. 

§ 28. De tureprétmtaticn An pefyidm. — Diaprés ce 
qae Dons TeBMs de dire, ta vttft qti'aie sorfaoe ceOrbe 
BHroitèe ae se reprèsmte pas par ses prejectem , do mAAie 
qa'oD ne donne pas Im projeclioas d'oB pl>B j ce qui serait 
absurde , puisqu'un plao n'a pas de Hmiles. Cet stobeea 
sent dèlermlnées par les proJecttoH de cartliiieB Ugaes tra- 
cées sur elles, la loi du mouTeraent de l'une d^ttea étant 
donnée. 

Les corps donëff de trais dtawastoas ne saurAteat avoir 
non ptus de projectton, et at eapenéant on doww ce a«Ki 
aux figures qui les représentent, ce ne sont que tas praifec- 
tiens de certaines figures poljgottales qui forment tas Ufailes 
de ces corps. 

Ainsi, les projections d'ne pyramide, d'un prime, d'un 
polyèdre, ne seront que les projectioDsdes arêtes ou des faces 
polygonales , en ce sens que les projections de ces.demiiQres 
ne seront que les figures d^mdnèes yiar le* pn^ectionsde 
leurs côtés limites. 

(juand on dira donc : projection d^un plan j&aoefatiTt a 
uiteodre par cette locntion que la. proFjectîoadu coniour 
d'une figore placée dans ce plan: de même l'exprettion pro- 
jection d'un ptÀyèdrc, àgnifiera la projection de cortiùoes 
faces de ce polyèdre qui eu formeront le contour. 



:,.;,l,ZDdbyG00gIC 



— %7-' 
€ela pcMrt, cherefaaKà rapitaMter va polyMn en gto- 

Xn pdyédra étant i w w ^ twfa d'arèlM «t in mmuuAt , on 
«ra dèleriBlliA les pn^cêttoH dNn pstyMm, qaaad od 
wnipn^lé toai MSacHmeUnFl» |>l«Mda pn^eellM. 

CMte millinin, lodto ajayteqtt'dte wt , aesMirafI paar 
Uut Ab» anvie dus luit* wft^iMdast pwM 4M ]fltpDly«- 
dra» ayast ■*« faima g*o« airt q— Uen arrMM, 8 Hra 
souvent plus facile, et eosolte pitu rigoomix pàart'esae- 
lUadi du dMBio , da dUnére , par 4m ««MirMffoM puranrat 
grapUi|im f. ailafMi fartta» éw ^«fsettow, d'Mrfns 
pwtàMd^ebtraott. 

Par exemple, qoaad M ^nl^étimamm pataHëKidpMe, 
a» MtK de dMaraotoer tes projacttoa* da tma lessoMttets, 
iiiiMlUMilliiairiiinirawifMiiiiliMliilihi l'arAu ai^aceiile, 
et «T«c cas dMMtaar OB pawrftomsinilr* lo pandl Wpfpèdff. 
Sa pr^eUM tout taa mnwmIst a« a'exp<wm>H k m pia 
nKcntrw dea.arMasparidlMesaBir'eHM, ^and etlo» dei- 
vent l'être. 

EuTèaBMi, M'Voitdflai ^w, da«U ncbetebe daspro- 
tectioDs des aolidflBt ob davra a'appHqwr pwficiilHninMrt 
à dédoire Je plaa grand nombre pMûUa dai éttaMal» des 
prtjwlhwuyOU d^iftiilhi» géPMéWqwe du aoBde. 

§ 29. . S^n divcra mtfmu da reprismur tu cafpt pwr h 
éamn ; Crofai^ pn^ettùûu ortkogmt/aUt , prtget^im» «Mv- 
f MMj jtatéptaiiet , vmktt» , nMftei. — Wifd^flB vmt 
faire le datsin d'an cMps deaaé, oo fatt d'alM»^ l« om^trù 
de £e6orps, c'eat-i-4ire ^œ, w plaçant Tis^à-Tis, on pro- 
jette à Tse las dlTCffsa 'arttae *A oonrlMs^ saot traoAes 
SBT «an eBTflloppe , sa» ta aeconrf de la règle A dii cM^as. 
Od fait aiosi trois projections, l'une sur le plan H, Ja se- 
conde snr le plan V, et la treisitee sor le pian P, perpcndi- 
culairean deui premiers. Dans l'art du mée^Biotea, comme 
If plus grand nombre des pièces d'une Ducbi&e admettent 
soDveDt des faces rectangulaires, et des angles solides tri- 
rectaD^, de swie qu'elles reafennoDl trais syHtètnes de 



i.vCoogIc 



lignée faMB*to^.r»cl-W)i»l«*W entrMiisj «n dtapaise ordi- 
nairement les corps, ou plutôt les plans de 'pÉ^eetibn dMC 
Qp.pi|i|l.t«9t>af£«boMir là é u i^tÊÊm,-.àÈ^ ^aihîèfg-qB^D 
VJ^MMK d'arAM fOit iperfj^tidiciriitfe m plaa H ^^ tandis qite 
lQMM»9|ât'«Hl.auiAfn¥,«|le4BiÉà*naa>iplaa f,9a9^t 
nt4awi:«MwêkB£»yr4}«tÉ«Dt 4^ yériUM« gniadMirv§ <?, 
sur dMiK,dw.trQis pLuMde. pMjjeatiiHl. ûrii irofe sjnMriHW 
<^'f)i;ètfp ç4|ii>tibiei««« ipt'oK M«qia'«teiralMi«at : A«u- 
ta^t tiftmiiç^-img^^' . ■ ' ■,;■,■- 

lUSBaiOK, toHbn Jtta «'êk» que I'm a> pn^MAe». Aii^'CM 
élèiDMilsoD a tODS les moyeos de faire ke-*v«Mp»-pci^èt:-' 
ti«B8 ^M âlms altM3 JUii^eBf rtf'défiàir.^ 

Oa VfveM fr»>ee<kM ariJttgv^air <f9BtWf^ la pnije»-' 
ti«B qm l'«) oUitttt ijmnd leut» lea lipai^ ypi fal alW 
d»yf^iJtfi.âa£or|>»flOBt .perf>ndi(plair«i m plan-dflpTti- 
MO^m. ^ftWH ies fVqpBcUokiitaB'^iD urilMs 4KH:fe8'af4â 
iodastoi^-Ilaps MDdi«hoas^lcis.l«p'Ott sortes de projec- . 
lions avec quelque étendue. 

Dans o<« pn>iMtkiii>', oo aaiBiae pùm lap^ojtBHdBfwte 
wr lept&Dfif ^^i«alton ceUefailésBr le plan V, et- profil 
c«Ue faUe lUr le pUD P. 

Pour tnmvvr.la iptoiJactton otibofiODàle d%Q Hrp»v la 
nUbode.génèi'aleeoBHate â:abaiMer. delods te6 points de 
sMixttM et,àe sei ili^MS. de fiontoor, dM pespondicirirtras 
SHi.plMit'defCDjeclioB.jcaee (umCwunajit asx i^spQsitioni 
que Bousveqoils Hé. râcoaiiMndcf . Hais sans venons bien- 
t6t.dw ifiayeas 4c »iftt(]liliM-,fleljte luèlbode ^n^ledaw 
besqcfluf 4i i:m,«1 wrtoiet .(wer de»f«rties ées corps qid 
D'aufflient. p4s d'arèlen' par«llèlea anx i^ns de [uvjao- 
tion. 

IiW lignât prcg«ia#es Mmat um fiHrflHe cyliaMqae 
dont qMehtuM't>ariie8.pBHVfiDt.èlre planes, «a prisM^iqaes, 
et la proteetiolt'eat tueseeUoB faite par un piM perpendi- 
culaire AUi {jânèratrices ou arêtes. 

On .appelle f^fdijecftan oi^t^te^ d'un corps, cellequc !'«& 



:, Google 



■— Î9 — 
«ditient loaqae lœ l^mi pn^taMeoie toos. lés pMÉH tki 
corps Bout obli^tus pn rapport aa piQB d« projeelitm ,- tpiM- 
que t^joBn paraHèlflB eDtr'êtles, odmme daAs'tos plt^'ec^ 
tiona oiAogoDaleg. 

Il sait de^tfeUe diflatlion -que poor obttmir ta proj«Gtt«a 
xâiliqted^tia' oorps , il tant ae dooner la ^irtietfon éei ligMl 
>cojet»nt«i:,gNMerypid'l(nttLJes pnJMi'jÉes «t^, dMpi)- 
ndlélesà cetl«4lrMlîAii^fltclaadbBTlMTwiM5 dafaaèoatM 
«te cea p4r^Iél«S: avec ]& fOm de pwjri i t ii a. fia jà^mâ, 
ce» piMfBts dft. MBCOiitre pas àet tigaas Qoraesps^teriwà 
cel}ei^(Jttcorpft,ott«aaiiBala'prbjeetk0QUi9dei ■■•■■.■■ 

,]^ UgMsiH^oietaDtesiQrmeat «u:<awiola>ieisprf«w cf- 
■ lindrique, midslaprojecUcaïad .aaeinclâM,«k)lifBe Ml| 
dM&tettesnriKJe. • . ■- 

fi«m rei4>nclroas ègatoneat plnslf^sor ce. mote-di 
pr<4ecUott.. 

■Ob apçbWs fnv^ectifn jUrapecUw , ou simgUaaaBt par < p« p ^ . 
(tve^^Btt coi^, la <pn>jeBlMD .^^Be-lfoo dMxAi- tarTfnfcw 
lignes projetiii^csqBipaNâMpM-laUslas^oùatStdl) «aipt 
ne soDt plas ptri^llèles^ CQjmti&.dfui te»dHx iHiApMâDteg 
{tfi^diow, BlMsTOBl oonoouriT'Cn UDJXiBt ^ l'Oft.g^|^ 
poiseâtre V«B>( det'fdHIiGwibBlirJ , :. 

Dtaprès cela, pDUcabtàMrlapflrtpocXixO' dloo corps, ^ 
faut joindre le point de concours, supf^iU dooo^^ .àlSK 
les pointe ihi co^s , et iib»ciifen1<q't<>i"'9 ^ katacMttië de 
ces-rafOBKvisueAa-nei} IwfSiB dtipM^eeten^finïjagMtit 
ceflp«atl^.Ji^con(»par dBs%aM'Oi 
du' co#p», snea ■ara'la perapéctivi!. 

Il cet érfflflfet'qaè ^an^ cec^S )cà ligae^pM|«*aalwfdriiMiÂ 
niie stirfa<!e:e«i]l^ d«Qt te soîsBet est l'oslli do l'obsen'i^ 
teur, et que la perspccttre du corps nlest iqu^dM leçtiaq Mut 
dniB cette suftacé par le plande profectioo. 

-Gwsaie'coDiptàiliàitdë cEsproieéi^ desicffpItf4de»corp9, 
et potrr réallsftf d'iaifleQrs ce qilt s&'pssse 'dans la natltlfe, 
on dëtérmiBe l'ombre 'portée par ceA corpq soi- ceux'4)Ql Iqs 
entourent, et «assl mr le» plans de prqjQctioB; c'Mt-i>dil«, 



by Google 



— 30 — 
qB'oB lea Mppoee Adaifës, ctMBmci daas li DBtiu«f par des 
TiyoDS èmaiito d'aD corps sitab k l'infliH, de sorte qoe ces 
rcyoM pMnreM 6tr« «msidèrès comme panUèln; alors, ti 
l'on ima^e que ce rayon Inmioeux sait les cootann exté- 
nmn du oorpi qu I'n comidâre , il eagnidrera om inr- 
CMecyliadriqiM qui, derrière lecorpsjc'eit-à-^radaiula 
Urtto de l'apac* op p oté t à tsMe d*oà la tanlàre viestf tè- 
pm l'eapan M deax piMiei,l*BiM«cUfrèe»t l'anUsdans 
I^Mribn. S oMIe dandère partie «st reoeontrAe par «D eor[M 
qwtMaqae, qb plan, la prir^Oko de lamléit-e oa llmpres- 
sioa de l'oinbn n &it aesOr ssr cet objet, et la Haalte de 
la fifore qsi n'y forne , est ce qv'oa nmiiMe Combrc fortée 
parle corps doaaë sar cet objet 

Oo reeoBDait aisément que le rayon laaiioeax forae 
risri, d«M son DKHivemeiit, uu nrEace eyttoâriqoe qui 
eeveloppe le corps de tontes parts, et qu'oa oomme pour 
cetli r«wa Mtf^kee «Hve/opp*. Cette sarfacebmche le corps 
aidTiBt ve co«rbe qui Ist^areea deux partiet,rBiie qui 
■«{•tt de la tttoiidre , l'autre qol «"ea reçoit pat. 

Oa appelle o mir é p^tpre da corps la partie de ce corps 
4riBsre{sU pMde lamUre, êtamhreporiét sar «airf]^ 
qadeoaqne l'intersection de la saiftee cyliàdrtqoe tpA a 
yoar fèDtndrke le rafoo loatoeax A qol «orelt^pa le 
cMps, avae at o^it 

B a*iM de lavarqaer la fliuSifaide des procMés em- 
piayéi pear abtaatr taa antrea portées et Im projec^ 
tiMi niHgiiia 1 w Staes projetmtei des prqJeeUon oUi- 
qnes ae sont qae les rajoai hunieeaK , ea n^iposast qu'oa 
iMT dmiMi ladirediM daa Hpiea protela^M. fhtn Barons 
diac aftttirellMaent eoadmti, en parlaat des ^^^tkms 
lÉWiiani , à aaasQccBper dBs<imttfes. 

Enfin, nous otMoas encore, dans le dessin, on dénier 
pieeèdè qot sert à leyrtsa n ter la dMaUs jniMaars des 
oHets, qui restent impar faitoflwnt lipulés par les preoùars 
procédés descriptifs. Ce sont im eovpea, c'est-ànKre les' 
iateraectioiu des corps par des |rians qoekaDqaes. 



3,q,l,ZDdbvG00gIe 



_ 31 — 

§ 30. Avantagée et ineonvimtntt det projeeiioHi ertka- 
gonaUt. — Xiorsqa'oD a placé on corps de OMBièro que ses 
dlnieiin<»s principales, c'est-à-dire, loBgœur, largeur et 
haoteor, soient parallètes aux plaas de proieclîon, to^las 
Im aiéttt et les courbes parallèles à ces plans ont l'avanti^ 
de s'y projeter en véritable grandeDr; de sorte qoe, ajant 
desiiaé les projections de Tot^t su les trois {tlaos H , V, P, 
Bott de grandeur nalnrelle, «oit k une écbeUe doaiiAe, «a 
peot , avec le coB^>aft et te secours de l'écbeUe , relerer nne 
distance pardlèle à Ton de ces'trois plana, et eo rémunènuil 
à l'^de de l'échelle, connaître. immédiataoïent la loagoeur 
de la ligne de l'olitifit qai correspond i celle du deMiis. ]>£ 
tniirdlamnoos des corps sont 4rac ainsi données ^r ces 
tralB prqJeetioDS, et avae nne seule tekdie. Les avantages 
de ce mode de dessin sont donc incontestables; aussi est-U 
gtaëraiemoit adopté. 

Hoss verrons plus loin qge ce g«we de protection trouve 
encore son avantage, qnand on place le corps sur on p^ 
quekonqoe . ce qai permet de doSBtaer sor une seele pro-> 
Jeciion trois faoes de l'ot^et à U Ms, taadia qa'en pla{a«t 
lecorps paraUèlemeot aox jplaos de prq^ectjtOD, il, fant trois 
pn^eetioas poor dauwr WMldéw exacte du corps k dessiner. 
Ifns parlerons l)ieatàt donoyea toRéniMix envlofé par 
■. SUmmoi dans aeàfro;fçcti*tu orikogonattt, pour obtoiùt 
ca genre de ^ojeelio». 

L> ■eoi-ncoavàiàeDt qu'on piii«e trouver aux preyactioa» 
orthogonales, c'est d'exiger tnris pfDjectieBsdiSèrentespour 
représenter n^toneat le même oltiet , ce qui nécessite ton- 
}ows de la part de celui qoiconsaUe on dessin, ooeeertaÎM ' 
haUtade aequia« de relier ces trois pr^geetions eatre ellss 
poor en déduire la forme réelle do corps. 

L'naiqiie projection sur nn plan qqdconqw dont j'ai fiUr 
l6p)B8haia,D'aoraîtpasGetiocoB«ènjeot; nuiscooine ta 
remarque parfaitement N. Similieii, les directions des arêtes 
da corps sont altérées, ainsi qne leors grandeurs ; et «Ad 
il faot constmire trois échelles, ce qoi est toujours qob 



>;,l,ZDdbyG00gle 



— 3Î — 
opérsUort AfBcile.N0U9revlendrons Sar GHciHMidëltitieas^ 

^■H. jivontagti etiHco/tvènUnts dea ptitjéetiontoHfqnes, 
-^ DatK les pro^tloos c^lîquss, si l'on place mcore les di^ 
iQbDMoas-du cQrpaàâeSHneFparallèienMtntftm: plaoséspro- 
JO0UOD , la longueBr et la bautsnr coiuerveroot leer granJ 
âettr 6ur Us i^ds de! prtijeétioi^ comilM panllèlM ooippristb 
entre paratMiec, /î^. 41; )S'troi8ième'dhBMtnQ»B«BlepMirva 
Mre «ttèc4«, nais, coHnojiaH le venûin ,-.aan«iLuDf re- 
port donné et d^wedant d(L<boÉx de ta dvectioadn tigm^ 
ptùje t mU a .JiaotitatB ^jo^ettioa sliflTa pour'repn^aealer la 
CM-pft, pliisqoe doux dan» (rois dimensiolit Bout rBU-âaréee 
k l^écfteHo'deBDAé, et qMw i^-tnmimt poulrra se ceidure tt 
ceUedv denlii; oai'alEBOtaiitil'unnisoëffttâeot eaastaat,<q«i 
pQarra fitre&aasi «impie ttnepflHiUâi par &e^tflfiàK 
«galàiâaà2. 

Cette projection a l'avantage de laiMerrair lecDcpssoas 
trds fecteS^ et'par ^oMè^Mt dtt donner uNeidëe. Mttede 
son eiMeibUe: et cela sans trop en. altère^ te» dtffleiUloHi^ 
pa^u'^oe maie s'en ironVe HUMlMàe, dà que ce f^tipàs^p 
prltjflétiOD otibogofMle snr ni'iHaoquelcoiniiié. 

' Son fflCdUTéBient est "celQl^ «st eoffiuuaà Ijoiifes-M 
(dvjeetiocs Eâites-à l'aide de lignes pnjeutKsi par«U#e»; 
e^l éb JTMQer «ÉMidaagedO cttrpt qa}ia^t|Mtntcclte«i»lt 
tàquèile on-fe voit, ffous 'revIeséfORS ««tcore'eti aoQ'iieir sur 
ce genre de projection, pour faire voir kme'quid'saBe^ M. 
Stnrilieii l'a àppHqitè-audeMfti'dei.iùaieiiiBEaypoilE'ilaDber 
uRe idfie dé leur ensenUile- 

"^'3i.Kiftmlà^ et ineo*wHiiiè^3-deta pertpiectita. — -.i^ 

lels^qBà nous tes prtHQte lanatBRvP'rcè i|ttélss lignes ptAr^ 
jetantes partent d'unpoint^ etqoe, en elfet, leslraïwa vi^ 
suels partent de l'œil , pow* laller suivre les^coBfiHwâ'du 
cérpB, et «alali^r la trace sar vh pi» imaginaiite plfOË 
entre l'oësâfTalieuretl'ofc^. 

Mttis^la pefSpeeHve ne conmnt.pas au dessin des mactû- 
Bes, patee' «^ le mècaDieien a besoin de consulter le dea^n, 



>;,l,ZDdbyG00gIC 



— 33 — 
moiis.paur'ja^'de son easeOiUe, qoe ffiar en releverles 
dimensioDS des diverses parties , à l'aide 'du compas et de 
l'échelle. Or, la perspectÎFe aUCre tontes les dimeogions des 
c<HipB^ «t le. draain sérailï alors impropre h Mproduiïe im-' 
médiatement , et à l'aide du compas seul , les dimeosioDS 
que l'ouTrier a besoin de coimaltre pour confectiomier 
l'objet. 

,§ 33. Conventions adoptées pour le tracé dea ligneâ et pou^ 
eetui des- partie» caekéet. — Gomme la projection d'un corps 
est-souvent 'for t éloignée d'iroir la forme-que tb corps pré- 
WDtcè rœit,on est cofiTenadelFacHeDiiP^n lesafët^oii 
coorbes qui sont vues , et de ponctuer les arêtes ou cQurbbs 
cacbées. Voici les conventions adoptées à cet égard. 

Bd r^ardanf la projection faorizOatale , l'œil est supposé 
^cé à une diataade inûoie au-dessus de ce.piaa, de sorte 
qœ tous 'leftrajonsTigaelfl sont parallèles entre eux, et per- 
pendiculaire» an plan H. En rËgardailt la projectioa verti- 
cale, l'œil est supposé placé es avant du plan V, el àum 
distance infiiùe de ce plan, de sorte que tous les rayoni ri- 
suelssoDt «ncore lesljgpes. prejelaBl«s éed points du oorps^ 
par rapport au plan' V. 

Uo point d'un corps sera vu. sup runê.dcs pn^âctî^aai 
lorsqu'une pebpendlcaiure élevée par ce pàf nt au plan ie. 
projection , et s'éloignant de ce plan , ne relcoiitrcra atfr aua 
cbemin aocooe partie ducorps à^rojeter.Un point ducotpç 
sera caelié dans le cas contraire. 

Sur letépnrei,.noii8 èloidrons cette convention aux Ugnes 
cachées par les plans. 

La ligne de- terre se ti'ace pleine'et tine; les lignes don- 
nées, les plans, les corps donnés, se tracent en traits ptainEi 
plus gros i ainsi que les lignes , les plans et les corps trouvés , 
à l'exception des parties cachées qui se tracent en points. 
ronds. 

Toutes les lignes et plans de cunslructiuD , destinés à coq>- 
, doîre â la solulicm du problème, se tracent en éléments de 
ligne d'une longueur uaiforme et très fuis; les perpeddicu- . 
3 



:,.;,l,ZDdbyG00gIC 



— 34 — 
lairm à la ligfne de terre se tout eo èlAmeots de lifoe très 
courts et très rapproches. 

La ponctuation en points ronds des parties caehèes ne 
saurait s'adopter par les lignes de coostructioa , dons aneon 
cas. 

Leslignesou les surfaces données ou trouvées, dernmt 
donc être poDctuëes dans les parties cachéespar les plans de 
projection. 

§ 34. Définir le» traOea tCuTie droite êur Ut plans de ptv 
Jeotion. — On appelle traces d'une droite sur tes plans de 
projection les points de rencontre de cette droite arec ces 
plans. 

§ 35. Déterminer tes tracée d'une droite dont tei projeC' 
tient 9ont données. — Soient hk', w' fig. 42, les pro- 
jections de la droite. La trace horizontale de cette droite est 
on point dtué dans le plan horizontal. Ce point est égale- 
ment sitné sar la projection horizontale de la droite, car il 
est à lui-même sa projection horizontale. La projection ver- 
ticale de ce point est donc sur la ligne de terre; et comme 
c'est une projection verticale d'un point de la droite, ëUo 
doit faire partie des points de la projection verticale vv'. 
Donc eaân la projection verticale du point où la drmte ren- 
contre le plan H, est titnëekla renconirevdelalignevv' 
avec la ligne de terre. Or, les deux projections d'un même 
pi^t se trouvent toujours sur la même perpeadicnlaire à. la 
ligne de terre ; si donc nousélevonsvA perpendiculaire à/f, 
le point h où cette perpendicnlùre mconlrera h h' sera la 
trace horizontale de la droite. 

On ferait voir également que la trace verticale v' s'ob- ' 
tiendrait en prolongeant hh' jusqu'à la ligne de terre, et en 
élevwt A'v'' perpeadicnlaire à U jusqu'à la rencontre de 
Dw' en v'. 

Le procédé est applicable à toutes les positions de la 
droite, ^g.- 43. 

§ 36. Loriqu'aHe droite ett située dans un plan, ses traces 
sont située* sur les traces du plan. — Ce principe, qui trouve 



>;,l,ZDdbyG00gIC 



— 85 — 
i ehacfne instant son application ,e8t facile A démontrer. En 
effM,la traee horizontale de la droite est un point à la ftds 
ataë dans le plan horizontal et dans le plan donné; il doit 
iaac être an des points de la commane intersection de ces 
denx plans, c^est-à-dire de la trace horizontale du plan 
donné. 

g 37. Loriq u'un point est littU dant un plan , «et projee- 
tionë ne sont pa» gininUematt tîtaées fur tes traces du plan. 
Quand cette eaineidence a-t-etle lieu? — Il est évident qne 
ponr qae la projection â*uD pûat soit placée sar la trace 
d'nn plan, il faot que ce plan soit perpendicnlaire an plan' 
de projecttoD que Ton confère; il ea eel de même d'une 
droite. 

§ Z8- On ne peut te donner un point ou une droite^ appar~ 
tenant à un plan, par leur» deux projections. — Lès deux 
projwtions d'un point ou d'une droite déterminent la posi- 
tion de ce point oa de la droite ; dire que ce point on cette 
droite sont situés dans un plan, est dionc dwiner une condi- 
tion de plus, ce qui est impossible. 

§ 39. Une seule projection (Cun point ou d'une droite 
d'un plan, étant donnée, le point ou la droite sont détermi- 
niê. — ^ En effet, si par la projection donnée, on élève une 
perpendicnlaire au plan de projection , sa rencontre arec le 
plan donné , détermine le point , comme aussi le plan pro- - 
Jetant mené par la projection de la droite, détenmoe ta 
Aroite par son intersection avec le plan donné. 

§ 40. Vune des projections d'une droite située dans un 
plan étant donnée, trouver Cautrè projection. — Soit aba' 
le plan donné, fig. 44; AA' laprojecliondeladroite. La trace 
horizontalede cette droite est en h, car cette trace doit être 
k la Ms placée sur la projection h k' et sur la trace du plan 
§ 36. Ce point a pour projection verticale v qui appartient 
à la projection verticale cherchée de la droite. Four en 
trouver un autre point , nous remarqnerons que A' est la 
projection horizontale de la trace verUcale de la droite; et 
eomne cette trace doit aussi se trouver sur ba', et aussi 



i.vCoogIc 



— 36- — 
sur la perpendiculflire /l'v', elle se trouv^fla à la ren- 
contre v' de ces deux lignes, el w' est la projeciicm de- 
mandée. 

. Eb preDautladroitedanstoate^sesitosiliolis, ainsiqnele 
piw, 00U8 gouintts conduite à coasidicer la droite qauid die 
est parallèle à l'un des plans V ou H, ce qui fournit le théo- 
rème suivant que nous allons ^émoatrert 

§ 4t. Quand uAe droite parallèle à l'un des flans Y au H 
eit eàuée daiuunplan- ^iieUonque, »a projection sur Voi* 
lur H est loaraHèle à la traoe du plan «w ce mime plando 
pfaje<aion. ^- EU efli^, sn|»pGSonfi «ettedrohe Itorizoutatè. 
Le plan'dbnnè'et le plaii;pr«)JetaBt pail'feilt dooB^r cette 
ligne , et leurs intersections avec le plan H sont partiUè^ 
les- (70). ■ ■ ' ■ 

Il suit ile là que si l'on veut appliquer le problème du pa- 
ragraphe précèdent à ce cas, il faudra se donner la 'pro|eG<- 
tioo horizontale parallèle à la trace horizontale du plan , A 
c'est d'une parallèle tfu ^plan H: qu'il s'agit; ou ae donner 
une parallèle à la trace verticale, s'il est question d'unie pa- 
rallèle au plan vertical. 

S(Ht kh%fig. i^i laprojeelien horizontale d'une horizoib 
laie. Éteivant hv, perpendiculaite à la ligne de terre, le point 
V est la trace verticale de eet^e ligne, et v r' estsa pnn 
■ jeetion. '•■>.■■ ■ , ' 

Soit vv'r la proj#aQ(»i verUcate de l'horizontale. Abaissuit 
v/t, perpendiculaire à la ligne de terre , et menant 4 A." pa- 
rallèle à 6 a, ce sera la projection horizontale de llïo- 
rizoBtale. \- ■ . 

8 ^2: L'iint-dei-projecti0a d'un point situé dansun ptati 
étant donnée, trouver l'autre projection. — Il suffit poUF 
résoudre ce pireblènie de faire passer une droite par ce poltrf 
dans le plan , et de déterminer l'autre ;prt»jecHoû 4« eette 
dcoite, eommenous venons deJe taire. 

Soit k la projection horizontale du foiat- donné, figi 
46. On peut (Wnpioyer . à la détermination do sa projecUon 
verUcnle «„soit «ne dsoite qjiçlcoqqwe dont m se donna 



J,.;,-z.d=,G00gk' 



— 37 — ■■ 

t«nnwe.' ta: projecthm vertical» â'1»^-• soit «ne. borîwnMate 
od, o^d'i^aaUxuae p«ralld(e au plabvertlca)'*/',' e^f^'efe. ' • 

SilejplÉp'ëiaitparaUéla à-lAltgned«4t«rF«yoil FèsoQdrail 
le problème delà même maaUùj taïak onpcst' 1b falrd t>ar 
DaeeMnti^uUtnn phlqàlégâotei:Soi(kbt'aiiii'6','j%. 47, les 
trao^ jda' pin ,Fiï» la ipn^Kli«ta «doMiAe* MtfooBs- pèr le 
^o^AfàiQiplao pgVpetrilii^reià.ta-liBde4eit«iTe;il'eoii- 
tiCDdrale-pcwBt- donnée BftoKpbintseca Sftué lur riolenec- 
yod.dm'deui 'plaos^ Or., cdUe JétersectâiD^pa^erlés plaaf 
H et V aux points k. at:^,-AAK'rile:eit «ootcnmjdans ihacHo 
desdèax plïrts, g ^6. St.tlU ésb lîf^^pcAbéouse d'-on tiriarngt» 
ra^angteâootl^/i'est ini desicAt^Sj et pjb l'antre cfttè^ Ra- 
batlabkce,tritaÂgte9iilrle<plé» hofxltnitsl'earla-f^iftakt tonr< 
ner autour de pk, il prendra la position pkm,c»v p-f; 
Uant perptodieDiare à fi Idirâstera perpeadlciilaini pfen- 
dant ee.:moiiTcraent, et se rabattra sur la lif^oe^^terrei 
L'iaterseoliDa- deviendra 'doRi: Am.'BMs:ce' Aiouvarowid^-ld 
-paiâl;.d^ r<cspaceiAidè£rit nD.aro:d«ispclei^rpendk»toirq 
à la cbaroière, et est veau se rabïUre isur AD':{reifadd)P 
c^VlaJl'è .kp-:h,_ Bmr «fl.fuilHkiqeMi 'litilé en r. Sa hauteur 
«u-4«»iis:ttb{il^o B ètioAhwi, a0.aapit.s4 pnjectiaD vor^ 
ticale t> ea raisantpv=Àr^ § 12. . 

. Ii4iùr tARUteifDBS UeUtf» d'uritea a^lioalloiw du rabalte- 
meot.prAcMeBt. ■ ;.; ^ . .- ■ ■■-' ^ -:■ >■ 

btètaa.attei posai sqjolfiei, eb tgiantètrie ;descriplî<re, qtb'rV 
B'tsit-dq trouver, les pmjeolieDiB dp'l'iDleraeotion.^ls ^Aetue 

pllt[Uâ«l(jfl»-tU£ÈS SQDt.diBWtM', "V 

So^SBt ap'J'^.ct»'fr''teaplaos4iiiH)éa,.7îf^ 4& L'ntwscc' 
tion de ces dniisiiplaiis deitpaadar >lepldalde^projecli»kfi>j| 
ta-fiefi&WT.IésâcB^ tr*ee8'ii)c^:B'c' §^fi>;idone Aiest (antAce 
horizoalale de celte droite. De.tnèue'H-tvice vwtioate est 
loipeinti^'.'iOvai^ooo déjiÀ.in^oiatdechacane'desftrdjteC' 
twi]sdal8draike^iHff'ontsaU:qufl la trace d'une dreltfrsur 
ruades plaaS'd» priqeclioD, § 35, est toujours siluiesorla 



>;,l,ZDdbyG00gIC 



— 58 — 
pnijcction de cette drnte sur ce {du. pUis h «ri- duu le plan 
H, ddbc sa prqjectioo verticale v eit sBr la lipie de terre. 
De wéme v' est dans le plan V; donc sa projection h' «et sor 
la ligne de twre. Bobc enfla h h' et vv' sont l«i projections 
de l'iBtersectioD des deux fiwa. 

Si les traces horitoDttto des déar plans sont peraUMes , 
fig. 49, rinleraeelloD eit trariiontole, car cetdeHX plane 
paient Alors par deux ligna parallMes (72 et 7i).Lep<riat 
V est la trace vertic^ de Tintenection ; donc vv' ert la 
projection ferticale de cette intersection, et hh' parallèle à 
a c en est la projection borizootale, § Ai. 
. Si l'âQ des plans donnes est horizontal, (tg. 50 , llater- 
section est horizontale, sa projection verUcade eitTu', pa- 
rallèle à ^f, et sa projection hori»Hitale est hh' parallile à 
ac § 41. 

Si l'nndes plans est veitical, sa trace horisontde sera la 
pn^ectioD de riotenection, ^. 51;8i l'un est perpeodica- 
laira au plan H et l'autre au plan V, la trace horizontale du 
premier et la trace verticale dusecODd seront les pr<4ecli0DS 
de llnteraection, fig. 52. 

Les deux plans étant perpendiculaires an plan H, llnter- 
■eetion est une perpendiculaire à ce plan , fig- 58 ; et «Ue a 
ponr projections A, v v'. 

Lorsque les deux plana soi^ parallèleB à la HgBeds t#re 
ou qu'ils passmt par le même point de la ligne de terre, fig. 
M, on peut couper ces deux plans par un troïnème quel- 
conque, qui rencontro chacun d'eux «liTant ose droite, et 
ces deux droites se coupent sur l'intersection. Ce point de 
section suffit dans le premier cas , car l'intersection est pa- 
ndit k Ity et dans le second, car l'intersection passe par le 
poïDt de la ligne de terre où les plans se conpenL 

Hoas retrouverons § 49 un procédé pU» élégint poar 
dUerminer ces intersections. 

Quand les traces respectives des deux plaMoe se reaeon- 
trent pas sur l'épure, on peut se proposer de trouver leur 
intersection. Soient b ac, b' a' c' les plans donnés, ^g. 54. Si 



>;,l,ZDdbyG00gIC 



— 39 -«- 
noos mentim hq plan quelconque qui coofte ces deax plans , 
les îDtorseetitHis se nDeootreroDl but rioUrsecUpD coaimutie 
de ces deux plans. Il en sera de même si nous les coupons 
par BQ aeeoDd plan qnetcooqiM.. Kons aurons donc aïasi 
détermina deux pointa de l'iaterseetion cbercMe. 

PrtsBons pour premier plan qoeli^onque on plan horizoDtal 
d«, et pour deDxième plan un plan paralUIn au plan vet-tical 
fg.Le|MandeeiHipe les deux plans sotTaot deux droites qui 
M reneoidrent en h et «, et le plan fgk» coupe suivant 
deux drdtes qui se rencontrent eu &', «*. Donc hh\ w', 
Boat les projeclions de rioterseetion cherchée. 

§ ii. De» rabaUemtM ; de lear utiliU. '■ — Lorsqu'un 
^M Dontloit des p(^Dts, des drràles, des courbes, qu'on 
TeoIHe disposer comme ils. le sont dans l'espace,' on y par- 
Tîmt daëmwt en faisant tourner ce plsu autour de Tune de 
ses traces comme cbamière , et en le rabattant sur l'un 
des ^Bx plans de projection. On rabat aussi tout ce qui se 
trouve dans eepliHa,et l'on a ainsi le moyen d'exécuter hit 
T'épure, pnisqn'^ opère sur les phus de pn^ectloa, les 
opérations qu'on est dans la néces^é d'aSsctuer sur les 
points, les lignes, et les courbes dans le plan. 

Le rabattement des plans de projection l'un sur Tautre 
nVst qu'un cas parUcnlier de ces rabattements. 

§ 45. Un potTU d'un ptan étant donné, trouver son ra- 
batmaau sur U plan R, quand on fuit tourner le pian au- 
tour de ta trac» herizoniaU ■ pour te rabattre sur te plan R. 
■ remarquer t/ae la eonttruction donne l'otite du plan avee 
l'undet plantVott H — Soient^ et v les pcojections du 
point, fig-'5iiabf a'bf les traces do plan. 

Tout point d'un plao qui tourne autour d'une droite, et 
en général tout point d'un corps qui tourne autour d'un 
axe, décrit un arc de cercle dont le centre est le pied de la 
perpendiculaire abaissée de ce point sur l'axe, et dont le 
plan est perpoidiculaire à l'axe ou k la cbaroière ( 62 ). 

Par le point donné, menons donc un plan perpendica- 
Mk à la cbaniiére. Il sera perpendiculaire au plan donné 



>;,l,ZDdbyG00gle 



— 40 — 
et au plan horizontal, el ce sera le ]>)aa de l'arc dé cercle. 
Sa trace horizontale' paa^ra par h, § 97, et sera perpéB'' 
diiiuUiirc a àb, amb iotersectioD'dedéQx plans perpeBdi-^' 
ctilaires à un tFOisièmé, eSt pérpendicUiftire à ce troMèRW 
(79) , et par coBsétfoent perpesdicnlaire À la'traee âa plkû' 
qm 110119 venons rie itteoer. Gela posé , si nous aapptfsooifle 
point de l'e^acejoÎDtà sa projection Aet au point g par fleDX 
droites, eltes foritierabt arec-gA un triante réotahgle eo 
A; qu'il est aisé decoDStrBtre,'car gk est' un descftlésde 
l'angle droit, l'Autre cAtsè est' la hautenrdu ^oint ad^desm» 
du plan H, et cet^e hauteor est meeuréb par p v^ § 12. Or, 
l'hypotëniise de ce triangle est perpendiculaire it aJi, car 
eîle est- située dans le plart g *> g*. pui9qu'«Ue unit le point' 
daaaè et te point g qai soM sIltltés'daQSCê^an ; et stiks la li- 
gne a'6,qai est perpendicolaire au plan'^H^'g'est'pei'pâitl»-' 
cnlair^'à cette'l%ne'qui passe- par son pied dans ve plan. 
Donc enfi» l'hypolèniise du triaffgle rectangle «dont nous 
parion», est' peppendicnikîre à <l6, et exf^rimera lis rayott 
de l'arc de cercle deerit pd- 1« p(tint:i)omié'j:oii'>a disiaDco' 
de' ce point'àîa trace aï. Bans le rftbattement', cetin'l^fw 
reste perpeDdicolÀire àlachariiièrê, et'ene vîent s'appNt]uer 
snfle ^rolongeméDt'de tt'g en gA:. Poaravi^la posltton du 
point dans ce rabatteiîi'ént, il sôffit dont:" 'de tfottVefc'l* 
grandeur dé Khypoténttee précédente. Ce triaogte pourra 
se construire où l'on Voudra , avec les deux lignes g'k -et «p; 
ordinairement, on rabat Ce triangle sur le plau H, en le 
faisant tourner autour de g^/t comme chffrbière; le' second 
côté -do triangle, dans Ce mouvement, reste perpendi- 
culaire à la cbaraière gA, et prend'^a diretttioQ hd.fîA-. 
saolfid^^pv, ct'joigoant grf, cette ligue est la vërit^nble 
grandeur de l'hypatèouse ; et en la portant de' g en A: , le 
point k est la position du poiatde l'espace dfifis le rabatte^ 
ment du plan. 

Il est facile de voir que >;d n'est qu'une partie dw rabatte- 
ment gg" de t'interseclion dcsdeUx plans aba\ i^v^; celte 
inlersection perce le plan Hen g, et le plan V ea g'. On ob- 



i=,GoogIc 



— -il — 

tieaâfa doncègàlemeDtlQ'IoEigQear g dm rftl»)ttoat J'-inUff-. 
section entière en ga", à l'aide de l'arc da cercle s's't ^ 
de la [>«qiiendirï)laij;e a-g" kog,.ISeaa,ot «maitaïkiptinl- 
)èle à ox",-^ia.tTouve. déterminé.. <. ^ ,,.-,'. 

La détermiDation de la loDgueuP:^(^ p«Ufreit encçra «a 
feife eb. clÉMkttaBt le tri^oglft TiMafi^mKl«i..fiW.^t 
eo le faisant tourner aulour .tie ug'. Aiot:S |'iatâTSflCt^>Df 
des octaux, plme çteùA la posilioit g' g'". DAO»'Cie.ai^te' 
ment ,.le pqîiit «RcbaBge. pjas-dtj havleur -.vp. 8V-4es«w «^ 
plattB,iliarabàt.donc.eD(£Air la-papalièlev/l! «llaUgM 
delMTO,etg'"rf'=g<(. POTt*irtg*"d'd6.geBA>le pfiRt,^ 
est d^tCTmiQâ. 

Il est à nnnafi]uêr que l'iuigte df^h, m Bon iffli og"'g'.f! 
est précisément l'angle du pMdi «Looité avec )£> .pIsfiJQ^ .car 
il est foii)»& par deux pecp^iculMres.meQjie»^aju pi9Wt^ ^ 
la cAinmiiBe Int^séctîon , et dans, chacun dm 4»'*^ pl^^ ' 

Pour que l'épure indique la série des construclîoi)â^:ieÇr^ 
CetauerjOD.treii^brte d'abord i&\iff)epv d&<lt «n^t Wi's 
traDspDXt«il:Juiî.la Jàgoe de terre dQ,;i;eif /v^Piat^^idl^QHf rt 
deEodwIe vfâÈtfH de p .coam^ centr^j.pujs , on tc^mpAçte 
pfàe.heai, àiroide^de If pecjwddjculftifp /m et »nfip en- 
porte ht de h end par. l'an] ^fiticerclfi.ï ^ ^fi^ril ije h Qpmpie 
oeo^. On 'poitoeD6uite^4i.(le,seii A.. avec l'afc 'dç cercle 
ff.i,décril' de gi comm^ cftolKe.Daps.lesau(fie^.pi;<>c^it^,.Qll, 
tratiwa ff'g",g:g"-. puisA**^ pju^ssfip at,- eu>i^.qit9<cixe 
gg'", «i'A'., du pQmt.g"'- cpfljBue ceaUçi ejt ^'A d« p<wtt4 
coouue eeitfce. . , , .. ;■, :.^ . 

§. 4â. £sl)4Uf'n«nf d'uifedm^t^ tfuMctmqut^ d'une drpit^ 
et d'un plan dunt ioutî* iwif» poùUaTU^ — Pour rabattre 
ooe droite silaée dans. un. plan, il suffir4itt<d|eiiir«|t^l^^ 
deux pftints, et de ^ts4j:e «es.deux rat>atftmeflts.{Mi' PW 
droit». Otty paryi«fkt.p^Mix»plemQat,en rattattanf^Oj^l 
pbiot-A,v, fig. QÈ^aak,. et.Temarquaotqup.l^ droil^.M.^^ 
a-' b' pecce le plan bonaant^l en-a sur la ctiarpié^e, let.qu^ 
ce point reste fixe dapa le rabaltewenl; desa;-le que ia 4r^^ 
raJialtue doit loi^oursitaâser par çfi point; pour.ol^^fiir le 



3,q,l,ZDdbvG00gIe 



— 42 — 
rabaAiMMOt de la dri^, il suffit doue de ioiiidrc le ptrint k 
aa pokit a. 

Le rabaltemeat d'une borizoatale, fig. 57, se Cait ai ra- 
battent on de ses poiels eu it, et en (neuant va» parall^ 
kg à la trace horizontale du plan. 

Les rabaltenieats prAseotcnt plus de simplicité , lors^ie 
le plan n'est pas qudconqtM. 

Le plan étant perp«iidieiilair« au pUn V on au plan H, 
fig.5Hfle rdMttemeot s'obtient en menant hk perpenAco^ 
laJra à la trace, et prenant kk = pv, SI l'on rabat sur le 
plan V, le point ne change pas de hautear an-dessus de H, 
et son rabattement se trouve sur v k' parallèle à ^ (,- de pins, 
ce point décrit dans l'espace nn cercle horizontal dont la 
pFojeclien horisontale est A h' décrit de o comme ceotreavee 
oh cMBme rayon, et dont la projection verticale est k'v. 
La ligne projetante du point est devenu h' k' dans le rabat- 



La droite ed, e^d' dn plan aca" we rabat takafig. 59. 

Le plan étant perpendiculaire Ji la ligne de terr« fîg. £0, 
un point A. « se rabat en it tsAqa&kk^ «p, ouen jlc'tdque 
vk^ = kp. Une droite de ce plan passant par les deux pmnls 
h, V, k',v', se raliat en ^^ nr le plan H. 

§ 47. £« rabaltemerU d'un point ou dfune droit» Hamt 
donnét, retrouver Um projections du point ou de la droite. 
— Soimt aba' le plan donné, k le rabattonent du point , 
fig. 61. Lorsqu'on relève le plan et le p<ràut k, ce point décrit 
antonr de la diamière a 6 un arc de cercle dont le rayon est 
£^ perpendiculaire à ab, et dont le plan est perpendiculaire 
t a i, et par suite an plan boriiontal. Donc le pmat cherché 
Be projettera horizontalement sur la ligne kg^ prolongée s'U 
est nécessaire. Si maintenant du point k considéré dans l'es- 
pace, on suppose abaissée sa ligne pri^etante, ^le formera 
avec kg comme bypotëaose un triangle rectangle dont le 
second cAté sitnésera go sur ladislance de la projection ho- 
rizontale cherchée au point g. Or, nous avons les éléments 
DécesBBîres pour eonstrnire ce triangle rectangle, car nous 



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— 48 — 
eoBÊi^^BOM l'bytKrtteasfl k^.tt Tangte que Mt esue hypo- 
tëDuw dans l'e^ace avee l» ligne go, car cet angle, d'aprA» 
la Tonarqae do g 15 , a'eM aiUre cbaie que rincllnaiMNi da 
I^aa sar le piaa boriaontd. Oa peot trouver cet an^ par 
me oMHtmetioDfort limite, en rmuniaaot que la ligne kg, 
Aaas l'espace, n'est anlre etMMe i|Be rinleraeetlen dei dans 
pUms aba%g0g% qoi perte le plan H es g, etleidas Va* 
g^. Fatauit toamar le pian gog" autour de a^ pour ta ra- 
battre sur le plan V, on aura g' g" pour celte tataneirtioD. 
Prviaulg" k'^=-gk, le pcrint il' est le p<rintde l'espacera- 
batta sur le plâa V. En ramenant le plan dans )a posWoe 
g»g\ le polntA' prend la position A. Dont la projeetion ver- 
ticale est v sitoA bot lapiralléki A'vÀVf, etenmAne tonps 
mr pg" projeiAionTWticaledelInterseetira. 

On eoBStr^att Agalcment Uen te triangle g"l^b.' anr le 
planboriiontri, en rabattant te plan f^o^ sur le plan bori- 
2iHital.^o denentog"'et l'intersection gg'". Faisant j'ik" 
—gJ:, et projetant if' sar go, oa dUenaine le point hr et 
ensnitev paFp'v=AA". 

L'unie dn plan avec le plan H pourrait eoeonaa troorer 
ea r^attânt un point qnrioon^e. 

Etant dojHiA le rabattemmit d'une dndte, pour troarcr 
sesprojecti(HtB,Mi rsiévera deux pdntsdaeeliedraittt ; mats 
oapeaty parrcairra rtierad un eeni point, et as aérant 
delâlracedeealta dndfe. SoititMe ràbaMoBeot draoé, 
fig. (2. Le point b oùcettedn^coupeiatraoaiovlaetar- 
niife,reste fixe quaBdonramàne te plan dans sa praoùàré 
position. Donc, ce peint sera la trace boriiootale de la 
ibtiite cberchée, et ses projecticns i,6' seront sitnées sur 
les proJeetioBa de la dndic. Bn cbenobantles pro^- 
tioDB if,c" d'un peint ede «b. las piojectioDS de la droite 
-devront passer par les deux poinli b,b', o'e", et seront dé- 



S'U s'i^issait de relever une droite c (f paraUèie & la trace 
du plan , cette drwte relevée serait horizontale, car eUe 
iMait parallèle à la trace qui est ûtuée dans le plan bori- 



:, Google . __ 



— « — ■ 

zoalAl. Senc.sw prtBJutdteDGigoal c'i^' et V if '-. I'oik pavai- 
lête'à la tnies'^ l'autca paiallèle àltgnsdvilepret . 

.PfMWtti.-laiiiliu perpeadRUlaUv «1 ^atl B^ etisoit prro- 
paa^^ trcnTeriN'^prtt^lioBBd^D-'piMf éota^.-Ie Mbef*-, 
te9deDieflt;d,i et-lie»profwtioii»<d'(iDfl (tftétc^ÉUilitnbaOK^ 
tement «et a6t fiç. fi3. Cietle 4i»to«ira' poor^p^ejéctia* 
hertCoBtuie^ 9. Sa pToJtiitidDVertie^ëi{]a$semj>ari\BMli) 
ti90uvtr;le8<prqjaefton>dD poiRta'àdl^ardnrilefmasiafiBfesêT 
rtioj.«A^Rpe04wiilur«a /»ec^é• paiaf.'Aest-la prajeetlOHi 
horiiooMe. du. ]Miio(.<¥ § 37. StipppjofcUda verticale ii a^ob- 
tKAli epproaailt«;'.-=i.aA,'a«'irA,eKpHnM la «Bstaaosidu 
p(notau'^âOT<fi.'DoocefiâDitriiii'ioiil:'1qs projeqlhins. du, 
pqiotn, sikh; lm,MQi\és pi<oJecti4«B'de Ja .dririte 1x6. 

Si le rabattemADts^àtùtopéié witonr de-la trace irêrti(:alB 
^.;-64,«6it d terabttleiheoL do poiat.<Â^bilissoii8(ip perpen- 
diculsire à' laiehitriiièm; cette perpuntficuJâîPe'CdBliAntl^ 
pro^eMio» itertîealei'.BËphts, la iertîcaJd aç, dBDsJe'nloD- 
femeiditejptaa poiiT-re*^r,à sa'ipositida ilrimiti**, vieot 
se projeter en h. Elevant la perpendicutaire Av, le point k, 
«r «at^déMRnîné. 

Soit proposé de trouveries pKijeetioMs du point' dont te 
cabiMMnnibQstw^ /%. !da,be'iptrttaj âtaot éuppAsè dinrs' le 
plaD:4a<^<P*i'pttidi«kilàiiieï t& llgne'dé'tcin^.-Iia pr^jet^D 
)arântiriejdejiefaidt)est At et-fia-projMttMfvar'ttceUtiest a* 
telicpis0ki»^aA:»i>aii&le)moDveiiiflsldu^aa p(>uT4«lleair'Ji 
8S.p*ahiliB'pdinltt4e'VM'drtiiM(^fiqiii ooupe ia cliMo&9e «4 
dy peree,d«i>c;té>p)aq tibvieental «o:«»^iBt. P^ur.dMâr^ 
■âner lèpant-oàieliaperaè toidaDV, irnifâtde' relever Iq 
pait)t./..eBr daof le nEioàmHSQtj /'«Teste'perpeiidiEigâRird'JlIlr 
ebaf:i*4fe0cf4 dal»)e>taà!vevtioal , et vient Vapp^qa^r «b 
é'.. l>oafi £■ eA U'tvaoQ T«É1jfea)e de' la Ariite <tf, 

§ '4S. ReUbatiemeataataUe d'une famliUf à- ta- trace -du- 
plan. — Quelquefois, au lieu de rabattre un plan snii Vmti 
dea-plan» V oD'HvCn le fâisaat toiiraer autAut! .d'iwé de-fies 
traeeB,'OiiW.£ait toul'nBr antoor d'una^paraHSle-à l-tib^ de 
sratraces pour leplaew dans une poeiUnn paralléto à'I-'UB 



i.vCoogIc 



— 45 — 
déftplÀie V oa H. On>psrvi^t^e ta irtturiftt^ sâirtftite k trou- 
ver les prbtectiiMts^das points ou des droites Mtûès dans'efe 
ptaq , dans cette DpuVeUe pesitîOD. i. :: - 

ficât pro^sé de fah-e tourner le fimaba% fig. fl6, au- 
tour de la ligne faorizootale cd, c'd' jusqu'à ce qu^l Nil 
hDiizoatal, et de •trouver ce q^e 'deviennent te9'prd}e«tiÂns 
hetifi A\io^poiÊt4voti (tlan d«M le«Oa«emehit.-Ge't")tat 
décrit daus respaeeun'iarG dé cercle peirpdDdiooKtirft à' la 
Qttanitee^-piirsallKàist^ptfrWMtifftf. «tparooisAifAoïitiler- 
iieat.,Stt4taoe{t«K âOQc^rA •tdst^[>iindlculMi«Awi<ii 
Lé irp7«B -401 1!ani de cercle idfeerit fur'Ie^votfttyfHtlli 4\Si 
tance de ce point à la cbanù^/'mt |fhJFp<itàfHis& df*un 
triangle iieiDtao^alabt"A4a'e<tWiidde'(iMi6; ët'dmit^PMtre 
eCtè-est bitdMtfittce da-pointialupUlt BorilK)t!tal-D^f^'.''OeUQ 
ditltDOeestsBbaMto-perv;. Ftisaati townêP-le ptauidétts 
triangle «i|iit6is!dè 30(1 c6tfrliori»iatal', on otrtl0Dl sa f»t-ejec- 
ti9B'dsn9-lfl'plaii'lKU42«*t«d qui-psMe par la 'char^ero'yett 
Bjenaot ^p fterpcodkidnre à H fc«t ègàte ti>g. 'SoÉtaatkj» 
d%koa.k'i hi'poinbA.'-e^ Ift pvojpelioBidehyv} dàmrle rab»^ 
Hdaenli, et*Lpi»^ttBûvelrtiop*B>ie«tw',. , .(,••! 

.Sî.4#ae'driWt«^«.plwÂA"t«.t>'Vita)l>'dMiiièe,et, qo'ofa 
vbiilâ^vpUafis/pfeojectioii»:dais.leT^Btldiaeol', oairabMJ 
trai^un point Aiv;.d0<;ett«:diiMite,Ml'oB^i8«t4iaiiaitl*ipalM 
oo\ ofrgBlle' jTQDnwtre JaicbArniÂre^ ipoiAt ^ reetvftxé 4ai)| 
le mouvenet^:, et.pvf'laii^el'ipaue' fncorè iandroMédani lÀ 
rabattement, donc celt(l'.«Uoite<a'poIll^■oUvelW peijtttioBi 
ok', o'v'. . ■■ ■'■■ '■"■ 

R^iproquonieot, ètatit doBiiteiU' ptaaa&a% /tg. -67, «t 
1«8 prpjec!(iAi^,A!t7' djiin pdintdece.pian^ fiu«di>â ta-fail' 
tourner anloqr d'usé lioriaoBtateo<lyo'(£'; et-^u'H- s'étd 
alpeoé' paraUMemwib'aHip)ad>B;Bea propos^- de Iroav'erles 
projection» de ceiptriafe^ttaed-on iiamànëte ptan-danU sa 
première p4QittDn.IlBirfCt de fairales ooiistruetidn<inVarsefr 
des précédentes. La distance du point à la' chaniiére'-'AAt 
inesujéeiparlaiigae/t?ft,flt-si l'oO'porte A'A de keap 4ar 
uee iigne k p faisant âyec hS k. tia_ aa^ égali à l'iiKthMiAHi 



>;,l,ZDdbyG00gle 



— 46 — 
du plan avM le plan H, il Faudra ewalte àba^eerph per- 
peodicBlaire sur k h\ ceqai donnera la pr^ecfiamk du point. 
- OnUDUTe sa projection verticale v, en prenant vg= ph^ 
cai;;>Aexpiiinftlabaotour du point aa-deseus de Tborizon- 
tale fldi e'd\ 

Dm droite quelconque h" m' , c'a' étant supposée rabat- 
tae,dans lesiDèmetcin:oDBtaiices,>a {mjjectioDTerttcaleo'it' 
d<ùt.se eoaftwdre «vec cdie de la ehamidre. 

Vaw trouver ses projections dans la podtton primHiTe du 
plan , il suffira de ebercber les projMtiofls A, « d'un point, 
poli de Joindre ce p<^t àcetui n^n* obladroUecoopela 
cbMnidre, ce qui deine « A, n'v. 

S«rit «Bcor« propoaé de fùre tourner le plan Tertkal afra% 
fis66, antonr de l'hoiizontale a6, a'6\JasqB*kceqn'il - 
wtt paraltète au plan H. 8a traee se confondra alors avec 
a*6'; et aoit proposé de trouver les pfDJeeti(HwdapcrintA,t> 
dans cette nouvelle posttion. Ce point dAerira eneore an arc 
de eefcle perpendieBlalre h la chanriére, et comme cette 
dernière est tioiiKODiale , le plan de Tare de cercle sera ver- 
tkaU etsa tracesera JtJkfwpendicnlaireàaA. La hanteor 
de ce point aa-dasms de l'horizontale est menirée par v g. 
Cette Iiantear, daus le nouvemeot , est devenue perpeodi- 
firiatae t la chanitoe «oivant une paraUéle à AA, et se 
fmieU* MT & it ea véritable grandeur suivant A A'. Projetant 
fc'snra'i'toaa A', o* pour les projections du point h,v, 
lonqne le plan est devwni horizontri. 

Pour trouver les projections d'une droite dans ce même 
cas, on se sert d'abord du point a, a', fig. 69, ou cette droite 
'aby a'6',coupelacharaiàreafc,a'fr". Les projections de 
la dnute devront encore passer par ces ptriots. D suffit de 
troBverletproJecti(»isd*nn autre point. On peut choMr ici 
celui b\ b oà la drcrite perce le plan vertical. Ses nouvelles 
proJeeti(Hi8 sont £',o, et les projections nouvelles de la 
droite, ac,a'e\ 

Enfin, faisons tourner le plan autour d'ime verticale, on 
d'une pwpMdicidaifeM ^ vertical , fig, 70. 



i.vCoogIc 



— 47 — 

Sd«iita, a'a",lM projections de la verticale, A, «, qd 
point da pl«D. 

Lorsqu'on aura amené le plan parallèlement aa plan V 
en cd^ lep<^nl de Teqiace aora décrit en arcdecérde 
perpendiculaire à la charnière, c'est-à-dire ^orîxontal, qui 
se projett^a suivant A &' décrit de a comme centre avec a & 
pfHir rajoa. Et comme dans ce mouvement , le point n'a pas 
changé de hauteur au-dessus du plan H , sa projection vwti- 
cale sera située sur vv' parallèle à V t. Donc A', v', sont les 
projections nouvelles du pirint h,v. 

UnedroiteaA, frv, située dans ie même plan, et passant 
par te p<rint v, h, reprendrait dans les mèniei circoostances, 
pour projections a A.% bv\ en remarquant qne le pointa. 6 
est celui oà la drtrite coupe la chaniière , et qne ce point 
reste fixe dans le mouvement. 

Soit muntenant proposé de faire tourner le plan bcb'y 
^.71,«itourdela perpendiculaire an plan vertical a,a'à"f 
et de trouver dans ce rabattement les projections du point 
A, V, de ce plan. Ce point décrit un arc de cercle parallèle 
à V dont la pniiection verticale est » v', et dont la prcyee- 
tiott borisoDtale est hf paralMeà't. Donc V,v' sont les 
projections du pmnt k^v, dans cette aouvelle position. 

Les projeetioDS de la droite hk^ v a, dans les mêmes cir- 
coBstances, seraient VA, v' a, parce que le point * est celui 
où la droite coupe la obamlère. On pourrait ctioisir tout mi- 
tre point que le point A,v pour détemûner les nonvdies 
projections de la droite. On pourrait preoto par axe^^lle 
la traoe horizontale on la trace verticale. La première je 
rabat en r, r'. 

§ 49. Ifitentction de deuce plant dana ^uetquei cas par- 
tiaUi^t. — Si deux plans étaient parallèles à la ligne de 
t»re, fig. 72, coûtons ces deux plans pu un troisième, 
perpendiculaire ii J l. Ce plan coupera les deux plans donnés 
snivsmt denxdroitesqidserencontreroateuun p<HQtde l'in- 
tersection cherchée. Rabattons ce plan auxiliaire et tout ce 
qu'il contioit sur le ^an H, en le faisant toorner autour de 



>;,l,ZDdbyG00gIC 



— 48 ^ 
ph. Les iotersectlons de ce i>1an auxiliaire avec les deux. 
plans donnés, percent les plans de projeclion , l'use m h elv, 
l'autre en A' etv', et cee intersectiobs se rabattent, l'une 
eakk, Tatilre en A'A;'. Le point de rencontre^ de ce»detfx 
Hgttes est le point cber6faë de l'intersection, rabaltii sar le 
. pian H: En )« relevant', (to troave-ses projections t ^ J% § 47, 
fig.^i'^ar ce Imiàt menant une parallèle à ta ligne d» terre, 
>cétfefi|fne est l'intersection demandée; 

U est aisé de voir que la condition pourqne deux plaf^s 
parallèles à la ligne de terre se cou^eAt, c'ejl qâe les 4eox 
lignes^Ai'i;,' A'^A' Ëeconpeiit. Quand eHeSsoat paralIfleSy jCg. 
73, les ptaàfi doDiiès deroilt alors paraHëtesi Dans ce «as «n 
apAl pA' :; pft ; pft' ou '.'.pv : pv\ ■ 

Ddnt! dëtiK ptaos ttaralléles à la lignedetet-re'sehattt pa- 
rallèles entre eux, lorsque les distances de léars traces bo' 
riïODtafesà laligDê'aeterreserontdirectemfllat pPOpoVtion- 
nelles aux distances de leurs trafic» v«rticides AXz. mèrae 
ligue, ' ■ ^, 

Si 'tes deux plans coapaieBt la^ Itgae âfc terre oumAne 
poittt 6i, fîg. 74, ce point serait d'abord'un poiat de l'ialn*-^ 
sécùon. Pour eo troutèr on aotire, Àous ïDèBwons on plan 
perpendiculaîre comme dans les cas précèdMits, et nous 
CD&dtiirons l'opération de la ilième œànltre. ]!(0U8 irotrre- 
roDS aioEî A et v pour les prcjeetions du poibt de r«lcontre 
des deux -intersectiooB; AA, et bv pour cQUes de l^dler- 



Si rdn dfe9 plans passait par la Hgtte de terre, fig. 75^ «t: 
faisait avec l'horizon un angle c , §- 19 , on couperùt encore' 
par uq plan perpendiculaire à / 1, et on opérerait lerabat- 
tement des deux intersections. Celle du plan quelconque est 
fafeilé ïi'constrnire, l'autre est une lËgne^*^, Msant arec- 
pk un angle èga) à e. Donc k est le rabattement du çtAni 
de rencontre desdeDxiolerseetions.On'r(4èvece poiaf dont; 
Aetv sont les projections, puis 6A, Av'soot' celles de^la 
droite cherchée. 

§ 50. Faire passer un plan par an point, par une. 



3,q,l,ZDdbvG00gIe 



_ ft _ 

imite, par deux -itrûtfea,- par un- points -une ^Ptite, par 
ifwis pûîMts. — P«w tain passer on pïaD par uD pmat, il 
fatUcD idMflrmïaer les trace*. Or, si l'on fût paner une 
Aroite'par ce poiat, toat plon'qu conliendra c^e drtritê', 
pasBera parle pMBt. Le problème revimiradoDca bdre 
passer un plan par une droite. Mais lortqu'une dn»te est 
cmienne dainnn-|4«],K8tFace§ Bontsiteées sur les traces 
daplan. Il snffil-adoncâe^èten&iner lestracesdeladroitef 
et de foire pasnr par ces deux pointe deux lignes qui et 
tovpvat mit la ligae de letre. 

^ problème «stëvtdemiRMt indèterBÛDè, et l'on pourra 
falMfMser sue infinité deplanspartefieiot donné. 

Soit A, V le point doaaé , fig. 76 , menons ab , «' b' qaet- 
conqne. Les traces aetd' de cette drtrite sont des peints des 
tnneshariioBtale et verticnle da pian. SIenaot les dedx li-f 
faesoa,oii',tM pa,pa' etc., on aura antantdeplaosqu'oB 
Tcadra passantpar le point h, v, 

Pourfoire passer un plan par deux droites qui se con- - 
p«Bt,/îg. 77, ovpàr denx dpottes fwraltèles, il suffira de 
cbercber les traces de ces droites , et «es poinis appaitien- 
dront ans tftoices da plan ^ qai devront d'aWeiirs: se couper 
sur la ligue de terre. G'«9t sd« Térlfieatlon de l'éfHire. 

^ les deox droites sottt, l'une, paratl^e au plan H, Tâotre 
au plan V, càa^ue droite ne détermine qu'ln point de cba- 
cane des' traces, fig. 78,- mais les directions des traces sont 
eommes en vertu du § 41, Donc, st par les points «■ et r' on 
mèue u>e parallèle i 6 c et ude kd'e', ces parallèles seront 
les Isaees du plan eheircliè. 

Loeiqu'«mdoniMaDedroite i6,a'6', fig. T'abat onpoiot 
A,v,onferafassbr un plan par cette droite et ce point, en joi- 
gmtftle pmnt àun fioiDt<|nelcoaqueA',v',de 4a droite, ce qpl 
denoiita deux droîtesquisecospent; ou bien on mènera une 
parallèlei la droite par le point; le qaeslîoD sera ramenée 
an ^reblftmft précédent; et les tmees^u i^n passeront par , 
lestraces de ces deux droites. On tronre ^d' pour le pfaB 
cberché. 



:,.;,IEDdbyG00gIC 



— 50 — 

On détflTDiioe tes traces d'un plan qui passe par trois points 
doanés, ^g' 80, en joignaat ces poÎHtï par ites droites. 
Deux de ces droites suffiront pour déterminer le plan. Od eu 
cherche les traces, ce qui donne des points des traces du 
plan. La troisième droite doit également «roir see traces si- 
taéeB sur celles du plan. 

§ 51. Faire pauer une circonférence par trota point» 
donnég, trouver les projection* du centre, ta grandeur du 
rajron, elle* projections de la oinsonférence. — Soient k, 
■k',k",v .v.v" , fig. Si, les projections des trots points 
donnés. ^Nousconstruirons^'abord les tracesaia&'tlu plan 
qui passe par ces (rais points; puis, noua rabattrona ee 
plan et les trois points sur le plan horizontal. Pour cela 
nous Rabattrons en k l'un des points k,v par le raoyen in- 
diqué § 45 ; pour trouver le rabattemait des deux autres 
points, nous chercherons d'abord le- rabattement des deux 
droites qui passent par le point v, A , et qui ontservi à déter- 
miner les traces du plan. Ces droitesperceot le plan H en 
g et g',- donc les rabattements de ces drt^tes sont g A et g' A, g 
46. Les points k', v', etA", v". devant se trouver sur cha- 
cune de ces deux droites, pour avoir leur rabattement, il 
suHit d'abaisser les perpendiculaires A'A'ct A" À" à la trace 
du plan , et les rabattements de ces deux points se trouveront 
à la rencontre de c^ petpendiculaires et des «koites jîk et 
g'ft aux points k' et k". Ces deux points doivent «ncore se 
trouver sur la troisième droite qui joint les points A', v\ et 
A", v", et qui perce le plan fi en g". Donc ft' k" dtnt pas- 
ser par g", k, k\ k", sont donc les trois points du plan , et 
dans leur position relative. Si nous faisons passer une cir- 
conférence de cercle par ces points, ce sera la circonférence 
demandée, et son centre, le centre cherché. Pour relever 
ce centrée, on pourrait le faire par le procédé ordinaire, ' 
§ 47, mais on peut encore y parvenir en joignant le point 
e ji l'un des points donnés k, et déterminant les projections 
de cette ligne qui passe par le point k dont les projections 
sont Aet v, et perce le plan horizontal en g'" dont les projec- 



3,q,l,ZDdbvG00gIe 



tioa» sont g*" et m"\ Les projeclions de cette Hgae «ODt donc 
g"' h et m™v. Abaissant du pointe noe perpendiculaire sur 
la trace, le point de rencoalre de cette' perpendiculaire et de 
la droite g"'k détermine la projection horizontale c' da cen- 
tre du cercle. La projection verticalee" s'en déduit qieëmeut. 
Maintenant , pour projeter te cercle , il suffit de cliercher 
les axes des deux ellipses qui en sont les projections. Or, tous 
les diamètres étant égaux , le diamètre horizontal est celui 
i)UJ aura laplusgraDdeproJectioD horizontale, puisqu'il se 
projettera eu véritable grandeur, et le diamètre parallèle au 
plan veriical est celui qui aura la plus grande projection ver- 
ticale. La première projection donnera donc le grand axe 
de l'ellipse sur le plan H, et la seconde le grand axe de 
l'ellipse sur le plan V. Évidemment le diamètre parallèle au 
planflestefeparâliëleàla trace afr du plan. Sa projection 
horiEontale est d'e' et sa projection verticale d"e". Le pe- 
tit axe fp' est donné par le diamètre fp, dont ou relève les 
points fel p. Pour trouver le grand axe de l'ellipse sur le 
^an V, nous mènerons par <t" une parallèles" 7' à la trace 
verticale du plau^ cette parallèle devra conteuir cet axe , et 
sa projection horizontale sera q c parallèle à la ligne de 
terre. Son rabattement sera f c. Donc s t sera le diamètre qui 
donnera le grand axe de la projection verticale. Relevant les 
points » et t, ou trouveras', «" et t', t", pour les projections 
de ce grand axe. Menant par c" une perpendiculaire au 
grand axe, et déterminant le rabattement de cette ligne, il 
donnerait le diamètre qui, projeté, fournirait le petit axe 
delà projection verticale. On peut encore se contenter de 
meiier le diamètre t( y qui est perpendiculaire à tU C'est ce- 
lui qui doit donner ce petit axe. En eifet , qu«id deux li- 
gnes dans l'espace sont perpendiculaires entre elles, et que 
fane d'elles est parallèle à l'un des plans de projection, les 
projections de ces deux lignes sont perpendiculaires entre el- 
les. Gela résulte de ce que,/tg. 82, a6 étant perpendiculaire 
à «t et aussi à la perpendiculaire ce' au plan, ab est per- 
pendiculaire au plaJt- projetant (ico', ainsi que sa parallèle 



>;,l,ZDdbyG00glc 



— 52 — 

a* fr'. Donc a' 6' est perpendiculaire i c'd'. pooc «dAd, es 
revenaat an problème proposé , nous avoDs déterminé les 
axes des deux ellipses , et nous pouvpns les constcuire. 

On peut déduire les axes de l'ellipse sur le plan V de 
l'ellipse sur le plan H.Ed effet, fig. 83, SMt abcd la pro- 
jection horizontale, i>, q\ les projections du ceutre du eo*- 
cle; 0f parallèle kit sera la projection horizontale du dùi- 
mètre du cercle parallèle an plan V, et qui doit donner 
le grand axe de l'ellipse cherchée. Or, si l'on faisait 
tourner le cercle autour de ce diamètre jusqu'à ce qa'H 
devint parallèle au plan Y, ce cercle se projetterait sui- 
vant kmn décrit de o' comme centre avec ab comme 
diamètre , et dans ce mouvement les extrémités de la cha^ 
nière, c'est-à-dire , celles du diamètre dont il est question, 
resteraient fixes; donc les extrémités de ce diamètre te pro- 
jettent Teïticalement sur ce cercle en e'f. Ramenant le 
cercle dans sa première position, e' f conserve sa positioa 
et sa grandeur, et c'est le grand axe de l'ellipse cherchée. H 
reste à construire l'ellipse coonaissant son grand axa et les 
deuxpoinls a't' projeclionsdû «et 6. 

Pour cda, nous ferons usage du théorème (31). Kousmè- 
nerons l'ordonnée b' 9' de l'ellipse, pui^celle correspondante 
p' 9' du cercle décrit avec «' f pour diatnètre. Nous mène- 
rons p'o', et fc'r' parallèle à e'f . t'o" sera le petit axfl, car 
(3i)p'î':6'î'".p'o'-'"'*''' 

Si le centre d'un cercle est donné dans un plan et st« 
rayon, on peut rendre la construction plus simple , et tro«- 
ver les projections du cercle mi opérant le rabattement au- 
tour d'un diamètre parallèle à l'un des plans de projection. 
Soit gdg' le plan donné, ftg- 84, c, e' le centre du cercle situé 
dans son plan, i- son rayon. ï-e grand axe de la projection 
horizontaleesttifcdouhledei*,et parallèle à la trace. Fai- 
sant tourner le cercle autour de ce diamètre dsns l'espace , 
jusqu'à ce qu'il soit horizontal, ce cercle se pr{qette suivant 
akb. Le demi-diamètre qui donne le demi petit axe et dont 
la projection est c i, est l'hypoténuse d'un triangle reclan- 



>;,l,ZDdbyG00gIC 



— '53 •— 
gled(Mlt un angle fligu est égal àcetuiqn« fait \eptnafn/te 
le plan H. €et angle est aise à dâtermiDer,§48^, et sA 
l'en rabat ce triao^^ auloar de sou c6tè borîioDlal comme 
cbaraière, ce diamètre prendra ta position cd qoi fait 
avec cf l'hroHaRisofr'du plan arec l'horizoD ; od est égal 
an rdjoa &a cercle. Projetaût d sur ofen f, le point fest 
la projection de rextrémité d da diamètre qai donne le 
petit axe. 

La projection horizontale du cercle étant tronvèe , on 
délenntbe cVMnme précédemment sa projectiflo verticale. . 

Posr projeter as cercla sUué dans un pian vertical^ et 
diHtIlfl rayon est doimé, it faut fairatonmer ce plan, /Ig. 
84 ï autour du diamètre verfica! du cercle jusqu'à ce qu'il 
soit parallèle au plan vertical. Dans cette oauvetle position , 
■ le cercle se projette en véritable grandeur, el an point quel- 
conque de ce cercle dont la projection horizontale est A a 
pom- projection A\ et pour projection verticale t' oh v". 
En ratnenant tes choses dans leur première position, lepoint 
A' revient eo A, et le point v' ou v" dériebt v aav sur une 
parallèle à la ligne de terre, et sHrAi<' perpendicDlaire à 
cet(0 tigae. Oo projette ainsi toifs le» points ia eerckt. On 
peut se conteeter de projeter les deux axes; rr' est le grand 
axe et tt' le petit t^eoti par le diamètre »»\ 

On obtiendrait delà même manière la pr^ectioa verticale 
AWe courbe qoetcenifire 9itsèe dans im plan vertical, et qtA 
serait donnée de grandeor naturelle dans son plan. 

§ 52. Diviser une ëireonféreiKB en partie» égalet ; trowtr 
Ut projeetioTis d'une roue d^engr^iagé (j'Undrique. — ItanS 
les différents rabattenenls que nous vetooos d'opérer d'une 
circonférence de cercle , it est évident que pour diviser ses 
projections en parties qui reprëseolent des parties égales de 
la circonférence, il suffit dediviser la clrconfêrence rabattue 
ea parties égales; etdé relever tous cespoints de division. On 
y parvient d'ane manière fort simple , car les lignes de ra- 
battement sont toirtes parallèles «atredies. Ainsi, soUproposé 
de diviser le cercle de la fig. 84 , en t2 parties égales, et de 



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^ 54 — 
projeter les-poinU de diviàoo. fie même que le poJDt f de- 
vient le point le dans le. rabattement, de mêioe tout point k 
revient se projeter en f9at la courbe et sur une {terpendicu- 
laire à la charnière. Si donc oo divise le cercle rabattu en 12 
parUes égales, et si l'on trace les perpéndîculairea ii ab par 
les points de division, on détemainera ainsi les diviûons 1 , 
2, 3...., de l'ellipse. 

On déduit immédiatement 4e là an moyen fort simple de 
projeter une roue d'engrenage cylindrique , placée sur un 
plan quelconque. On projette d'abord la circouféreoc^ pri- 
mitive de cette roue. On projette également le cercle du 
creux, et enfin la cercle qui sert de limite ans dents. Soient 
a6, Qd, ef, les grands axes Ans trois ellipses projections de 
ces cercles, fig. 85. L'un des petits axes étant déterminé, les 
antres s'en déduisent, parce que dans des ellipses semblables, 
les axes sont proportionnels. Divisant la circonférence primi- 
tive en 24 parties égales, par exemple, nombre des dents et 
des creux, nous aurons la naissance des faces et des flancs.. 
Joignons ces points de division au centre o, et les parlîe^de 
ces rayons interceptées par l'ellipse cd, détermineront les 
projections des creux. Pour déterminer la limite de la deqt, 
nous diviserons d'abord la circonférence ef en 24 parties 
égales; puis, prenant la distance mn, /t^. 86 , du rayon du 
flan<^ à l'extrémité de la dent, portons la successivement 
sur circonférence e /'A , de m en h , de m' eu n' , fig. 8â, et 
projetant les pointa n,»' sur l'ellipse efaoua aurons les 
extrémités des dents. S'il était nécessaire de déterminer des 
points des faces, intermédiaires entre la naissance et l'ex- 
trémité, 00 y parviendrait d'une manière analogue. 

maintenant , o r perpendiculaire kab, sera la projection 
horizontale de l'axe de la roue. Soit og le rabattement du 
diamètre situé dans le plan a jï, supposé rabattu snr le plan 
H. oi, perpendiculaire à og, sera la perpendiculaire au 
plan, et si l'on prend op égale à l'épaisseur de la roue, or 
sera la projection de cette grandeur.rsera le centre d'autres 
ellipses égales anx précédentes. Mais on peut éviter la coos* 



3,q,l,ZDdbvG00gIe 



— 55 — 
.tnielion de eesBoayelles ellipses^ pour Icroiaer la, projec- 
tion delà roae,car il siif&tévidemmeiitde mener par toos 
les points de la dent, déjà déterminés,, des parallèles à or, 
et égales à celte ligne. <^- 

ha pfojectiuD verticale Se fait de la même manière. 

§ 9i. Trouver Ifs pn^eetiont arthogimatea d'un pa~ 
lier placé paralléteatent aux plans dt proJeeti«n^ — fin 
suivant lei reconuBandaliens que nous avons fûtes §2t(^. 
nous nous aideroQi, 'pouc 1* déterwioatioD de cettapro- 
jectîoB , de b desii.Tipt*on gtoinélrique de quelques parties 
de ce corps. 

La {MTtie de ce palier qui doit recevoir le coussinet,. 
~ ayant la forme d'un prisme droit à base octogone rëgu- 
lîére, oc«q^ns-nous de projeter ce prisme. Or, le plan 
de la base de ce prisme est ici snppagé placé parallèlement 
aa plan V, de sorte qu'elle se projette horizontalement 
sur la parallèle ec à la ligne de terre, fig.S7. Construi- 
sons l'octogone régulier quelconque, fig, 88. La partie 
creuse du palier aura' la forme c(/a.fre/':qa'il est facile de. 
projeter sur a b , quand on coenaU.saileDàent la loogueur ah 
du MMé de roetogoDe.En effet l'angle abc est égal àraD- 
gle bef. DoDC les supplémentse^m et bem de ces angles- 
sont égaux entre euï et par suite valent 45-°. I>ooc 6 m est 
lecdté du carre inscrit dans un cercle dont 6 e ou a fr "est le 
diamètre. Ontrouvera donc a c, flg. S7, ea décrivant sar a s 
qui représente ab de la fig,^, un demircercle, élevant !« 
perpendiculaire o;^, etmenfuitj'i. On portera ae=^jNi et 
eaao sera la projection liori«ontaie de )abaap du prisme;, 
La projection verticale de a<a sera a* a'; celle, de 6e, da, 
/[g.'88, serart'iï', fig. 87, en portant a'c'^aa. Enfin «/", 
ftg. 88, est la moUië du cdlé de l'octogone; on portera 
éoue,fig.%7,d^c''=^aa, ëta'c'.d' sera la projection verti- 
cale de la basa du prisme.Les arêtes a b^cdolcy se cimstrui- 
sent aisément; on en a lalODgueur par le croquis. Les lignes 
ek,di dèlermineat les points ^ et t qui aopt sur le diamèl re 
du cerclée /'g dont la projection verticale est e'/^^'. Toutes 



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— 56 - 
les autre» pMliu des pnjsdioiis se-contEtaenlJKsèinMt de» 
cotes doDDècs par le croquis. 

La figure 87 est aa qaarl et la figve 96à \. 

§ Si, Projections d'un intbe, d'ixnc^pyramidB-HgaUère, 
d'une pyramide qudconqiie. — Les dlèves troBveropt de 
DombreoMs appIfcatiotM des rabattements do» l'otiTr^e 
de H. SiniHeo sac le dessiEi. Nous dMoerMis ici qtMlqaes 
déreloppemeats, qui Bootda resBort de la> géontètrie dœ- 
cftptife, Bdrqti^i]es-«a9 de ées probléraes. 

RiMiide'plasaiséqM de projeter a»cabe posésarlvplai» 
borizoatal, quand on doDoela position de sa base par rap- 
port «B plaa vertical. Os décrit un carré ab^d dasa ortte 
potitton snr le plaa H, fî^. 89. Ce earrt est la prejeotie» 
boiisoBtale da cnba. On projette tons sas sMtuets en 
a*,fr',0',d'sni la lignede terre; oaèlèTe des perpendiculai- 
res égalies aux ettésd* cobe, et ce dernier est tgalemeiA 
prciïeU sur le-plan V. 

Paar projeter noe pyramide rè^ière, dont la. base est 
placée sur le plaoH, on constmit dans ce plan un trîMgle 
égal àeettebafie,etdanslape8ltioDqa'oB^fltbiidoiBflr'paB 
rapport au plan V. Soit aie, /Cg'. âO, cette base, « le ceatrq 
dO' cercle circooecrit; c'est le pied de la hauteur. Dioac les 
arêtes se psojetteot horizoDlalement suivant s<kysL^te. 
Lears projections vcrti*ries,.passeroiiL par a', >%«'. Pour 
trouver la projection verticale du sMatooet, nous aap- 
poserons que le plan dâtennioè par l'une deS' arêtes »b 
et \&. baoteur, lourae automr de celte deripère Iq;», 
jusqu'à ce qu'il devieaoe parallèle au pUn V en tx. 
Dans cette position, le triangle rectangle quftfonoe cette 
aiMe avec la Jiautenr, se ptojetle vertioalemeBt eiL vé- 
ritaMe grandenr. Or, ce triangle a pour hypoténuse 
l'arête T égale â 6c, puisque la pyramide est régnlièref 
et po«r eêté de t'aagle drùt i.axi .ai donc on prejettes« 
en pai\ et que da pràit a;' comme centre avec ho pour 
rajOB, on décrit .on arc de eaccle, «et aie noeontre <'p 
«I s' qui détermine a> ou la projectifljft de la hauteur 



>;,l,ZDdbyG00gle 



.— 57- — 
ànil^ fif'*'^^' IkaDC okAn «'<■', s'^V'^' iDBt les prajec- 
'UoDSvertieikis des arêtes. 

Pour projeter uaeipyramid^ qoelcMHUfl fègaleiDaitptaeèe 
sur le plan R, on placâraeiicoretabasea6c'decettepyra- 
fflidesqrceptao,^. 91. Puis, la.: ioDgiMur des arêtes étant 
doDBà*.par ]e croquis de )a pyitumdevooauppoâerattuete 
plâo^de ebaqae fiace UmiVfB «ttoiir da.càtè q^ii «at ^tué 
danale planHTPOurseralMittfesurcflpIaa. Oncoostridra 
aûéveot le rsbqtUemeiU da chacune de» faces-, car on en 
caaBakraiet trois cAtàa. Ces rabaileioeBls obteaus*U suCâra 
d»rele«ir U0de8 woHBBts ». s', a". €« points se projetteront 
borizanlakimeDtsurlwpierpeiKUcalakeS'iftif'fty'lb abaissées 
. sur les-cbariâèsilB^-c, ac,(»6 et par eoBséquimt â la ren- 
coBbre de. ces Ugae» eo * , qid est l« pMjectioo du SMumet 
dotapirrBiBidei Poaravoir la.haHte«ff,onenipto(era leméue 
PTM&M que ei-<d<i8fios^ ta coastmàsaot. le triangle rectangle 
pit^x' doDt fr> est l'bjrpoltouse et & ft- l'aotra c6té , ou ea ra- 
battaBtle:BiiAnu) triangle sur Je plan BfOàU prendlapo»- 
tieofcAi"6i,.cequidètenBia«.ençûce £*" qo!oa porte de j» 
en ft% pois on joint a' ''='}'>' iC'} t;'k\ 

;§ iS. Pto^Am. mtkogonaia ti'im eube flacé «ur um 
plan ifUidm»fwB don» Ut tracet sont données, — Pour rë!- 
se«dfttCe.probièiBe,noiBaU«n9fawevi>ircommâat oaeon- 
clat Am prc^eetiMB d'imeube sur dess. pluM feetangiir 
laiK», mr l'un desquels il est posé, les prvjeetiCHiB <to ce 
mfane cnbe sar l«r deux platts B et V, /S^ 92. 

Snmt mit, -*).&, les traces du pAia SHlequi^ la ei^est 
posé ; t» nom sopposoB» ce pian labatla aor le. plan H, il 
neiuS'Sera'nœite-^tAtwûrsnr cederaier lerabattonenta 6c(i 
d» Jabase ducsbe; ilwCftra pour.cda de^ si^paser cennaA 
la iKMitifqi de sstte bai& par rafipoFt à la trace mA. Aion, 
oflinme rdffiis le mouvenoit du plan autour de sa trace,. 
clUHi«e point du pis» se rabat sur une perpaidi«)dai.re à U 
charnière menée par la projsclioD borizontaie de ce point, 
il s'ensuit que la base du, cabe se prc^ttera sur les perpe»^ 
dieulaires aa\h b', ce', dd! k]i trace mil. De ph^ , ceoime 



i.vCoogIc 



— 58 — 
les arêtes du cube soot perpendiculaires «ii ptao m kjt, elle» 
seront comprises dans les plans des arcs de cercle décrits par 
les sommets, et se pr«)jetteroDt par coaséquent sar le» per- 
pendiculaires aa', 6 À', ce M il', À. la trace 6 m. 

Projetons également le cube sur un plan mon perpeudi- 
culaire au plan donnée et au plan H. Geplau rencootre le 
plan doDoè mkn suivant une ligne qui se rabat eo mg. Il 
est évident qbe la projection de la base du cube sur ce plan, 
qui doit être située surmg^ occupera sur cette ligne la 
même position que U projection de la même base soi; une 
perpendiculaire à km comme wy prisedaus le plas-H. Si 
nous projetons donca^fid sur ir;^,et si nous rapportons les 
poiais p,(i,r,s^ en p\q',r',t\ ces derniers points seront les 
projections de la base du cube sur In plan mon, ce plan 
étant supposé rabattu sur le plan E. Mais, comme précé- 
demment, ces points se sont rabattus surdeui perpeodicQ-, 
■aires à ta cbarniére o m noenêes par lears projections ho^ 
rizontales. Donc ;>'a',f'6', T-'d',«V sont ces porpendico- 
laires , et leur reoconlre avec les premières aa\bb\ ce\ dii" 
détermine la projection a'h^c' d' A&\& base do cube. Se 
plus, les arêtes du 4:ube se projetient sur le pian mon. ra- 
battu suivant p't', •/'«', r'v\ s' s', comqieellasee projataient 
sur o;^ suivant /)<, f u, rti,fs,et les sommets de la basent" 
périeure se sont toejours rabattus suivant des perpendico'^- 
laites à la charnière um. I>odc ces gomoiets se projalteivot 
horizontalement suivant lesperpendieul^ires ('.e', u' /", v'A', 
s' g'' qui par leUr Feacootre avec a a', 6&',.ec',cl<;(', déter- 
minent la pn>jecti<m eY'g'À'dela base supérieure. . 

Pour avoir la projection verticale des bas^ du cube, il 
suffit maintenantd'éléver parles pointsa', 6',c',(i',e'^,g\ A' 
des perpendiculaires à la ligne de terre / (, et de prendre à. 
partir de celte ligne, sur ces perpendiculaires, des distances 
égales respeclivement à celles des pointsp',^ ',r',«'^',u',v',£', 
qui expriment lesfaaùteurs des sommets au-dessus du planfl. 

On a donc ainsi les deux projections a' f 0* d\a" b" c" d" 
du cube sur les deux plans Het V. 



>;,l,ZDdbyG00gle 



— 59 — 

§ 56. Usage da problème précédent fHtui^ projeUr gfiho- 
goTialenient an corps plaeé sur un plan quelconque. -^ N^ 
ntar^ue sur Ut échelles. — H. Similien a ingënieiHemeDt 
8|)))liqué le proUène précAdeat à la dètermiflation des pro- 
jecIîoDS d'na corps placé sur ud plan quelconque. Four cets^ 
il le suppose posé sur le plan , de maoMre que ses dimeDSfons 
principales soient parallèles aux ar£les du cube. Alors, ce» 
dimensioDS se projetteront suivant des parallèles aux lignes 
c'A', c'd'. c'g' sur le plan H , ou soivnnt des parallèles aux 
ligoesc"i'', f"(i", fl"^" sur le plan V, snivaDt qu'on veut 
obtenir la projectioD snr H ou sut V. Pour déterminer In 
longueur de cesdiinsosîous, il eoostruit trois échelles sar 
les trois arêtes c"t",(!"d",c"g",/îg. 92, qu'il appelle 
ècbellu de profondeur, de largeur,de hauteur; tl rapporte 
les dimensions du corps sur le dessin, à l'aide de ces échelles, 
et ces dioteosioDS se trouvent déterminées, puisqu'on con> 
liait leur direction el leur Kraodeur. 

Ce principe repose sar ce que les projections des dimen- 
sions d'un corps doivent être {iroportionnelJes aux projec- 
tions des arêtes du cube. 

Pour rendre sensible ce que nous voaon» de dire par un. 
exemple , proposonS'Hous de projeter sur le plan V, le mo- 
dèle de palier dont nous nous sommes déjà occupés. Les 
directions c"6",c"ii",o"g" des arêtes du cube, étant rap- 
portées sur le dessin, ^1^. 93, en eA, cd^cg, nous prendrons 
c b pour profondeur, ed puur largeur el cg pour bauleor. 

Ayant construit le^ trois échelles, nous mesurerons kie 
Hir l'échelle de profondeur, kl sur jceHe de largeur, kk' 
sur celle de hauteur. Itous achëveroos la base du paKw. 
Pour tracer la partie creuse, nous prendrons ke sur l'é- 
chelle de largeur, puis ef^ fg^ 8^^^ ^*"' '^^'^ ^ profondesTf 
fm,gn,go,kp sur cell.ede hauteur, gk, on le sait § 53, 
doit être pris égal au c&të du cnrré inscrit dans, uo cercte 
dont le cAté de l'oclogone est le diamètre. On joint op^ et 
l'on prend pqmr l'échelle de profondeur. Pour projeter le 
cylindre, ou projette l'axe enjs' parallèle à A^' sur l'é- 



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— 60 — 
cMledebauleur; |KiisoBpr»JBlle)e9cerele«dentlesceDtres 
soflt BD « et â'\ puisqu'tHi peut coseattre lenr iDcliaaîsoD 
sgr le plao H. On répète les mêmes conatrnctioas sor la 
partie- aymitrique. l^aa terminerMis cette projection eo 
meiunt dec tangentes aux ellipses, parallèlement à J'^'. 

Il est à remariiuerjiue le grtndaie de l'ellipse t'jpafEdIéle 
Àla trace verlicaledu plaDg41,e8t perpendicnlaireàla hau- 
teur da cabe^75, eteomme il se projetteen véritable grandenr, 
<wpeut donc construire ces ellipses par le moyen de leurs axes. 

Pour lever toutes les ^ffîcaltés qui poHrraient Datlre-daos 
l'esprit des élèves touchaat la coostroction des écbelles qui 
snat DècessairM pour ezècoter le geive de projection que 
nous venons d'étudier, nous entrerons dans quelques dé- 
tails à ce sajet. 

Ces, échelles doivent avoir pour but de faire retrouver e» 
mètres les dimennons des arèles des corps à destiner, qui 
«ont parallèles aux arêtes du cube que noos avons projeté, 
fg. 92. Or, quelle que soit la grukiear du c6té ab de ce 
cube, les trois arêtes projetées*;" fc",o"d'',c" g", seront gé- 
néralement plus petites que ce côté, ou bien une on deux 
au plos serant égaks àcecrté. Poor tracer les trois échel- 
les , DOUE constrwrons dose , par le moyea connu en gétf- 
nélriaT^rottliKoes propofti(»melles asx lignes c" b",e"tr', 
e"g'\ Nous AviserocB chacune de ces (rois ligaes en dit 
putie» égale», et nous appeUerans ces subdivisions, d«s mil- 
limètres on des centimètres. Il eA clair en effet qoenvcha- 
eaie des trois ésbeUes, chaque sabdi vision* reprteente le 
dixième de l'arête du cube qui lui correspond ; et ai l'on 
emnent A'avaiiceque ces subdivisions représentent des milli- 
mètres mesurés sur des Ugnes respectivemeqt paradèles aux 
arftte&dacqba, si le corps est de patit« <$mensioo, ob des 
centimètres s'il est assez volumineBX , alors les dimensiou 
dacorps, parallèles aux arétesdu cube, étant prises sur ie 
croquis, on peut, à l'aide des trois échalles, les rapporter sur 
an dessin; et réciproquement, quand on vondra retrouver 
à l'aide du dessin , une dioteuncHi quelconque du corps des- 



>;,l,ZDdbyG00gle 



— 61 — 
iteé, CD métras, lïchBlle qoi correspond à cefte dhnensi«a 
la raprodaira. 

Mais, en agissant aîo^ gèDéralement , noas ignorons 6 
quelle échelle le corps a. été dessiné , c'esl-à dire s! c'est 
à la moitié, au tiers, au cinquième , etc. 

Lorsqu'en dessine à nne seule échelle, pour connaltreèette 
écfaelle, il BufBt de diviser la longueur en métrés d'une ligne 
du dessin, par la longuenr de cette ligne prise sur le corps 
lui-même. Mais ici', la même ligne pouvant être exprimée , 
soîvânt sa direction , par trois quantités difKrentes , il s'en- 
suit q^e la profondeur sera deasiiiëe & une certaine échelle 
la largeur & une aulra , et la baatear k une troisième. Seale- 
ment, si l'on voulait savoir le rapport d'une ligne du dessin 
à celle qui représenterait ta ligne dn corps , invjeté en gran- 
deur naturelle , il faudrait alors prendre une ligne dn dessin 
paralléte à la trace verticale dn plan , l'évaluer en mètres^ 
et cherdier son rapport avec la véritalrie ligne dn corps^ 
Par exemple, dans la ^^.93, le grand axe de l'etlIpM B'est 
pas altéré par la projection ; 11 se' projette en vraie grandeur, 
cette grandeur est de iS", le diamètre de ce cercle eait 
de 36"", dont le palier eêt dessiné à moitié. Hais il fttut 
entendre par ta qu'une ligue du dessin est moitié de ce^oe 
serait lï projection de cette ligne , ai le corps était projeté 
en vraie grandeur. 

Inversement, on peut déterminer ce dernier rapport en 
partant poar construire les échcAiw d'un cube dent le côté 
toit donné en mètres. Bn effet , rapposons, comme cela a 
Kea dam la fig.- 92, que le c6té du cube ab ait 2 centimètres. 
Anbune des dimen3loas£"fr",c"ii",o"jr"j delà projeetio», - 
n'a 2 centimètres; etsi nons prenons la moitié de chacune 
de ces lignes , dette moitié représentera respectivement cri 
eentimènv. Si donc nous divisons cettemoitiè en dix parties 
égalés, chacune de ces parties représentera un nJllimètre 
sur le dessin que nous voulons exécuter. Alors, coDstrdisuit 
les trois échelles d'après ces-trois anités, il est clair que toat 
corps dessiné à l'aide de ces échelles , sera projeté en gran- 



:,.;,l,ZDdbyG00gIC 



— 62 — 
deur oaUreltft. MainteiMiDl , si noas voulons qae le corps soit 
dessiné à la moilié, au tiers, au quart, etc., au lîe» de di- 
viser en dit parties égales la moitié de cliaqae arête de la 
projection du cube, nous diviserons en dix parties pour 
avoir également des millimètres, la moitié, le tiers, le quart, 
etc., de cette même moitié. De cette sorte encore le corps 
sera dessiné à moitié, au tiers, au quart, etc- , c'est-à-dire 
que les trois dimensions de cette projectioD seront la moitié, 
le tiers, le quart, etc, de ce qu'elles seraient si le corpsétait 
projeté en gr.andeur naturelle. 

Ilestaisédevoirque,âan8ce genrede dessin, on peut aus» 
bien obtenir des arêtes quelconques du corps, que des arêtes 
parallèles aux arêtes du cube. En effet, un point peut tou- 
jours être déterminé par deux lignes parallèles à deux des 
arêtes du -cube, et mesurées sur le croqais. Par exemple. 
pour projeter une auge de meule , f,g. 94, dont les pieds m . 
sont pas dans des plans verticaux, nous trouverons le pied 
en prenaot )a hauteur h h' sur l'échelle de bau teur, mesurant 
etmenaot/tit sur la lai^m- et (is sur la longueur, ce qui 
détermine le pied x. Si le pied était dans te plan vertical 
k'hi.hivaesmk sut l'écbelle de largeur donnerait poar pied 
le pointa. C'est ainsi, fig. 93, queogligne qui ne doit pas 
être ti-acée sur le dessin , puisqu'elle n'est pas sur le modèle, 
adoonèlep6into. . 

§ 57. Procédé général pour trouver la projection oblique 
d'un eorpt. — Le problème du § 35 , qui enseigne à déter- 
miner les traces d'uDe droite sur les plans de projection, nous 
fournit le moyen d'établir immédiatement le principe fonda- 
mental sur lequel les projections obliques sont fondées. 'En 
effet, d'après ce que nous avons déjà dit , § 29 , par chaque 
point d'un corps dont les projections sont données, il suffit 
de mener une parallèle à une Hgne convenue , servant à di- 
riger les lignes projetantes, et de chercher les traces de ces 
lignes sur les plans de pr<^ection. L'ensemble de ces traces 
forment la projection oblique du corps. 

Nous supposerons ici , comme au § 53, que les trois dimeo- 



i.vCoogIc . 



— 63 — 
sieOH dv corps à projeter sont pariâtes aoxplans de projec- 
lioD. Il suit de là que si doiis oienoDS par les extrémités 
d'une verticale comme a, a'n", fig. 95, deux lignes proje- 
tantes abyo'h' et ab, a"b", la droite i*t" qui sera la pro- 
jection oblique de la droite a,a^a", sera égale et parallèle k 
eettedroile. Be même, une parallélea 6, a'b\ a la ligne de 
tfliYe, aura pourprojectioD ot>lîquea"6" égale et parallèle 
À ab, <['6'. ConséquemtDeat, dans ce mode de projection, la 
haateur et la longueur seront projetées en véritable gran- 
deur, et sans changer de direction par rapport aux plans de 
projection. 

Si nous prenons maintenant une perpendiculairea.a'a" 
au plan vertical, sa projecliou t>bliqne 6.6' n'aura plus la di- 
rection, ni la grandeur de la droite a, a' n". lUais, pourvu 
quepouB coQservioDg aux lignes projetantes leur directioD , 
tontes les dinaensions du corps à projeter, qui sont perpendi- 
culaires au plan vertical , se projetteroot suivant des lignes 
proportionnelles à leurs grandeurs; et si nous remarquons 
que, en ËhangeaDl la direetioo des lignes prçjetantes, la 
grandeur de la projection peut surpasser la ligne etle- 
mémeou être plus petite qu'elle, et qu'on peut ainsi la faire 
varier autant qu'on le veul,il s'ensuit qu'on pourra choisir 
la projection verticale qui aura avec la ligue donnée le rap- 
port de grandeur le plus simple possible, comme celui de I à 
l,det à2,del à 3, etc. Alors toutesles lignes du corpsqui se- 
ront perpendiculaires au pian vertical seront représentées sur 
«fltts projection par d'autres lignes qu'il suffirade multiplier 
par l,par 2 on par 3, etc., pour avoir leur grandeur réelle. 

Celte projection, à l'aidé d'une seule échelle , ou de deux 
ayant le rapport de 1 à 3 , ou de l à 3 , etc. , pourra donc 
servir à retrouver les trois dimensi!>ns d'un corps par le se- 
cours du dessin. Enfin , cette projection aura l'avantage de 
ne pas déformer le, corps , puisque deux de ses dimensions 
conservent leur grandeur et leur direction. 

Il reste à déterminer la direction de la ligne projetante 
qu'on peut choisir le plus généralement. Le plus simple de 



>;,l,ZDdbyG0bgIC 



— «4 — 

lOQS les rapports eA cetai de 1 à 1, tntis les igopesoat 
mcim de gr&ce qae daos celai de I à 2. Noas prendrons 
donc nue projection a'C^^. 96, qoi soit ta moi^ âe la 
longueur a a" qui Inicorrespond. Mais comme on peut varier 
ft rinfini les deux projections d'aoe droite qni donoerait noe 
projection oblique deux fois plus petite qn'elle, comme ou 
le voit par la figure, cous allms ansù fixer Tangle que didt 
faire la prt^ection verticale avec la ligne de terre. Les an- 
gles les plus aisteà constraire, sont cenx de 45* et de 30*. 
En effet, fig. 97, d l'on fait be=t^ab^^ qa'oa Joigne ac, 
cette ligne est inclinée de 45° sur a b. Si l'on décrit du point 
d comme centre avec de pour rayon, un cercle, et qa'on 
porte de de e en f, le triangle def est éqailatèral , l'angle 
defest de 60*, et par conséquent feg est de ^0*. 

Ifons choisârons Tai^e de 30* et le rapport de 1 à 2, pour 
les exemples que nous donnerons. Ainsi, poar trOQver les 
projections de la direction des lignes projetantes, fig. 98 ^ 
nous mènerons une Hgne a* b' inclinée de 30* snr la ligne de 
terre, sur laquelle nous prendrons une distance a'b' quel- 
conque; nous mènerons a* a perpendiculaire à la ligne de 
terre etdoable de a'6'; a1orsa6 et a^6' seront les projec- 
tions de la direction des lignes projetantes. 

§ 59. Vn point itanl dorme, trouver sa projeotîon oblique. 
— Cette question peut Être résolue de deux mamôres. Si te 
point est donné par ses deux projections k et v, fig. 99, on 
mène une parallèle h hù v v' à la <firectioo des lignes proje- 
tantes, et sa trace v' sur le plan V est la proJecti<Hi «Âllque 
du point h^v. Ou bîeD encore, au lien de tracer h A', on 
porte la moitié de A p de v en v'. 

Le point étant donné par sa projection v et sa distant» an 
plan T, il n'est ptfs nécessaire de tracer sur le dessin la pro- 
jection horizontale h; on se contente demener'vv' et de 
prendre oetle tlgne égale à la moitié de la distance du point 
au plan V. 

§ 59. Trouver la projection oblique iCune ligne inctinée ■ 
tTiinenUmière qaelconque sur les plant B et F. ^ Lejpars- 



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— 65 — 
graphe précédent nous donne la solution de celte question, 
car pour projeter une droite , il suffira d'en projeter lès denx' 
exlrémitës, ce qui exigera les données indiquées par le 
§ 57, fg. 100. 

§ 60. Trouver la projeclionoblique d'un chapeau de palier 
H d'un coussinet, — L'avantage de connaître le rapport de 
la projection oblique d'une perpendiculaire au' plan. V, à la - 
ligne qu'elle représente, permet le pins souvent de trouver 
la projection oblique d'un corps sans être obligé de coonat- 
tre ses projections. Bans ce cas la projection verticale seule 
de la direction des lignes projetantes doit être donnée. Soit 
proposé de projeter obliquement le chapeau du palier que 
BOUS avons projeté orthogonalement.- Le croquis de ce corps 
étant fait, nous dessinerons la face abedef^flg. 10 t. comme 
elle l'est dans le modèle , à l'échelle donnée , ainsi que les 
parties gk, ii l, hi, Ih. Les arêtes aa', bb'', iV, W, etc., 
seront menées à 30", et deux fois plus petites que le croquis. 
Les cercles i/tl, i'k't' doivent être décrits des points o et o* 
comme centre. Pour projeter les cercles horizontaux mnp, 
nous mènerons dans un cercle du rayon donné fig. 103 , 
deux diamètres rectangulaires a 6, éd. !Nous diviserons ed 
en quatre parties égales. Alors ab se prcjetleraobtiquemeat 
suivant a'&'^=a6, oe, oc,of, od, se projetteront en «V, 
o'c', o'f, o'd\ deux fois plus petites qu'elles; menant les 
parallèles pq, my, leurs projections seront a;'y\p^j^ telles 
queii!j' = ar'j'',p9=p'ç'. C'est ainsi qu'on déterminera les 
basesdesdeux cylindres, et 00 les reliera par des tangentes 
communes. ^ 

On trouvera de la même manière la projection oblique 
du coussinet abcdef, a'd'e'f, fig. 103. 

§61. Projection oblique d'un cube placé sur un plan 
(jaelconque. — On peut également se proposer, comme dans 
les projections orthogonales, de trouver la projection oblique 
d'uD cube placé sur un plan quelconque. Soita't'c'rf'e'/"g' 
A' la projection orthogonale d'un cube placé sur le plan 
mni, fig. 104, projection «btenae comme au§55.Poar 
5 



:, Cookie 



avoir la projecliMi oblique, il suffira de mener par Ions les 
sommets, des lignes încIiDées à 30* sur la ligne de terre , et 
de porter sur ces lignes des longoeurs respectivement égtiles 
aux moitiés des distancesdes points a, 6, c,(l,e,^, g, k,,kla 
ligne de terre. 

8 62. Usage du probUms précédent pour projeter oblique- 
ment un. eorpS placé sur un plan quelconque. — Gomme au 
§ 56, OD coiistrait ici trois échelles sur les trois arëlesc"6", 
c"d", c"g", fig- 104 ; on suppose le corps placé sur le plan 
comme l'est le cube précédent, et l'on prend les loogiieurs 
^ur l'échelle construite sur c"g", les largeurs sur l'échelle 
c"d", et les hauteurs sur l'échelle c" fc". 

Propostms-nous pour exemple de trouver la projection 
oblique du coussinet du § 60. Soient c A, rri, cg, les trois 
direotioDS des projections obliques des arêtes du cube, /îg. 
105. Nous prendrons fh parallèle à cg sur L'échelle de lon- 
gueur, aiosi que ho qui est le c6tè du carré dont fk est la 
diagonale. On en conclura io parallèle à6 c et pris sar 
l'échelle de hauteur. De ko et io, oa conclut la ligne in- 
clinée h i. tk parallèle à eb est pris sur l'échelle de hau- 
teur,itm,np....Bur l'échue de longueur. Pour les courbes, 
on en cherchera quelques points en coDslruisant le demi- 
cercle xyx, prenant tj sur l'échelle de hauteur, et le por- 
tant de t' eny'; puis, prenant le milieu o, on porte ss en s' s' 
sur l'écbelle de longueur. 

§ 63. DtHX pians parallélesont leurs traces Tetpeetivement 
partUUlea. Par u» point donné %nener un plan parallèle à un 
plandonné. — Soient bac, flg. 106, le p^an donné, et h^v, 
le point donné. Les traces du plaa cherché devront être res- 
pectivement parallèles k celles du plan donné, comme inter- 
sections de deux plans parallèles par un troisième (66). Il 
suffit dtMic de âëlerminer un point de chacune d'elles. IHe- 
noos par le point donné et dans le plaa cherché une horizon- 
tale; elle aura pour projection horizontale une droite parid- 
léle à la trace horizontale de ce plan , et par conséquent pa- 
rallèle à la trace n 6 du plan doaHé§ 41; sa projection verti- 



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— 67 — 
Ueale sera parallèle à la ligne de terre. Donc AA',iiv' sont 
les projections de cette horizontale. Le proAème est main- 
tenaot résoln,carinenaiit v'a'parallèleàca,eetleligDesera 
la trace verticale du plan cherché, et a' ft' parallèle k ab ea 
sera la trace horizontale. Gomme vériQcalion de l'épure, ' 
nous pouvons mener par le point k,v, une parallèle aa pUo 
V dans le plan, et cette nouvelle droite doit avoir sa trace 
sur d'i'. 

La même figure présente le même problème rèsolo dans 
des positions partitft Hères du plan doonë. Kous nous arrête- 
rons au dernier cas, celui oà le plan donné est paraltéle à 
la ligne de terre. 

Par le point donné nous ferons passer un plan qai cou- 
pera le plan demtè suivant une droite. Mous mènerons par 
(e point une parallèle à cette intersection , qui sera contenue 
dans le plan cherché, et qui percera les plans de projection 
sur les traces du plan. 

Soient a 6 , a' &* tes traces du plan , A et v les prt^ctions ■ 
du point; faisons passer par ce point un plao perpendicalaire 
kit, et rabaltoDSce plan, son intersection avec le plao, et 
le point donné , sur le plan H ; si par te p<^nt i rabâlte- 
meot da point, nous menons ig parallèle au rabatteoMot 
mn, de VintersectioD , cette drMte sera cooteoue dans le 
plan cherché. Elle perce le plan H en », § 47 , fig, 6(i , «t 
le plan V en r. Donc ed et cM' sont les traces dn plan 
cherché. 

S 64. Trouver V intersection, de trott ptans. — Trois 
plans se coupent en UQ seul point : c'est celui où l'an des ■ 
plans rencontre l'intersection des deux autres. POur déter- 
miner ce point , ii suffit de déterminer rintersectiondel'un 
des plans avec chacno des deax autres, et le point de vea~ 
cuDtre de ces denx droites sera le point commun aux trois 
plans , comme le point de rencontre des deux traces d'un 
plan est le point comman aux trois plans H, V et le plan 
donné. Soieotfcac, 6'a'c', t" a" e",^g. 107, les trois plans 
donnés. liCs deux premiers se coupent suivant A A, vv ; les 



i.vCooglc 



deux deroiers suirant h'h', v'v' : ces deux droites se cou- 
pent au point T'A' <!"i«*^ '"^ point cherché. Si l'on cherche 
l'intersection des deux plans bac, i"a"c", ■celle droite 
k"k",v"v" doit passer par le point r.r'. 

Le point i, i\ de la /Ig. 72, est le point de rencontre de» 
If 0Î8 plans <i 6. a' A', cd, c'd',vpk. 

8 65. Par une droite donnée mejier un plan parallèle à 
une autre droite donnée. — PiSur qu'an plao soit parallèle à 
une droite, il sufGt qu'il contienae une parallèle à cette 
droite. Si donc par un point de la première droite, nous 
menons une parallèle à l'autre, le plan qui passera par les 
deux droites qui se coupent sera le plan demandé. 

Soient ab^a' b\fig. i08, la première droite, crf,c'd' .la 
seconde. Soit A, «un point pris sur ab. <i'fc'. Parce point 
nous menons ef,e'f parallèle a.cd,c'd\ Les deux droites 
qui se coupent, déterminent le plan cherché dont les traces 
sontss,s's', § 50. 

Si l'une des droites était la ligne de terre , soit a b, a'b' la 
première droite, /tg. 109. Le plan cd,<!' d\ mené par a 6, a' b' 
parallètement à la ligne de terre est le plan cherché. 

S 66. Par un point donné mener un plan parallèle à 
deux droites données. — Par le point donné Bous mènerons 
une droite parallèle à chacune des deux droites données. Le 
plan qui passera par ces deux droites sera le plan cherché. 

Soient «A, a' î' etcd, c'rf' les droites données, A, v le 
point donné, ^g. ltO.Le& parallèlesa"fc",rt"'6"'eU" d", 
c'" d"', menées par le point h.v, déterminent par leurs tra- 
. ces celles du plan cherché ; ces traces sont xy,jrz. 

Sil'anedes droites élait la ligne de terre , soit a 6 , a' fc' 
la seconde, fis- 111, A, v le point donné. La parallèle 
«"6",(ï"'i"' menée par ce point détermine par ses traces 
celles du plan cherche, en les menant parallèlement à la 
ligne de terre. 

8 67. Par unpoint donné mener une droite qui en ren- 
contre deux autres non situées dans le même plan. — Par 
)e point donné et chacune des droites nous ferons passer un 



i.vCoogIc 



— 69 — 
^n. Ces deux plans se couperont suivant uoe droite qui 
passera par le poiut donné, et qui rencontrera les deux 
droites données. 

Soient «é, a'fc', cd,c'rf' tes deux droites données, fi g.' 
112, A,v, le point donné. On tronvera gkm pour le plan 
mené par k,v, «t a b, a'é', et g' fc'm' pour celui mené par 
k.v eicd, c'd'. Ces deux plans se coupent suivant une droite 
P9i p''f\ Qui passe par A, V, et qui coupe lés droites données, 
aux points A', v' et h", «". 

La flg. 113 fait voirie cas où l'une des droites serait 
verticale et l'autre horizontale, a, bb\ cl cd, c'd' sont les 
deox droites; A,f, le point., AA', n^'la droite cherchée, 

La fig. 1 14 donne celui où l'une des droites serait la ligne 
de terre et l'autre la verticale a, b b\ Soit h, v le point donné. 
Le plan qui passe par la verticale et le point A, v est le plan 
akg. Ce plan et ceint qui contient It elle point donné ont 
déjà le point k commun ; comme de plus l'intersection con- 
tient le point v,A, la droite cherchée est AA, l^v, qui ren- 
contre les deux droites aux points a^a' et k. 

§ 68. Mener une droite qui en rencontre deux auVfeê non 
situées dans le même plan , et qui soit parallèle à une troi- 
Biéme. — Ce problème se résout comme le précèdent, si ce 
n'est que, au lieu de faire passer des plans par le point et 
chacune des droites, on fait passer des plans parallèles à la 
troisième drmte par chacune des deux premières, et l'on 
cherche leur intersection commune. 

La figure 115 présente ces deux cas : Lorsque les trois 
droites sont quelconques; lorsque les deux premières sont 
l'uBe verticale, l'autre horizontale , la troisième est la ligne 
de terre, a, b b' est l'une des lignes, cd, e'd' l'autre. La ligne 
cherchée est a A , cv, 

§ 69. Transmettre faction d'une force d'une direction 
donnée en une autre également dànnée, et non située dans ' 
le même plan. — Ce problème peut se résoudre à l'aide <re 
l'un des deux paragraphes précédents. Lorsqu'on a trouvé 
une droite qui coupe les deux directions données, on place 



>;,l,ZDdbyG00gle 



_- 70 — 
une poalie dus I'ud des angles et use seconâe intaiie dans 
l'autre. La tDâme corde opère la traosmisHoa désirée. 

§ 70. Trouver le point de rencontre iVune droite et d'un 
plan. — Mous mèneroBS par la droite donnée ub plaa ^oel- 
cooque. Ce plan coupera le plas douné suivant uue droUe 
qui contiendra le point cberciié ; et comme il d(Ht auBsi se 
trouver sur la droite doonée, il se trouvera à la rencootre 
de ces deux lignes. 

Soit bac le plan donné, fig. 116, et dg^d'g', là droite 
dODUée. Menons par la droite un plan vertical. Sa trace bo- 
rizontale est la projection dg de la droite donnée , sa traee 
verticale eslgt. L'intersection , de ces deux plans est dg, 
mi:, qui coupe la droite donnée au point A, v. C'est le point 
cberciié. 

Ou peut, comme vériScation, faire passer un autre plan 
par la droite, comme par exemple d'g'k'^ son plan proje- 
tant vertical, L'intersection de ce plan, et du plan donné doit 
également {lasser par h,v. 

Supposons le plan a 6, a'b' parall^ à la ligne de terre , 
fig. 117, et la droite o,o'o" verticale, menons par la droite 
un plan perpendiculaire à la ligne de terra. Ce plan col^le 
le plan donné suivant gk rabattu. La verticale se rabat eu 
«m, et le point m est le point de rencontre rabattu. En re- 
levant ce point , on trouve o, v pour ses projections. 

La droite r, f' r" étant verticale, et le plan cd faorizoutal, 
fig. 1 17, le point de rencontre a pour projecticws r,r'. 

La droite étant quelconque ef^e'f, et la plan vertical 
pq$, le point de reacoatre est ^ t'. 

§ 71. Conitruire les projections d'un paralièlipipèdecon- 
Tiaittant la diagonale donnée de grandeur et de direction , 
elles directions des arêtes. — Soientaiii a'd' fig.HSyles 
projeetionsde la diagonale donnée ad, fig. 119, ak. a' k' , 
am, a'm^, on, a'n' les projections des'directiop's des arêtes. 

Peu* première solution , on peut mener, par l'extrémité d 
da la diagonale, trois plans respectivement parallèles à 
ceux déterminés par les directions données , et cbercber 



i.vCoogIc 



— 71 — 
leors iatersectioiu mntHelles. On peut «ocore meDer par le 
poiM duoe parallèle à Tuoe des arêtes ak qui reocentre 
leplai) des deux autres eu A, ce quidétermioelafaceacAtf 
et l'arèle dh. Il suffît ensuite de construire un parAUèÙpi" 
pède cowiaissaitf une face et une-arète. 

Poirr résoudre la questioo par la géométrie descriptive, 
nous mèDerons par le point f'td'f la parallèle dk,<i'h%à. 
ak. n'ff'. Itouscliercberoiisl'iDtsrsectioD /tÂ' de cette droite 
avec le plan po,p'o' des deux autres arêtes. Avec le point 
A, h'- et les droite a m, à' m\ a n^ à" m' bous construirons im 
parallëlogramaie ache, a'c'/t'e',etsurcette face et l'arête 
dhjd'k' nous acbèverius les projections du parallèlipipëde. 

§ 72. Ombre d'une auge de me*de. — Les problAmes des 
§§ 3â, 43 et 70 condDis«it à la détermination de l'ombre 
portée par un polyèdre sur les plans de projection. ou sur 
d'autres corfts, on enia sur eux-mâates. En effet, pour 
trouver rwaibre portée par un polyèdre, il faut supposer 
qu'un rayon lumineux suit tous les contoiu'E de ce corps et 
qu'il engaadre ainsi nne surface qu'où somme surface 
d'ombre; que c^le surface rencontre sur son passage, soit 
lee plans de projection, soit quelques parties du corps lui- 
même , soit enfin d'antres corps. Alors les intersections de 
cette surface avec ees {dans ou ces corps, limitent sur ces 
dermers la portion de soriace qui ne reçoit pas de lumière, 
c'est-à-dire l'ombre portée; or, le rayon lumineux , en sui- 
vant les contours d'un polyèdre, qui sont rectilignes, tracera 
nécessairement une série de plans, et les intersections de 
CN pUss avec les objets qu'Us .rencontrent déterminent 
l'Mubre poclée du polyèdre sur ces corps. Tout se réduit 
donc , pour tfo.uver rombre portée , à trouver des intersec- 
titHis.de plans , ou de droites et de plans , quand il s'agit des 
plans de projection seolement. On, remarquera d'ailleurs . 
que pour trouver l'ombred'une aréle, on pourra, ou mener 
par cette drmle uo plan parallèle à la direction de la lu- 
aiére, et déterminer ses îolersections avec tout ce qu'il 
reocootre ; ou bien , si cette inlerGeclion ne doit avoir lieu 



>;,l,ZDdbyG00gIC 



— 72 — 
qae sor )« plans de projection, se cootenler de trouver 
l'ombre portée par chacune des extrémités de l'arête , et de 
les joindre par une droite. Cette droite sera aussi latrace 
du plan d'ombre sur les plans de projection. 

Four rendre sensible ce qae nous venons de dire par un 
exemple, nous choisirons pour objet l'aug'e de meale repré- 
sentée § 5 6,/ig. 94. Ses projections horizontale elverticalei 
fig.liOySoatdbcd, a'A'cW.Soit ^/,r/', la direction desrayons 
lumineax. L'ombre des bras cd, c' d\ s'obtiendra en menant 
desparallèlesà la lomière par leurs extrémités, et cherchant 
la (race verticale de ces rayons, puisque leur ombre se porte 
sur le plan vertical. On aura l'ombre des traverses A 6 de la 
mènie manière, el l'on obtient pour limite de l'ombre portée 
mn, dont ta partie utile est mo. Enfin, pour obtenir l'ombra 
portée par le pied a A , il faut mener par l'arête a A un plan 
parallèle à ll,Vt\ce qui se fait en menant par le point fr 
un rayon lumineux, et cherchant ses traces A , t sur les plans 
de projection. Joignant al, on a latrace horizontale, et gh- 
est la tra(.e verticale. L'ombre portée par le pied sur le ' 
plan horizontal , se porte donc également sur le plan verti- 
cal. L'ombre des autres pieds a été déterminée de la même 
manière. 

§ 73. Des coupes. — La recherche du plan île rencontre 
d'une droite et d'un plan conduit à la détermination des 
coupes dans les polyèdres. Ces coupes sont destinées à 
fournir de nouvelles indications sur les cbrps à dessiner, et 
principalement à faire mieux connaître les parties évidées. 

On emploie ordinairement , pour exécuter les coupes , des 
plans parallèles aux arêtes principales des corps. Les inter- 
sections sont alors plus faciles à obtenir; dans ce cas la figure 
des coupes a beaucoup d'analogie avec les projections or- 
thogonales des corps , si l'on place les arêtes principales pa- 
rallèlement aux plans de projection. Ainsi^ la projection 
horizontale et la coupe du chapeau de la figure 101 , ont 
également la forme représentée flg. 121, La coupe faite par 
un plan horizontal passant par b et e, ftg. loi, serait 



i.vCoogIc 



— 73 — 
?aa'g'o,fgkg'f", /ig. 121. Celle faite par dd plao verti- 
cal parallèle à f f ' , el passant par )t , /îg. 1 01 , serait a b cdef, 
h. 122. 

On a coulame, dans les coupes, d'ealever l'une des par- 
ties du corps , située de l'un des côtés du plan de la sectioD, 
et de projeter l'autre partie , même les parties cachées, c'est 
ce qui a été fait dans les fig, 121 et 122. On met des ha- 
ebores dans les parties pleioesdes coupes. 

§ 74. Trouver ta distance de deux points donnés par 
leurs projections. — Soient A,v, et A'.d'. fig. i'23, les 
points donnés. A A' et vu' seront les projectioos de la ligne 
qni joint ces points ou les projections de leur Véritable dis- 
tance dans l'espace. Pour trouver cette distance, nous re- 
marquerons qu'elle est, dans le plan projetant de la droite 
snr le plan H, le quatrième c6Iè d'un trapèze dont la base 
est A A' et dont les c6tés parallèles sont les deux distances 
' des points donnés au plan H , mesurées par les deux lignes 
vp, v'p\ En rabattant ce plan projetant sur le plan H , et 
toutes les parties de ce trapèze , nous pourrons eu conclure 
' lequatrièmecôté,onlalongueurdela distance cherchée. Or 
les -points h^v et A',v' (§ 46, fif^, 58) se rabattent sur les 
perpendiculaires A4, A'^', en i et 4' tels que hk =vp- et 
A'i' = v'p'. Donc A^' est le rabattement de la ligne qui joint 
les deux points dans l'espace; cette ligne exprime donc la 
véritable distance qni sépare ces deux points. 

On peut opérer ce rabattement d'une autre manière : On 
remarque aisément que si par le point i on mène une pa- 
. rallèle Ag à A A' , la distance cherchée A^ n'est autre chose 
que l'hypoténuse d'un triangle rectangle dont un des c6tès 
ig est égal à la projection horizontale AA', et l'autre ctHb 
gi'estia différence entre les deux distances v';>' elvp, h'au- 
.teurs des deux points au-dessus du plan H. Ce triangle rec- 
tangle peut être construit partout sur l'épure avec ses deux 
Éléments AA' et v'^\ mais on pçut imaginer que ce triangle 
tourne autour de la verticale du point A', jusqu'à ce qu'il 
soit parallèle au plan Y, §48. Dans cette position , ce triangle 



i.vCoogIc 



— 74 — 
se projette verticalement en véritable grandeur. La ebar- 
nière parallèle àv'g' se projette suivant cette ligne, et 
l'autre côté égal à /lA' suivant v'g'. Si donc on porle h. h' 
de g' en^"^ lé triangle t"v' g^ sera la projection de celui tie 
l'espace en };r<aDdeur naturelle^ et v' i" sera la distance 
cherchée. 

Le transport de la ligne A k' s'opère par l'arc de cercle k >/ 
se terminant à k'q parallèle à It, k'q se transporte ea 
g' k" par la perpendicnlaire qk" hl t. 

Lorsque les deux points sont plaeés dans uo plan paral- 
lèle à l'un des plans de projection , la ligne qui les joint est 
alors une parallèle au plan H, ou une parallèle au plan V, 
et la distance des deux points se projette eu véritable gran- 
deur sur l'un on l'autre de ces deux plans. 

Ainsi, /èg. 124, ktC est la véritable distance des points 
A,v, A',v', ou a, A, et a, A'; flg. 125, vv' est la distance des 
deux points K,-v, A', v' ou a, v et n, v\ 

Pour avoir la distance de deux ptunts A,v, A', «' situés 
dans un plan perpendiculaire à la ligne de terre flg. 126, il 
suffît de rabattre ces deux points (§ 46, fig. fiO), ladî»- 
lance hk'' est lagrandenr cherchée. 

La distance d'un point k,v d'une droite, fig. 127, au 
point r où elle perce te plan horizontal , se trouve aÏBésaeat 
en rabattant le plan projetant de cette droite, et la droile 
elle-même. Le point A, v se rabat en A; le point r reste fixe. 
Doncr^estlerabatteoaentdeladroiteouladistaDcechercbée. 

La distance du point A,v, au point a situé sur ^t, /(^, 128, 
■A pour projection ah et av, et se rabat eu a^quiest la vé- 
ritable grandenr de celte dislaoce. 

S 76. Trouver la distance fC an point à un plan. — On 
démontre cû géométrie que la plus courte distance d'un point 
à un plan est mesurée par la perpendiculaire abaissée du 
point sur le plan. En géométrie descriptive, cous aurons 
donc plusieurs problèmes à résoudre pour arriver à la so- 
lution, car, il faudra : 1" Trouver les projections d'une per- 
pendiculaire abnisscc du point sur le plan ; 2« déUrminer 



3,q,l,ZDdbvG00gIe 



— 75 — 
U pçint de rencontre de cette perpendicnlaire et du plan ; 3° 
chercher ta distance entre le point donné et U point de ren- 
contre, rïous savons résoudre les deux derniers problèmes. 
Cherchons la solulion do premier. iNous dèmoulreroDS pour 
cela le principe suivant : 

Lorsqu'une droite est perpendiculaire à un plan, ses pro' 
Jections sont porpendiculaireê aux traces du plan. En effet, 
le plan qui projetle la droite borizoDtalemenl est perpendi- 
calaire au plan horizonlal , il l'est aus» au plan donné, 
puisqu'il passe par la droite (77), donc la trace do plan est 
perpeodiclilaire au point projetant (79), et par suite à la 
projection de la droite qui passe par soo pied dans ce plan. 

On conclut de là que, pour abaisser d'un point donné. 
A,v, fig. 129, une perpendiculaire sur un plan bae, il suffit 
. d'abaisser desprojectionsAeti' desperpendiculaires respecti 
vesaux traces du plan. 

Pour terminer le problème qui fait le titre de ce para- 
graphe, il suffit donc de chercher le point de rencontre de 
cette droite et du plan, §70, ce qui donne le point f-,r',et 
decbercber la grandeur de la ligne f-/i,r'v, qui joint lu 
point donné au point de reocootre, § 74; cette distance 
trouvée vk, est la distance du point au plan. 

La distance d'un prant A,v à un plan horizonlal ab fig, 
130, est évidemment égale à ti ^ distance de la projeelioo 
verticale à la trace , car la perpeodiculaire au plaa est ici 
une verticale, le point de rencontre est A, /i(§70/îf. 117} 
et la dislance de ces deux points est vi (§ 74, fig. 125). 

La concluûoQ précèdeote se tirerait pour un plan quel- 
conque perpendiculaire à l'un des plans de projection. La 
distance d'un point à ce plan serait toujours mesurée par la 
distance de la prc^ectloa de ce point sur le même plan de 
projection à la trace de ce plan. 

Ainsi la distance' du point A',v', au pUn cd» serait A'i\ 

Lorsque le plan est parallèle à la ligne de terre,/!;. 131, 
soit h,v, le point dootto, noas mènerons on plan perpeudi- 
culaire à la ligne de terre par ce poiol. L'intersection de ces 



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deux plans, rabattue, est gg\ et le point rabaltu est *. 
Abaissant kd perpendiculaire à gg^ le problème est résolu, 
et kA est la distance du point A , « au plan. On peut relever 
le point (J, ce qui donne )',r', pour ses projectioas. 

Si le point donné était le point o, oq serait la distance 
chercbée. 

§ 76. Trouver la dislance d'un point à urte droite. — On 
ne peut pas dire d'une droite perpendiculaire à une .autre 
droite , ce qu'on dit d'une droite perpendiculaire à un plan; 
les projections d'une droite perpendiculaire â un plan sont 
perpendiculaires aux traces du plan; mais quand deux 
droites sout perpendiculaires l'une à l'autre, leurs pro- 
jections ne sont pas généralement rectangulaires entre 
elles, r^ous verrons bientôt dans quel cas cette circons- 
lauce a lieu. 

Pour résoudre le problème dont l'énoncé fait le titre de 
ce paragraphe , nous sommes conduits à cet antre : 

D'un point donné abaisier tine perpendiculaire sur une 
droite. 

En eCTet, la distance d'un point à une droite est mesurée 
par la perpendiculaire mraëe du point sur la droite. 

Or, si du point donné, on abaisse un plan perpendiculaire 
sur la droite donnée, la droite qui joindra le point donné 
au point de rencontre de la droite et du ptau, sera la per- 
pendiculaire demandée: car, passant par le pied de la per- 
pendiculaire au plan et dans ce plan, elle sera perpendicu- 
laire à la droite , et de plus elle passera par le point donné. 
Il ne restera plus qu'à déterminer la distance du point donné 
au point de rencontre. 

En résumé, il faut donc : 1° Mener par le point donné un 
plan perpendiculaire à la droite donnée; 1' chercher le 
point de rencontre de la droite et du plan; 3* joindre le 
point au point donné ,- 4° chercher ta grandeur de cette der- 
nière droite. Nous savons effectuer ces trois dernières cons- 
tructions. Il nous reste à effectuer la première. 

Soient lit, (t't',/?g. 132, lesprojections de la droite, /t,v 



>;,l,ZDdbyG00gle 



_ 77 — 
celles da point. Les traces du plan mené par le poiot per- 
pendiculairement à la droite doivéot être respectivement 
perpeDdiculaires aux projections de cette droite, § 75 ; mais 
ces traces ne doivent pas passer par les projections du point, 
§ 37. Seulement, comme nous coDsaissoos la direction de 
ces traces, nous pouvons concevoir une droite menée par te 
point et dans le plan, parallèlement au plan H- Alors sa 
projection \erticale sera vd parallèle à la ligne de terre, 
et sa projection horizontale sera parallèle à la trace ho- 
rizontale du plan, § 41; mais comme la trace du plan doit 
être perpendiculaire à a 6, la projection horizontale de cette 
horizontale sera donc hd' perpendiculaire âa6. Cette horizon- 
tale a pour trace verticale le poiutti qui appartient à la trace 
du ptaa. Ce plan est donc li^ g. Le plan mené par le point per- 
pendiculairement à la droite, étant déterminé , il nous reste 
à chercher le pointderencontre,cequidonnelepointf,r', et 
enfin à joindre ce point au point h,v, ce qui donne enfin la 
droite kr.vr' pour la perpendiculaire demandée. 

La longueur de cette droite se détermine comme au g 74. 
On trouve ^r\ 

Lorsque la droite donnée est parallèle à l'un des plans de 
projection, nous sommes conduits par la construction à re- 
marquer que la projection horizontale de la perpeudiculaire 
à la droite est perpendiculaire à la projection de cette même 
droite, car le plan mené parle point A, v, fig. 13â, perpen- 
diculairement à la droite, est vertical, puisque la droite 
est borizoDtale; et sa trace passe par la projection k du 
point. Cette trace est de plus perpendiculaire à ab, car la 
droite étant perpendiculaire à ce plan, sa parallèle a b l'est 
aussi, et par suite à la trace. Donc enfin, g^çf est le plan 
perpeudiculaire, f, g', est le point de rencontre , et gk, g'v 
est la perpendiculaire demandée. Alals nous avons déjà dé- 
montré, § 51, fig. 82, ce principe que : Lorsque deux droites 
sont rectangulaires, et que l'une d'elles est parallèle à l'un 
des plans de projection , les projections de ces deux lignes 
sur ce plan sont aussi reotangulaires. 



:,.;,l,ZDdbyG00gIC 



— 78 — 

Ce principe admis de nouveau , il est aisé de résoudre le 
cas précèdent de la/lg. 133, /ig. 134. Du point Aon abaisse 
hg perpendicwlairementsaraé. On projetiez' en/, on joint 
A,v et^,;'etle proUême est résolu. 

La loDgiiear véritable de la perpendiculaire se trouve 
comme prëcédemnieut. 

La distance du pointA,i<, à la parallèle a6, a'6', à /t, 
fig. 13S,a pour projections A*", gr\ et sa véritable grandeur 
estvk. La dislance du point o à la même droite est od. 

La dislance du point h,v ftg. 136, à la verticale o, o*o", 
est Ao. 

§77. Trouver la distance <le deux plans parallèles , de 
deux droites parallèles, d'une droite et d^an plan parallèles. 
— r On prendra un point dans le 1" plan, § 42, et l'on 
cherchera la distance de ce point au second plan, §75; 2° 
on prendra un point snr Tune des drdtes, et l'on cherchera 
sa distance h la seconde droite ; S" on prendra un point sur 
la droite et l'on cherchera la distance de ce point au plan, 
figures 137, 138, 139. 

§ 78. l'rouver la plus courte distance de deux droites non 
situées dans le même plan. — On démontre en gëométile 
ijue cette plus courte distance est la perpendiculaire com- 
mnoe à ces deux droites , et voici le procédé général pour 
déterminer sa position et sa grandeur. 

Soient nfc et cd les deux droites données, fig. 140. Par 
un point f de la droite a A, on noène fg parallèle à l'autre 
droite cd. On fait passer un plan m n par ces deax droites ; 
ce plan est parallèle à cd. On projette la droite cd sur ce 
plan. Pour cela, d'un poùit quelconque A de cette droite, 
on abaisse At.perpendiculaire au plan ; par le point de ren- 
contre t on mène une parallèle ik h cd, c'est la projection 
de ed sur le plan mn , car ed est parallèle à ce plan. Au 
point ^ où t A rencontre a A, 00 élève ^/ perpendicDiaire au 
plan mn, et cette ligne est la pins courte distance cherchée. 

En elîet , cette ligne ^ l est perpendiculaire à m n , et par 
suite à a 6. Enfin elle est perpendiculaire à ^t, et par suite 



>;,l,ZDdbyGÔ0gle 



_ 79 — 
à sa parallèle éd. Elle est donc per|)endiculaireaus deux 
droites, elle est donc leur plus caurte dislance. 

C'est la ligne la plus courte qu'on puisse mener de a & à 
cd, car toute autre ligne comuae s b aérait oblique par rap- 
port kst et serait plus longue que st.or st^^ki. 

Il ne reste plus qu'à effectuer par les procédés de la géo~ 
métrie descriptive , toutes tes constructions que Dous venons 
d'indiquer. î^ous mettrons à la (ig,. 141 les lettresdes lignes 
qui se correspondent dans la fig, 140. 

Soient ai, a'6',c(i, cM'Ies deux droites. Par la première 
droite a 6. a' b' nous menons un plan paraUèie à la seconde 
ed, c d', § 65. f, f est le point pris sur « b, a' b'; /"g, f g' est 
la parallèle à cd, c'd', do;' est le plan parallèle. Mous proje- 
tons £</; «' d' sur ce plan. Pour cela, d'un point h, k" nous 
menons /t t , k'i' perpendiculaire au plan , nous déterminons 
le point de rencontré t^t', et par ce point nous meDonst^,t'r 
parallèle à ed, c'd'; cette parallèle se trouve par là même 
située dans le plan ho g', et par conséquent reuconlrea 6, a 6' 
eo *, k'. 

Par ce pointnousÉlevon$^/,^'r perpendiculaire au plan 
boff% et cette perpendiculaire rencontre éd., c' d' en l^V. 
Les droites^/, ^'/' sont les projections de la plus courte 
distance, et kq en est la grandeur. 

On remarquera, fig. 140, que si l'on a senlement pour 
but de déterminer la grandeur de la plus courte distance , la 
Hgne kiXd. donne, sans donner sa véritable position. Il suf- 
firait donc, fig. 141, de troover la longueur de la ligne 
ht, h'V. 

Soit proposé de trouver la plus courte distance entrfr une 
ligaeqaelcoDquea6, a'b' , fig, 142, et la ligne de terre ct^. 
Le plao parallèle àcdmenèpar a6,a'A', est «g, b's\ 
(§ 65, fig. 109). La perpendiculaire ki, li'i' à ce plan le 
reneontre suivant i,i' { § 75, /ig. 131 et § 47y?g.65). 
La parallèle à cd est ik, Vi\ et la plus courte distance est 
kt, fl. Sa grandeur est /a ou /i/. 
La plus courte distance des deux droites dont l'une est 



:,.;,l,ZDdbyG00gIC. 



verticale, fig. 143, est égale à ia distance de la projectioa 
borizoDtale de la verticale â la projection de l'autre droite. 
En effet , le plan tertical a ^ g est celui mené par a b, a' b' 
parallèlement à c, c'd'. La droite c, c'a' se projette sur 
ce plan suivant k, k'i', et la plus courte distance est la per- 
pendiculaire au planafrg, J^c, &'»', Sa grandeur est Ac (§ 
74, /ig.l24). . ^ 

§ 79. Trouver l'angle de deux droites dont les. projec- 
tions sont données, — Ce problême sera résolu à l'aide de 
l'un des problèmes du § 50 et du problême du § 46. En efTet, 
pour trouver l'angle de deux droites, ii suffit de faire passer 
un plan par ces deux droites, et de le rabattre sur l'un des 
plans de projection ou sur un plan parallèle; l'angle des 
deux droites se projettera alors en véritable grandeur sur ce 
plan de projection. 

Soient a 6, a' h' et cd, cd',fig. 144, les droites données. 
Le plan qui passe par ces deux droites a pour trace ho- 
rizontale ne. Pour rabattre ce plan avec les deux droites 
qu'il contient, nous rabattrons le point n.o' où ellesse cou- 
pent, par le procédé ordinaire; puis, joignant ce rabatte- 
ment k aux points a et o, les lignes ai^et te seront les ra- 
battements dès deux droites données et l'angle ahc sera 
l'angle chercbè. 

Les deuxdroites ab^a b'elcd, c'd\ fig, 145,étaot, l'une 
quelconque et l'autre parallèle à la ligne de terre, le plan de 
ces deux droites a pour trace ag. Le point o,o^ se rabat 
en i^,et les deux droites en a k et kd". Doae aA:d" est l'angle 
demandé. 

Les deux droites étant , l'une parallèle au plan H, l'autre 
parallèle au plan V, /(g. 146, a^ est la trace du plan, A; le 
rabattement du point o ,o', a & et kd" les rabattements des 
droites, et akd" est l'angle demandé. 

Les deux droites ab, <[' 6' et cd, c'd', fig. 147, sont rec- 
tangulaires. 

§ 80. Trouver l'angle des traces d'un plan, — Il est 
visible d'abord que l'angle des traces d'un plan n'est pa» 



byÇoOglc 



„ 81 ~ 
égal à l'angle qu'elles forment eotr'Glles «laos ie rattatlemeot 
des plans de projecUoa I'ud sur l'autre, puisque cet aogle 
est UD angle plao du trièdre Tormé par les deux traces et 
la ligne de terre, et qu'il ne saurait être égal à la somme 
des deux autres angles plane. 

Pour trouver cet angle il suffit évidemment de rabattre It; 
plsD sur le plan H, par exemple, et de trouver danscera- , 
battement la position de ta Iraee verticale. La trace ho- 
rizontale étant restée fixe, l'angle de celte ligne et du. rabat- 
tement de la brace verticale sera l'angle cherché. 

Soient ab,ac,fig. 148, les traces du plan, 6' sera le 
rabatteatent du pointa, ak' celui de lalrace a 6, et l'angle 
6'ac -sera l'angle des deux traces. 

§ 81. Partager i'angU de deux droites en deux parties 
Égales. — Pour résoudre ce problème , il suffit de chercher 
l'angle des deux droites par I» procédé du § 79, de partager 
le rabattement de cet angle eu deux parties égales par une 
droite. Le rabattement de cette droite étant ainsi connu, on 
en déterminera les projections par la méthode du § 47. 

Soient a6, a'6' et c(/, c'(l',7?g. 149, les prctjections des 
deux droites, ao^'e sera leur angle. o"k divisant ao^c en 
deux parties égales, sera le rabattement^e la ligne cherchée. 
Ses projeetiiHis sont évidemment ok, o'it', puisqu'elle perce 
le plan H en A sur la trace a c du plan des deux droites. 

§ 82. Trouver C angle d'une droite et d'un plan. — Si 
d'un point de la droite on abaisse une perpendiculaire sur 
le plan, l'angle des deux droites sera le complément de 
l'angle demandé. 

Soienta6, tt'fi', ^g. 150,1a droite donnée, et cjcd le plan 
donné; of, o" /", sera la perpradiculaire au plan, gm n sera 
l'angle des deux droites. Henant mp perpendiculaire à g' m, 
l'angle pmniera.l'aBgle demandé. 

L'angled'une droite avec l'un des plans de projection, est 
l'angle qu'elle fait avec sa projection sur ce plan. Pour avoir 
cet angle, il suffit de rabattre le plan projetant de la droite. 

Soit «/>,»' t', fig. 151, la droite donnée. Cette droite 



by Google 



— 82 — 
(levient a l dans le rabattement du plan projelaot. Donc ka b 
CFil l'angle de cette droilb avec le plan H. 

§ 83. Trouver Canule d» deux plans dont Ut traces sont 
données, — Kolis déterminerons l'intersection de ces deux 
plans; nous mènerons un plan perpendiculaire à celte ligne 
et ses intersections avec les deux plans donnés feronf entre 
elles l'aiigle cherché; nous rabattrons le plan de cet angle 
sur l'un des plans de projection, et le rabattement des deux, 
intersections donnera l'angle cherché. 

Soient abc, a'b'c\fîg. 152, les deux plans dooeès, tjt 
t A'sont les projections de tear interseelîùn. Dn plan perpen- 
diculaire à cette intersection aura pour trace horizontale fg, 
perpendiculaire â i ^,§75, et coupera les deux plans donnés 
suivant deux droites qui forment les deux côtés de l'angle 
cherché, et qui percent le plan H, l'unen/et l'autre en g. 
Ces deux côtés vont concourir en un poiot de l'intersection 
{juî se projette nécessairement sur ik. Si donc nous rabat- 
tons le pian f^ sur le plan H, le sommet de l'angle se rabattra 
sur la perpendiculaire t ^ à la charnière, puisque cette ligne 
contient la projection horizontale du sommet. Dans ce nou- 
veau rabattement, nous ne connaissons que le pied o de la 
distance du sommet à la trace ^^', sans connaître nucun des 
trois côtés du triangle qui sert ordinairement au rabatte^ 
ment d'un point. Mais , si nous remarquons que la distance 
du sommet à ta trace fg est située dans le plan /"g quiest 
perp^diculaire à l'intersection des deux plans , et que par 
suite elle est perpendiculaire n cette intersection , il suffira 
pour trouver cette distance de rabattre le plan ikk' proje- 
tant de l'intersection sur le plan H , et d'abaisser du point o 
resté fixe la perpendiculaire op sur le rabattement i i" de 
l'intersection. Cette distance op est la distance cherchée dti 
sommet à la trace fg, et elle doit être portée de<» en y pour 
avoîrla position du sommet dans le rabatlemutt du plan ff^. 
Donc fq g est l'angle demandé. 

Il est clair que la projection du sommet est en r pied de hi 
perpendiculaire pr à t'A-. Sa projection verlicale est en »■'. 



>;,l,ZDdbyG00gle 



-^83 — 

L'angle de deux p)Ais paratl^es à U tiffm âe terre, fig. 
153, se clétermiaerait eo coupaot ces deux plans par un 
troisième plan perpeodiculaire à la ligue déterre, et «» 
rabatlaot les ioterseetioDS. Ges. deux droites furmentestre 
elles l'aogle dierclié. 

L'angle de deux plana TertiaauK,/!^. là j, est mesuré par 
l'angiede leurs traces borizoalales. 

Si l'un des plaus était borizQiUat, on ctwrcbersit l'angle 
^m fait l'autre plan ayec le plan H, par le procédé du para- 
graphe suivant. 

§ 84. Trouver l'angle d'un plan avec les plans de pro- 
jection. — Ce pToblËBie a déjà été résolu dans le rabatte- 
loent d'ut) point, mais nous le résoudrons ici direcleoienl. 

Soientat, ac^fig. 15 S, les traces du plan, menons uo 
plan bde perpeudiculaire à l'arête ah du dièdre formé par 
le plan donné .et le plan H. Ce plan sera perpendiculaire au 
plan donné et au plan H , et déterminera , par ses inlerseo- 
tioas avec ces deux plans, l'angle rectiligne que nous cbei- 
£hons. Ces deux interBecti&Ds soûl , l'une 6 d; et l'autre la 
ligue qui joint le point b au point e. Rabattant le plan b de 
âur le plan H^ les deux intersections devieooeat 6 (i e{ ^.o' , 
dont l'augle c'bd est l'angle cberpbé. Il est encore égal à 
eb'd. 

L'adgie du plan vertical a ^c, ^g. 156, avec le-planV 
esterai aal/d. 

Les angles du plaun^, à'b\fiQ. 157, avec les deux plans 
VetHsonte^ffetecl/; 

§ '8â. Partager l'angle de deux plans en deux parties 
égaUs. — > Résoudre eetteqaestioQ, c'est cbcrcber les traces 
du plan qui divise l'ongle des deux plans donnés en deux 
parties égales. P4dus ebercbons d'abord cet angle par le pro- 
cédé du § 83; puis, nous mèneroos la bissectrice de cet 
angle, et par cette droite et l'iutersectioa des deux plans 
nous ferons passer un plan qui sera le plan demandé. 

Soient bacy ^'a'c% fig, lâ8, le; plans donnés, (/«,</'«' les 
projections de leur intersection. On trouvera fog .pour 



>;,l,ZDdbyG00gIC - 



— 84 — 
l'angle de ces deux plans. La bissectrice oh de cet angle a 
poarpn^ecliDD ih,Vh', et te plan d'ke'qai passe par ces 
deax droites eit lé plao deoiaBdé. 

. § 86. itater une dtoite gui faste avec les plant de 
projection deux angUsdonnét h et v; même question pour un 
plan. — Soit a fig. 159, un point prie sar la ligne de terre, 
et passant par la droite cherchée ; si Ton fait tourner celle 
' ligne cherchée autour de la verticale a m située dans le plan 
vertical , elle se rabattra sur le plan V en a 6, faisant avec 
It l'angle A. Dans ce mouvement un point quelconque 6 de 
cette ligne aura'décrit un arc de cercle dans l'espace, dont 
la projection horizontale est hli" et la projection verticale 
bv. De même, si r6n fait tourner la même droite autour 
de an située dans le plan H, elle se rabattra en ai' telle 
que O'at == V, et le même point b de la droite, devenu V 
tel que ab' ^=ab, dans ce rabattement , aura aussi décrit 
un arc de cercle dont vv' est la projection verticale, et b' A 
la projection horizontale. Le point de U droite devait se 
trouver à la fois sur ces deuxarcs de cercle, se trouvera k 
leur renconirem A,v, et la droitecherchée seraaA, au. 

Si l'on suppose maintenant que les angles A et v sont les 
compléments de ceux que le plan doit faire avec les plans 
H et y, il suffira, pour trouver- ce plan, de mener le plan 
xyz perpendiculairement à la droite ah, av. 

Lorsque la somme des deux angles kelv vaut un droit, 
les deux arcs de cercle sont tangents, la droite est située 
dans un plan perpendicnlaire à la ligne de terre, et le plan 
est parallèle à cette ligne de terre. 

Lorsque la somme des angles surpasse 90° , les arcs ne se 
coupent pas, et le problème est imposable. 

§ 87. Let! irotg angles plana d'un angle trtidre itant 
donnia, trouver les trois anf^tes dièdres. — Soit s abe. 
fie. 160, le trièdre donné. Rabattons les faces sa bel tan 
sur la troisième sb c. L'arête d'intersection prendra les deux 
positionsaa, s aWreaons sa = sa\ Si du point a on mène 
la perpendiculaire .abo sar si, ob elba seront les traces 



:,.;,l,ZDdbyG00gle 



— 85 — 
d'uD plan aaeaè perpeDdiculaireiDeBt k l'aràta $ù sur les 
deux faces asb, bêc,ab ètaBt le rabattemeot d'aae de ces 
(races. De même a'c et et* , perpenftieuUireeàjc au poinlc, 
seront les traces d'uo plMiioeBè parlemème point a' per- 
peadiettlaireineat à l'arôte le. Lm devi lignes a 6 , 6 o for- 
ment donc entre eUes l'angle rfiel^vedu dièdre l> comue 
les deux lignes a' c,c« forment entre eUes l'angle rectiUgiw 
du dièdre c. Les plans de ces deux an^es se coupent suivant 
une droite qai perce en o la face cab, «t ^ui passe par le 
point dont a et a' sont les rabattemeoU. Cette droite d'in- 
terseetion se rabat en oa' tfuand on rabal le plan de l'angle 
c sur le plan es 6, et la longueur oa' est déterminée par 
t'arc de cercle a' a' décrit de c oonme eekire avec c a' pour 
rayon. L'angle oc a est donc l'angle rectîligne du dièdre c. 
De même obx est l'angle ractUigBe du dièdre b. 

Pour trouver le dièdre a , nous méfierons par le point <i 
un plan perpendiculaire à l'arête sa ^ui coupe les faces 
aab, a'fcsuivant n/i, à'W perpendiculaires, l'uneà Ja. 
l'autre ksa'. La droite /i A' est la trace du plan perpendieu- 
la^e à Tméleja sur la facec4 6. Gelte trace ettles. deux inter- 
sections (lA et a' h' forment un triangle dont l'angle «pposè 
SUA.' estl'aBgte rectiligne du 4ÎAdiie m. Ce triangle est cons- 
nfait en AA'a, el'n est l'angle cherché. 
'§ 88. Biduin un amgU à. l'h(trison, — Le problbOte 
précèdent condoit à la solution, de: celui-ci : 

Lorsqu'on veat projeter deux points « «' sur la.earle d'un 
pays, /Z^. 161 , on observe ea oitesanglsB .tov^j'ov que 
font les. rayons vîsûeU dirigés^urces pQintsavec la verticale 
ov du lieu. On observe égalestent l'auglefox' sous lequel on 
voit les deux objets, et ces trois aii^fis.plans forment un triè- 
dre ovss\ On se prvposs alors de trouver la projection de 
l'angle* oj' surla carte, ce qui place les trois points o,«,«' sur 
cettecarte,eB0,t, t',quafidon coonaUd'ailleurs les distances 
ot elfff'. Hais la projection tôt' de l'angle 50«' n'est autre 
Choseqaerangledudiidre«,caroietoi'pla<cèe5dan&lepUqijl 
sont perpeodieulaires à l'arête ov et mesurenl le dièdre v. £n 



>;,l,ZDdbyG00gIC 



— 86 — 
appliqnanl à cet esemplela constnietioR du paragraplie prÉ- 
rédenl,^^- 162, on tratierasvec la verticaleovles deuxsB- 
gtes vo(, vof' des reyoos visuels avee la verticale; on fera 
avec os l'aigle observa êok; pws, preoaDt o«' ég,al.0i, 
nous mènerons s* ^ perpendiculaife à ov , et gk perpeDdicH- 
l»h-eà(»«.LetriaBg:leTectaBBlev^ircoiHtrmtaTecv4'}mir 
bypotésuse et v^ pour c6té, donae a;v^ pour l'angle du 
dièdre V, et par c«ntéquent pour la pro}ection de aok. 

§ 89. fl/otians iuccinctea sur les cadranJt talalret, ■ — Le 
Iraoé des cadrans solaires offre de nombreuses applications 
de quelques-uns des proMémeS' résolus dans cette première 
partie. 

Pour comprendre ce tracé, il est nécessaire de donner la 
définition de quelques termes ^ue nous emploierons fré- 
quemment dans ce qui va suivre, et de donner une idée 4e 
la manière 4'agir des cadrans solaires pour indiquer les dif- 
Krentes liebres du jour. 

La (erre exécute en 24 heures une révolution complète 
autour de sonaxe; de telle sorte qu'elle prétente ses divers 
points successivement à l'action du soleil et les dérobe aaasi 
mccessivementà'cetle action. Sfaisles apparences nous re- 
prëseoteot au contraire le soleil en mouvement, et il paraît 
faire le tour de la terre en 24 hetire«. Or, il est clair que les 
apparences doivent être telles, que ce soit la terre qui se 
meuve, ou bien que ce soit le soleil . Ce n'est pas ici le lieu 
d'entrer dans'les raisonnements qui prouvent d'une manière 
iaconleslable le mouvement de la terre; nous nous conten- 
tenms d'admettre que la terre tourne autour do soleil ; mais 
pour la facilité des raisonnements, nous ferons au contraire 
tourner le soleil autour de la terre. 

Gela posé , soit pp^' l'ase de la terre et m un lieu de &a 
surface, /tg. 163. On nomme méridien de ce lieu le grand 
cercle qui passe par ce lieu et l'axe pp'. On appelle korvson. 
le grand cercle ko perpendiculaire à la verticale m c du lieu, 
et l'on nomme iquateur, le grand cerclée^ perpendiculaire 
à l'axe du monde. ■ 



3,q,l,ZDdbv Google. 



— 87 — 

La latitude d'uQ lieu est la distance me de ce lieu à l'é- 
qnateur, mesurée sur un méridien; la fi§. 1G3^ fait voir 
que cette latitude est égale à la hauteur du paie au-dessus 
de t'borizoD. En effet, me =.pa comme compléments du 
même are mp, 

SoDe, l'axe du ibonde fait avec le plan liorizonlal d'un 
lieu «n angle égal. à la latitude decelieu. 

Le soleil dëcrilcbaque jour un cercle paralléleà l'équateur, 
et ToB a appelé midi l'instaot où il passe dans le méridieu 
du lien. Il suit de là que si une droite quelconque estsjtuée 
daos le plan méridien . l'ombre qu'elle portera à (ntdi sur un 
plan quelconque sera située sur une même droite pour tous 
les jours de l'année. 

On appelle méridienne sur un plan quelconque, la droite 
dont nous venons de parler. On voit que cette droite n'ost 
que riutersection du plan méridieu avec le plan dont; il 
est question. Nous donnerons bientôt le moyen de la dé; 
terminer. 

Le soleil paraissant décrire eitaque jour un cercle paral" 
léle à l'équatfflir, supposons que nous ayons trouvé le moyen 
de déterminer dans l'espace, la position d'une parallèle/)^' 
à l'axe du monde, /è°. 164, et de la fixer solidement sur un 
planer perpendiculaire à cet axe. Ce dernier plan sera 
nteefflairement parallèle à l'équateur. Le soleil tournera 
donc uniformément autour de la droite pp' , et si l'on sup- 
pose que mrn est la méridienne dans le plan «r, et que du 
pied c àeVi\epp' dans le plan, on décrive un cercle, ei) 
divisant ce cercle en 24 parties égales, l'ombre de p;>' se 
portera successivement sur les lignes de divisiODS aux diffé- 
rentes beures de la journée. 

II snit de là qu'un plan parallèle à l'équateur et un axe 
perpendiculaire à ce plan constituent un appareil propre à 
indiquer l'heure du jour. Il suffit pour cela de tracer un 
cercle dans le plan, du pied de l'axe comme centre, de 
tracer la méridienne du plan passant par ce centre, et enfifl ' 
de diviser le cercle en 24 parties égales à partir d« cette 



3,q,l,ZDdbvG00gIe 



— 88 — 
DiériâieDDe. L'ombre de pp' eo su portant sDt les lignes de 
divisioD indiquera l'heure. 

' On appelle plant horaire* les plans qui passent par l'ase 
du monde pp' et les lignes de divisions du cercle dent il 
vient d'être queslion. L'axe pp\ parallèle à l'axe du uoowle, 
fit dont l'ombre indique toujours l'heure , se nomme »tyle. 
On aura fait un cadran solaire sur uo plan quelconque q a^ 
en cherchant l'intersection de lotis les plans horaires avec 
tt plan. Ces intersections passent par le point p trace de 
t'aie ;'f>'sur le plan 92, et par les points où tes lignes de 
division coupent l'iotersection des deux plans. Celle inter- 
section et] porte le nom de ligne iquinoxiale^ et les intersec- 
tions des plans horaires et du plan du cadran sont les lignet 
horaires. En effet, le soleil, aux différentes heures da jour, 
porte l'ombre du style dans chaque plan horaire ; donc cette 
ombre se porte sur la trace de ce plan snr le plan du ca- 
dran donné. 

On voit que le plan du cercle c n'est qu'un cadran wJaire 
parallèle à l'équafeur. C'est le phis facile à coost^gire 
quand on peut aisément lixer le plan de ce cadran perpen- 
diculairement à l'axe du monde. 

§ 90. Hcsumé des opératiottt giométriifaes à exécuter 
pour éonsiruire un okdran solaire. — En résumant CO qUÏ 
Tient d'être dit, on voit que pour construire un cadr«D so- 
laire sur un plan quelconque gs, i\ faudra 1° troaver uœ 
parallèle pp' à l'axe du monde; 2° mener un plan perpen- 
diculaire à cet axe en un f oint quelconque,, et déterminer 
la direction m ni" de la méridienne dans ce plan ; 3° du pie4 
c de l'axe du monde dans ce plan qui est celui de l'équateur, 
décrire un cercle, et le partager en 24 parties ég3les,.à 
partir de la méridienne; 4° faire passer des plans, par l'axe 
elles lignes horaires ainsi' obtenues snr l'éqaateur. Pour 
cela on prolongera l'axe du monde jusqu'au- plan du ca- 
dran , ce qui donnera un point commun à tontes les lignes 
horaires ciierchées; et l'oa prolongera de mâmç les lignes 
de division du cercle jusqu'à ta rencontre du plan du ca- 



:,.;,l,ZDdbyG00gIC 



— 89 — 
ina , ce qui dtHUtera aussi un point de chscune de ces ligues ' 
horaires. Ces dernières seront dooc eotièreoiaDt détermi- 
Bées. Les traces des ligses lioraires de l'é^juateur sont toutes 
situées sur l'intersectiou des deux plaos , le plau de l'équa- 
leur et celui du cadran , iutersectioa qui est la ligne ëquî- 
noxiale. ' 

Le cadran est doac tormk du style cp qui est parallèle à 
l'axe du monde el du plan du cadran f = sur lequel sont tra- 
cées les lignes horaires UsQes du point p , et passant par tes 
points XII, XL X I, U, m.... 

La ligne e q porle le nom de ligne équînoiiale , parce que, 
quand le soleil décrit l'équateur. ce qui lui arrive deux, fois 
par année, Tonibre de l'extréniitô c du style décrit cette 
ligne; en effet, la ligne qui joint le soleil et le point c est 
alors toujours située dans le plan de l'équateur. 

§ 91. Tracer ta méridienne sur un plan horizontal. — 
On sait que la méridienne sur un plan est l'intersectioii de 
ce plan par le méridieii. 

Pour tracer la méridienne sur un pian borizontal , on 
plante un style vertical ab dans ce plan, ftg. 165, et du 
pied b de ce style comme centre,, on décrit des cercles con- 
centriques. Avant nudi, l'ombre de ce Blyle se porte suc- 
cessivement sur ces circonférences aux points o,p,4f ; 

puis, l'ombre atteint bientôt sa limite inférieure à l'heure 
de midi , pour croître de nouveau, et dans ce nouvel accrois- 
sement , elle se porte une seconde fois sur chacune des cirr 
conférences déjà décrites. En divisant les arcs oa',pp\ 
ff'..,elc.,en deux parties égal^ , la méridienne doit passer 
par tous ces points de division. 

Cette méthode est appelée la méthode des kauuurs cor- 
respondantes; elle n'est rigoureuse qu'à l'époque AeesoUti- 
eeg, mais il existe des tables qui donnent les corrections à 
apporter aux observations, pour que la méridienne partage, 
exactement en deux parties égales, l'intervalle des points 
d'ombre notés sur les circonférences. Ce n'est pas ici le lieu 
d'entrer dans de plus grands détails à ce sujet. Nous suppo- 



i.vCooglc 



— 96 — 
aeroDS qa'on sait actuellemeat déterminer une méridieDDoï 
horizontale, et noBS-nous occuperons da tracé des cadrans, 
ce qui nous fouroira les applications à la géométrie des- 
criptive que nous nous sommes proposées. 

§ 92. Cottstruireua cadran sur un plan horizontal. — - 
Soit m m', flg. 166, la direction de la méridienne tracée sur 
ee plan. En un point a de celte ligne plantons aoe tige per- 
pendiculaire aa^lan du cadran, et d'une longueur quel- 
conque. Si l'on rabat le plan méridien sur le plan horizon- 
tal, celte lige se rabattra eaab d'une longueur égale à elle- 
même, et perpendiculairement à mm\ Si l'on fait en 1/ 
avec ab un angle égal au complément de la latitude du lieu, 
la ligne b s sera l'a}ie du monde rabattu sur le pian H, ou le ; 
style du cadran. It nous reste maïutenant a exécuter les 
opérations indiquées dans le paragraphe précédent :1° Trou- 
ver une parallèle à l'axe du monde. Le problème vient d'être 
résolu et nous avons obtenu bt; 2" mener sur un plan perr 
pendlculiiire à cet axe. Menons bk perpendiculaire à ^6 ; 
cette ligne sera l'intersection du plan de l'équalenr et du 
méridien, ou la méridienne dans l'ëquateur. Elle perce le 
plan H en A: sur la trace de l'équateur, trace qui doit être 
perpendiculaire à la projection sk de l'ase du monde, puis- 
4]ue ce plan est perpendiculaire à cet aie; donc cf est la 
ligneèquiooxiale; Z" rabatloas l'éqnateur et le pied b de l'axe 
du monde dans ce plan, sur le plan H, en ^' tel que kb'^^kb. 
Du centre t' avec un rayon quelconque b' A' , décrivons le 
cercle 6' k\ et divisons la circonférence en 24 parties égales ; 
i" en prolongeant les lignes horaires de l'équateur jusqu'à 
la trace de ce plan ou la ligne équinoxiale , nous aurons un 
point da la trace de chacun des plans horaires sur le plan H. 
Le points est la trace du style, et appartient aussi à toutes 
ces traces. Donc enlîn les lignes horaires joindront le points 
et les points Xll , si , s, ix...., l, ii, m, iv,. etc. Pour ache- 
ver le cadran , il suffira donc de planter le style dans le plan 
vertical mm', faisant avec cette ligne l'angle bsa égal à la 
latitude du lieu. Une plaque de tôle ayant la forme sba 



>;,l,ZDdbyG00gIC 



— 91 — 
rempUrail le même but; enfin la ligne verlîcaJe ab seule- 
pourrait suffire : ce serait alors Tombre de son eslrèmUé b 
qui indiquerait l'heure. 

Pour avoir les denii-beures, il faudrait diviser le cercle 
en 48 parties égales, et achever les cons(rucli«as de la 
même maDÎère. 

§ 93- Construire un cadran solaire sur un plan verti- 
cal. — ^ !Nous supposerons tracée , dans le voisinage du 
mur, une méridienne horizontale. 

1* Nous planterons encore une tige en an point a, fig. 
167, de ce mur, et perpendiculairement à son plan. 
Puis, nous observerons à midi , donné par le cadran 
horizontal, l'ombre de l'extrémité de cette tige sur le 
mur, en o. La ligne verlicale mm' passant par ce point 
sera la méridienne du cadran. En etïet, à midi le soleil 
est dans le méridien. La ligne passant par le soleil et 
rexlrémilè de la tige, et qui perce le mur en o est 
donc située dans ce méridien. Donc o est la trace de 
cette ligne dans ce plan , et ce point apparlient à la trace 
dn méridien sur le mur, c'est-à-dire à la méridienne. Or 
It! méridien est vertical, ainsi que le mur; donc leur inter- 
section bu la méridienne est la verticale mm\ Cela posé, 
du point d menons ac perpeudiculaire et ab parallèle 
à mm'. Prenons a6 égal à la longneur de la tige, et Joignons 
hc. Le triangle ca b sera le triangle horizontal passant par 
la tige, rnballu sur le mur, autour deçà comme charnière, 
et c6 sera l'intersection du plan méridien et du'plan de ce 
triangle. 

Pour trouver l'axe du monde, il suffit maintenant de 
mener par le point b situé dans l'espace une ligne dans le 
méridien, qui fasse avec l'horizontale bcon angle égal à la 
latitude du lieu. Pour cela, nous raballrons le méridien 
sur le mur, en le faisant tourner autour de mm' ; bc, ho- 
rizontale, prendra la direction /l'c perpendiculaire kmm'', 
ell'on fera b'c^bc.TAeoaalb's, faisant avec fr'cun angle 
égal à la latitude, le point s sera le pied de la parallèle à 



3,.;,l,ZDdbyG00gle 



l'axe du monde diins le mur, et cet axe passera de plus par le 
point b relevé dans sa véritable pôsitioD. 

2° Pour construire i'équaleur, noua mènerons ('A per- 
pendiculaire à b'si b'k, passant par le pied de l'axe du 
monda et étant perpendicutatre à cet axe, sera située dans 
l'équateur. Donc k- est un point de la trace de l'équateur 
sur le mur, on un point de la ilgoe équiooxiaie. Mais Té- 
quateuF est perpendiculaire au style; donc la trace sur le 
mur est perpendiculaire à la projection sa de ce style 
sur le même mur. Donc enfin k VIII perpendiculaire h »à, 
est la ligne équinoiiale. 

3* Rabattons maintenant l'équateur sur le mur, le point 
b ou il', se rabat en i" tel que fcfc"'=A6',et cette ligne A t" 
n'est que la méridienne de l'équateur, rabattue sur le mur, 
dans le rabattement de l'équateur que nous venons d'o- 
pérer. Décrivons le cercle A", avec un rayon quelcoiu(ue, 
et partageons ce'cercle en vingt-quatre parties égales k 
partir de k b". Les lignes horaires de l'équateur étant ainsi 
obtenues, noos les prolongerons jusqu'à la ligne équinoxiale« 
pour avoir des points des traces des plans horaires. Les 
lignes horaires du cadran vertical joindront le point s aux 
points XII, I, II, III.... XI, X.... Pour achever le cadran, 
il suffira de planter le style en s, en l'appuyant sur l'extré- 
mité b de la tige. On pourrait encore implanter perpendi- 
culairement au mur, sur sa, un triangle rectangle en tôle 
dont les côtés soient a6 et sa. 

Enfin , l'extrémité 6 seule pourrait indiquer l'heure. 

Les demi-heures seront obtenues comme au paragraphe 
précédent. 



:,.;,l,ZDdbyG00gle 



— 98 — 
DES POLYÈDRES. 



§ 94. Intertection d'un prisme par itne droite, d'une 
pyramide par une droite. — Soient ahcdef, à' b^ c' d' e' f , 
les proiectioDs du prisme, gh^g'h', celles de la droite, 
fis- 168- 

Si Dous meDODs par la droite doonèe an plan parallèle 
anx arêtes du prisme, ce plan rencontrera le prisme suivant 
des'dfoites qui conliendront les points d'intersection de la 
droite et du prisme. Il snlïira donc de cbercher les intersec- 
tiODS de ce plan i k avec le prisme, et les interitectioas de 
ces dernières avec la droite donnée. Or, leplant/; rencon- 
trera le prisme, si sa trace horizontale ik rencontre la base 
abc. Ici, le plan ik coupe le prisme suivant deux droites 
qui percent le plan horizontal en m et n, et, se projettent 
suivant mp, m'p', nq, n'g'. Ces intersections coupent 
gh, g^ h', aux points cbercliés x,x^,y,y'. 

Pour trouver les points de rencontre d'une pyramide et 
d'uoe droite, nous mènerons un plan par la droite et le 
sommet. Ce plan rencontrera la pyramide suivant des droi- 
tes, et les points d'intersection de ces droites et de la droite 
donnée, seront les points cherchés. Si la trace horizontale 
du plan mené par la droite et le sommet, ne rencontre pas 
lepolygone, base delà pyramide, la droite donnée ne ren- 
contre pas la pyramide. 

Bans layS^. 169, la droite %b., g' A', ne rencontre pas le 
prisme a icde/', a'b*e'd'e'f. 

Bans la /tg. 170, le plan t A: mené par la droite g/i, g'h', 
rencontre la pyramide aa&Cj s'a' b'c' suivant les deux droi- 
tes ms, rrCs' , ns, n'a' , et ces droites coupent gk, g' k', sui- 
vant les points cherchés œ, œ', y, y" . 

Bans la fig. 171, la droite gk, g'h', ne rencontre pas la 
pyramide sabcd, s'a' b'c* d'. 

7 



i.vCoogIc 



— 94 — 

§ 95. Intersection d'un pristtie par un plan, d^une py- 
ramide par un plan. — Soient abcdefgh, ab'c'tCe'fg^h'', 
les projecliimsdu prisme; i A: He plan donné, flg. i72. 

Od trouvera les projections àe l'intersectioD du prisme et 
du plan, en cherchant les la iersec lions de toutes les arêtes 
avec le plan , et eu joignanj. tous ces points deux à deux , 
ou bien en cherchant les intersections des faces et du plan 
coupant; toutes ces intersections devront se couper deux k 
deux sur une arële. On peut réunir les deux procédés pour 
les faire concourir à leur.T^riâcatioD réciproque. 

Il peut arriver comme dans le cas de la /îg'. 172, que le plan 
coupant rencontre l'une des bases, ou toutes deux. Dans ce 
cas la sectioQ a un côté ou deux de plus que la base du 
prisme. 

Lasection est ici mnopyr, m' n' a' p' q' r'. Sa véritable 
forme rabattue sur le plan H est m tuvxn. 

La section droite du même prisme fig- 173, est abcd, 
à" b'c'd', et rabattue est a"b"c"d", 

La section du même prisme par un plan parallèle au plan 
\eTtica.\ V k est abc de f, a' b'c'd'e'f , fig. 174. 

Les coupes se des^nent hachées -quand les pièces coupées 
sont pleines comme /?g> 175- 

Four représenter les coupes, on suppose enlevée une par- 
lie.du corps coupé. Ainsi, en enlevant successivement les 
parties du prisme de la fig. 172, à droite et à gauche du plan 
coupant ikl, on obtient les deux fig. 175, 176. 

La projection oblique du tronc de la fig, 175 est 
dmnopijrfgh, fig, 175 bis, obtenue par le procédé des 
§ 58 et 59. 

Si leprismeestcreux, sacoupe par un plan quelconque s'ob- 
, tiendra de la même manière. Seulement, au lieu d'agir sur un 
seul prisme, on aura à opérer sur deux. La section droite da 
prisme creux de la fig. 177 est abcdefgkkl, ab'c'd'e'f' 
g" W k' V, et le prisme, ainsi tronqué, a pour projection 
oblique la /(g. 177 bis. 

Soient sabp.de, s'a' b^ c'a' e'., fig. 178.168 projections 



i=,GoogIc 



— 95 — 
d'nne pyramide ,ikt an plan coupant cette pyramide. Pour 
trouver la section faite par ce plan dans la pyramide , nous 
détermiDeroDS,ou les points de rencontre des arêtes avec le 
plan , ou les intersections de ce plao avec les Taces. On «b- 
tient ainsi la section fgkmn, f g'Ii'rnn'. La vraie gran- 
deur rabattue est f'g'"h"m"rC', 

La projection oblique du tronc est a frc(/«/'g A, /tg.'lTS/x'j. 

§ 9(i. Développement des intersections précédentes. Son 
usage pour exécuter les corps en relief. Prisme^ pyramide. — 
Lorsqu'on veut exécuter en relief des corps de figure géo- 
métrique dëlerminëe, donnés par leurs projections, il est 
nécessaire de faire un tracé qui donne immédiateinent la 
grandeur des éléments linéaires qui composent ces corps. 
On y parvient souvent à' l'aide d'une opération qui s'ap- 
pelle développement. Elle consiste à dérouler l'enveloppe oh 
la surface du corps comme si elle était composée d'une ma- 
tière Oexible, et à l'appliquer ainsi sur un plan , sans opérer 
bien entendu, aucune altération dans toutes les dimensions 
linéaires des figures qui composent celte enveloppe. ' 

Donnons tm exempte de ce genre d'opération, ponr nous 
faire mieux comprendre. 

Soit proposé d'exécuter en rdief et en bois, le prisme de 
la /(g. 173. La section droite de ce prisme est, en gfandeur 
véritable, a"t"o"d". Cette section étant construite, la 
qaestîOQ revient à construire un prisme droit covamaabcd 
a^ b' c' d" t fig. 179, dont la base soit égale à la section droite, 
ce que tout ouvrier est capable de faire, et dont la longueur 
acC soit assez grande pour que l'on puisse trouver le prisme 
cherché, en coupant le prisme droit par deux plans paral- 
lèles comme amno , c'm'n'o', et enlevant les parties 
afccdmïïo, a'6'c'd' m'n'o'. Pour effectuer ces opérations 
^. 179 bis , le prisme étant projeté, nous ferons les sections - 
droites abcd, a'6'o'd'. pat les sommets « etc' des deux 
bases , les plus éloignés de la perpendiculaire commune aux 
arêtes. Ces sections détermineront le prisme droit qui doit 
envelopper le prisme oblique. La longueur de l'arctc étant 



i.vCoogIc 



troovée, à l'aide des projections, ainsi que la fig. de la sec' 
tîOD droite en véritable grandeur, on prendra une pièce de 
bois, qu'on dressera sur une de ses extrèmitës,et sur laquelle 
on tracera la base du prisme droit. Puis, à l'aide de l*ë- 
querre, on dressera les faces du prisme , à angle droit arec 
la base. II ne restera plus qu'à couper ce prisme par deoi 
plans parallèles passant par les points a et c', et convenable- 
ment dirigés. Pour cela, on coupera le prisme droit suivant 
une des arêtes iri;', et on le développera en Taisant tourner les 
faces successivement autour de leur arètecommnne, jusqu'à 
ce qu'elles soient toutes dans le même plan. Dans ce mouve- 
ment, la base se développera suivant une ligne droite, car 
tous sescôtésaÀ, bc, cd... fig. 179 sont perpendiculaires à 
l'arête, et dans le développement ils resteront perpendicu- 
laires à cette arête, en occupant la position c'dabc fig. 179 
ter sur une ligne droite. Le développement total du prisme 
droit sera la /tg. ccc'c\ Pour avoir dans ce développement, 
tes points des bases du prisme à construire, on cherchera 
flg. 179 bis, la grandeur des portions à^arétesmd, n'a".,,, 
puis n<f, nV..,. en les portant fig- 179 ter, successivement 
en d m, en.,., les points m, n.... seront les points des bases dé- 
veloppées du prisme cherché. Si l'on mène les parallèles c'a" 
à no, o' n" à oa,.,. ia fig. noamnc'tn'n'o'e' , sera le dé- 
veloppement de la surface convexe du prisme cherché. Ëa 
enroulant cette fig. sur le prisme droit, on pourra ; tracer 
les côtés no, ao..,.c*o', o'n'.... des deux bases, et par suite 
exécuter deux traits de scie suivant les lignes ainsi tracées 
sur les faces. 

Soit encore proposé d'exécuter en relief le tronc de py- 
ramide de la ^g. 178. Ici nous développerons la pyramide 
silr l'une de ses faces, sab par exemple, fig. 180. Pour 
construire cette face dont te c6té a b est déjà connu , il suffit 
de déterminer la longueur des arêtes sa, s'a", et abis'b\ 
On peut alors construire le triangle sab, fig. 180 bis. Les 
tàcessae, sbc, sed,sed, se construisent de la même ma- 
nière. Tel est donc le développemeDl de la pyramide, de 



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— 97 — 
sorte que si on TeDroulait sur la pyramide en relief, en la 
supposant dëteriaînëe, les sommets cotncidaut, les dîA'ers 
sommets de la base coïacideraieot également. 

Pour trouver maîDtenant le développement de la section, 
et êxécnler lerelief, nous déterminerons également les dis- 
tances du sommet de la pyramide aux diCTérents sommets de 
la section , et nous porterons ces distances fi^. 180 bis , sur 
les arêtes correspondantes. Mous aurons ainsi mhgnfm 
pour le développement de la section, rious dresserons alors 
une face plane dans un morceau de bois brut, puis nous y 
tracerons la base (1 6 c lie. INous dresserons ensuite le plan de 
la (ncesab, faisant avec la base un angle que nous déter- 
minerons à l'aide de la fig. 180, et que nous transposerons 
sur le relief au moyen de l'équerre à charnière, nous tra- 
cerons la face sab avec les éléments de la /tg. 180 Au. L'a- 
rête «À et le côté bc déterminent Taréte so, que l'on trace; 
cette dernière et cd déterminent «i^, et ainsi de suite. La 
hauteur delà pyramide doit être égale à s'A:, fîg. 180. 

§ 97. Intersection de deux prismes , pénétration et arra- , 
chôment. — Soient abed, a'b'c'd', etfgh^fg'k\ les pro- 
jections d^s deux prismes, /tg. 181. 

Far un point quelconque x, x\ menons une parallèle à 
chacune des directions des arêtes. Le plan^ye mené par ces . 
deux droites sera parallèle aux arêtes des deux prismes, et 
tout plan qui lui sera parallèle coupera les deux prismes 
suivant des parallèles aux aréles. Gela posé, pour détermi- 
ner la ligne d'intersection des surfaces des deux prismes, 
. nous mèneroDs des plans parallèles au plan ^ s, nous déter- 
minerons les intersections de ces plans avec les prismes, ce 
qui donnera des droites qui se couperont suivant des points 
de la ligne d'intersection. Tous ces points formeront un po- 
lygone plan ou non , dont nous pourrons obtenir les sommets 
en menant les plans auxiliaires parallèles à y z, non pas 
quelconques, mais passant par les arôtes de l'un des prismes 
et de l'autre. IVous obtiendrons ainsi les sommets de la ligne 
d'entrée et ceux de la ligne de sortie de I'ud des prismes 



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— 98 — 
par rapport k l'autre. Ces points serool faciles à distingaer 
les uns des autres, car deux points de laligned'eatréeet de 
sortie seroot toujours située sur la même arête de l'un on de 
l'autre prisme. 

Baos les eoostf uctioQS à effectuerai! se présentera souveot 
deux cas : oa la même face de l'un des prismes n'en rëncoiH 
trera qu'une de l'antre prisme, on elle eo rencontrera deux. 
Dans le premier cas, la section sera une ligne droite, dans 
le second , une ligne brisée formée de deux lignes. 

Toutes les circonstances dont nous venons de parler se 
présentent daos le cas qui nous occupe. Les plans ausitiai- 
Tes menés par les arêtes f. g. h. du prisme fg h, coupent le 
prisme abcdsaiviat des lignes qui, par leurs intersections 
arec les arêtes f,g,h, déterminent les points 4, 5, 2, de 
la ligne d'entrée, et les points correspondants 8, 7, 6, de la 
ligne de sortie. De même l'arête c entre dans le prisme fgk 
par le point i de la face fg, et en sort par le point 3 de la 
face fk. Ici la ligne 5 2 est rinterseclion des deux faces 
• de, gk;\!i ligne 2 3 4 est l'intersection de la face totale fk, 
ou son entrée dans le prisme abcd, par les deux faces be, cd; 
et enfln 41 5 est l'intersection de In face fg par les deux 
mêmes faces 6 c, cd. La ligne de sortie 6 7 8 est entièrement 
située dans la face a 6. 

Pour reconnaître les points qui doivent se joindre deux à 
deux, il suffit de suivre les génératrices consécutives, et de 
noter les points au fur et à mesure qu'on les découvre, avec 
la suite des nombres consécutifs. * 

Pour construire ces deux corps en bois par exemple et 
les assembler, il faut développer les deux prismeseu dabcd, 
/tg. 18 1 bis. et g/^Ag. Ces développements se feront, soit en 
{construisant la section droite, comme nous l'avons déjà 
ait § 36, et cherchant les distances des points t, 2, ^^ 4...., 
i ces sections, soU en construisant directement les bases 
dabcd, flg. ISl bU, ttlgfbg, connaissant sur la fig. 181 
iesetAèsab. bc... fg, fk.... des faces , ainsi que les arêtes 



>;,l,ZDdbyG00gIC 



— ' 91) — ' ■ 

elles diagonale des faces, tous âlëmcDU (lue lu /tg. (81 fait 
délerminer. 

Pour coQ^ruire ea relief l'assemblage des deux prismes, 
il Eufût , a)>rès les avoir construits par la méthode du § 96, 
d^ les écrouler avec les^développemeals de \a fig. 181 ^ù, 
de tracer sur lee faces les fig. 13 3 4.... fig. 181 bU, et 
d'évider le prisme a 6 ci/ suivant lescootoars Indiqués et dans 
la direcUoD des arêtes du prisme fg It. - 

Bans l'exemple qui précède, l'an des prismes est eutière- 
meot traversé par l'autre ; il y a, comme on le dit, pénétra- 
tion , et il existe une ligne d'entrée et une ligne de sortie. Il 
peut se faire qu'une partie seule del'uo des prismes reocoo- 
trc l'autre : dans ce cas, il y aura arrachement , et les deux 
lignes d'entrée et de sortie se réduiront à une seule ligne 
continue. C'est le cas de la fig. 182. Il est aisé de voir à 
rinspectioH seule de cette fig. que les traces ag, qr, des 
plans, menés parallèlement aux arétesdes deux prismes, 
menés par les sommets extrêmes a et f des bases, sont les 
limites des traces' qui doivent donner des prauts de la ligne 
d'intersection. Il suit de là que la partie hcr du prisme 
abcd, et la partie goi ne sont pasrencoalrées, et que par 
conséquent l'un des prismes ne traverse pas l'autre entière- 
ment. Tons les points de la ligne d'intersection se détermi- 
neDt comme précédemment, et elleapoar projections 12 3 
4 5 67 8 , l'2'3'4'..„ 

Il est facile de voir à l'iDSpection des deux ^g. 181 et 182, 
que pour s'assurer s'il y a arrachement ou pénétration, il 
sufût do mener les traces des pians (imites 0j, 9 s, ag, cz, 
fig. 182, qui renferment les bases, et si les deux traces 
limites de chacun des prismes ne rencontrent pas toutes 
deux l'autre base , il y aura arrachement. Si, au contraire, 
les trnceslimiles de l'un des deux prismes rencontrentl'autre 
base, fig. 181, il y aura pénétration de ce dernier prisme 
par le premier. 

La fig. 1 82 bis offre également les développements de ces 
deux corps. 



J,.;,-z.d=,G00gk' 



_ 100 — 

La projection oblique de la /tg. 181 est ea 18 1 ter; celle 
■de la fig. 1 82 est en 1 82 ter. 

Pour construire ces deux projecUoDs obliques, on déter- 
mine les projecUons obliques des^ deux corps, et celle de la 
trace du plan mené parall^ement aux arêtes des deux 
prismes, on mène des parallèles à cette trace par les som- 
mets respectifs des bases ; ces parallèles coupent les bases 
en des points par lesquels, menant des parallèles aux arêtes, 
on détermine des points des projections obliques de la ligne 
d'intersection. ' 

§ 98. Intersection d'un prisme et d'une pyramide. — 
Soieat abcd, a'b'e'd', ftg. 183', les projections du 
prisme, efghete fg'k" les projections delà base de la py- 
ramide, 5 et s* celles de son sommet. 

Tout plan mené parie sommet parallèlement aux arêtes 
'da prisme, coupera les deux corps suivant des droitesqai, 
par leurs intersections, donneront des points de la ligne 
ebercbëe. Si donc par le sommet de la pyramide nous me- 
nons une parallèle s k, 3' k', aux arêtes du prisme , tout 
plan passant par cette parallèle satisfera aux conditions pré- 
cédentes , de conduire à la détermination de points de la 
ligne d'intersection- Cette droite perce le plan H en k,k^. 
XiCS traces limites des plans qui donneront des points de la 
ligne d'intersection seront ke, kf. JHom mènerons des tra- 
ces par tous les points de la haseefgk, et par tous ceux de 
la base abcdqni sont susceptibles de servir. Ici il ne s'en 
présente que deux , les points b et d. Le reste n'est plus que 
du dessin, et tous les points étant déterminés, il sutSt de les 
Joindre dans l'ordre convenable , comme nous l'avons dit au 
paragraphe précédent, eu joignant tous les points situés 
sur des arêtes consécutives, et l'on obtient ainsi la ligne 
12 3.... 1' 2' 3'..,. 

Les dèveloppemenls de- cette figure sont en 183 bia , et à 
l'aide de ces développements , on pourrait construire cette 
pénétration en relief. 

La projection oblique de cette pénétration se trouverait 



i.vCoogIc 



-r loi — 

«otnme celle du paragraphe précèdent, eu dètermiDant les 
projections obliques des deux corps, celle de la trace de la 
droite menée par le sommet de la pyramide parallèlement 
aux arêtes du prisme, et menant par ce point. et les som- 
mets des bases dès droites, ces droites coupent les bases en 
des points qui déterminent des arêtes, et ces arêtes con- 
duisent, par leurs intersections, aux points de la ligne cher- 
chée, /ig. 183 (er. 



DES SURFACES COURBES. 

MOTIONS GÉNÉRALES. 



§ 99. De ta génération des surfaces; surfaces ttu second 
degré. — Tious avons déjà eu l'occasion § 27, d'indiquer la 
manière de représenter les surfaces courbes en général. Nous 
étudierons maintenant les propriétés de quelqu^-unes d'en- 
tre elles, et nous choisirons celles qui offrent le plus d'ap- 
plications dans les arts. 

Les sections coniques, ellipse, hyperbole, parabole, sont 
aussi appelée^ courbes du 2' degré , parce que leur forme est 
traduite eu algèbre par des équations du second degré. 

Par une raison analogue , on appelle surfaces du second '. 
degré celles qui ne sont coupées par des plans que snivant 
l'une ou plusieurs des courbes précédentes. Il existe cinq de 
ces surfaces, qui sont engendrées de la manière suivante : 

Si l'oa conçoit deux ellipses ayant un axe commun, ou 
deux hyberboles ayant même axe transverse, ou deux hy- 
berbolesayantmëmeaxe non traDsverse,ou deux paraboles 
ayant même axe,lesplaDsdecesdeux courbes étant d'ailleurs 
rectangulaires , une troisième ellipse dont les sommets soieat ' 
assujettis à toucher ces deux courbes, et perpendiculaire à 



i.vCoogIc 



— 102 — 
leur plan, engendrera VclUpsaïdc, fi^, '\i\, nu Chyiierbo~ 
lotde àdèux nappes, ftg, 1 85, ou l'hyperboloîde à une nappe, 
fig. 186,011 le paraboloide elliptique^ fig. 187. £a6u si 
comme dans te dernier cas, les deux paraboles nat encore 
leurs plans rectangulaires, mus si les axes sont sur le pro- 
longement l'un de l'autre , fig. 188, et si l'une des paraboles 
est la génératrice , elle eageadtora \e parabolaïde kyperbo- 

Toutes les sections planes Taites dans ces cinq corps sont. 
coniques. 

Les quatre premiers, lorsque l'ellipse génératrice devient 
UQ cercle, ou que les directrices sont égales, ce qui est la 
même chose, se transforment eu ellipsoïde de révolution, 
Kyberboloîde de révolution à deux nappes , hyperboloîde 
de révolution à une nappe , et paraboloide de révolution , 
parce que , en elTet, dans ce cas ils peuvent être engendrés 
par une ellipse, ou une hyberbole, ou une parabole tournant 
autour de leur ase. 

§ 100. Surfaces de révolution, déftniliom. — Une sur- 
face de révolution est une surface engendrée par une ligne, 
plane acb tournant autour d'un axe a 6 situé dans son plan, 
.fig. 189. La ligne acb porte le nom de gérUratrice de la 
surface , el la droite a 6 est l'axe de révolution. 

La Mgaeacb étant égale à elle-même dans toutes les po- 
sitions qu'elle occupe autour de l'axe, tous les plans pas- 
sant par l'axe coupent la surface suivant des lignes ^ales à 
la génératrice. Ces sections portent le nom de sections mé- 
ridiennes. 

Chaque point de la ligne acb décrivant une circonférence 
de cercle autour de l'axe, toute section faite dans )a surface 
par un plan perpendiculaire a l'axe est un cercle. Ces sec- 
tions portent le nom de sections parallèles. 

Les trois corps ronds étudiés en géométrie élémentaire 
sont des corps de révolution. Le cylindre droit à base cir- 
culaire peut être supposé cugendrè par unedroite cd, ftg. 
190, assujettie à tourner autour de l'axe ab en restant à la 



i.vCoogIc 



— 103 — 
même distance de cet axe. Le cftae droit à base circulaire 
peut être supposé engendré par aoe droite a e assujettie à 
faire un angle constant avec l'axe ab, fig. 191. ËnOn la 
sphère est engendrée par un demi-cercle tournant autour de 
soD diamètre. 

§ 10t. Surfaces réglées, surfaces développables , défini- 
tions; surfaces cylindriques, coniques i développements de 
cen surfaces. —On aomme surfaces réglées, celles qui sont 
engendrées par le mouvement d'une ligne droite. Elles sont - 
de deux sortes : les surfaces développables et les surfaces 
gauches. 

Une surface développable est celle qui peut se dérouler 
sor un plan sans déchirure ni duplicalnre. 

Le caractère particulier d'une surface développable est 
d'avoir toujours deux éléments consécutifs quelconques si- 
toéB dans le même plan. (Géom. page t98, 6' édition). 

Les intersections successives des éléments de la surface 
fonneot une courbe que l'on appelle arête t/e rebroussement 
de la surface développable. 

Une. surface cylindrique , fig. 192, flst'celle qui es! engen- 
drée par une droite a b assujettie à suivre 'les contours 
d'une conrlie donnée 6 c <^, en restant toujours parallèle à 
elle-même. Cette droite est la génératrice de la surface, la 
courbe eu est ta directrice. Cette dernière peut être plane ou 
k double cour bure {2). 

On appelle section droite d'une surface cylindrique celle 
qui est faite par un plan perpendiculaire aux génératrices. 
Toutes les sections droites sont égales, car elles sont paral- 
lèles, et toutes les sections faites dans un prisme par des 
plans parallèles, sont des polygones égaux. 

L'arête de rebroussement d'une surface cylindrique est un 
point situé à l'infini. 

Le cylincke droit à base circulaire esX un cas particulier 
d'une surface cylindrique. 

Une surface conique est celle qui est engendrée par le 
mouvement d'une droite ab^ fig. 193 , assujettie à passer 



i.vCoogIc 



— 104 — 
par UD point s, et à suivre les contours d'une courbe donnée 
bcd. Cette droite est la génératrice de la surface, le point s 
en est le sommet, et la courbe la directrice. Cette dernière 
ligne peut être plaoe ou à double courburç. 

On appelle sections spkériques d'une surface conique, 
celles qui sont faites par des sphères de rayons variables 
dont le centre est au sommet. 

Il 'arête de rebroussement d^une surface conique est le 
sommet. 

Le cône droit à base circulaire est un cas particulier 
d'une surface conique. 

Les surfaces cylindriques et cooiqoes sont dèveloppables. 
En effet, deux de leurs éléments consécutifs sont dans un ' 
m^me plan. Il suit de là que si l'oofait tourner le plan des 
deux éléments n'A', a" b", fig. 192, autour de a' A' comme 
cbarnière jusqu'à ce qu'il se confonde avec la plan des deux 
éléments a b, a' b', la portion de surface aba'b' aura alors 
ëtè déroulée sur un plan, et comme on peut faire subir le 
même mouvement aux autres éléments, la surface entière 
pourra donc être développée sur ce plan, et dans ce déve- 
loppement, la courbe bcd aura acquis utie forme particu- 
lière BCD, fig. 192 bia, telle que si ce dèveloppemeat ètaot 
tracé sur une feuille tlexible, ou l'enroulait autour de la sur- 
face cylindrique, deux points delà ligne BCD coïncidant 
avec bcd, In courbe entière coïnciderait. 

On voit dés à présent que ces développements sont ana- 
logues à ceux déjà exécutés § 96 et suivants. îïoas verrons 
bientôt l'usage que nous pourrons faire de ces développe- 
ments. 

Il estfacile.de voir queles sections droites d'une surface 
cylindrique doivent se développer suivant des lignes droites, 
car tous leurs éléments sont perpendiculaires à la généra- 
trice, et dans le développement ils ne cesseot pas, de leur 
être perpendiculaires, et parconsèqueutse déroulent suivant 
une seule et même ligne perpendiculaire à celte génératrice. 

Les développements des sections sphériques d'une surface 



i.vCoogIc 



— 105 — 
coDÎque'sont des circonféreDces de cercle, car ces sections 
ont respectivement tous ieors points situes h égale distance 
du sommet, et dans le développement, ces points viennent 
respectivement se placer sur autant de circonférences' de 
cercle. 

§ i 02. Surfaces réglées; surfacet gauches, définitions, 
plans gauches. — Une surface gauekf- est encore une sur- 
face réglée , c'est-à-dire engendrée par le mouvement d'une 
ligne droite, mais telle que deux génératrices consécutives 
de cette surface ne sont pas situées dans le même plan. 

Il résulte immédiatement de cette définition qu'une sur- 
face gauche n'est pas susceptible d'être appliquée sur un 
plan sans déchirure ni duplicatui%. 

Toute surface gauche peut être engendrée par le mouve- 
ment d'une droite assujettie à glisser sur trois lignes fixes. 
(Géom., page 199, 6* édition). 

L'une' des lignes fixes, ou directrices, peut être remplacée 
par un plan auquel la génératrice devra être parallèle, en 
s'appuyant sur les deux autres lignes. 

Lorsque tes trois directrices sont droites, la génératrice 
décrit une surface'quenousavons définie déjà par une autre 
génération, § 99; c'est l'hyperboloide à une nappe. 

Lorsque la génératrice est assujettie à se mouvoir sur 
deux droites fixes, en restant constamment parallèle à un 
plan , la surface prend le nom de plan gauche , elle est iden- 
tique avec une surface que nous avons déjà définie §99; c'est 
le parabotoïde hyperbolique. 

Ce dernier corps prend son nom de ce qu'il est coupé par 
DQ système de plans suivant des paraboles, et par un autre 
sjstème de plans suivant des hyperboles. 

§ 103. Tangentes et plans tangents aux surfaces courbes, 
définitions. — Une tangente à une surface courbe est une 
droite qui joint deux points de celte surface, inGniment 
voisins. En un point d'une surface il y a donc uneiafinité de 
' tangentes. 

11 résulte de ià que toute langeole à une courbe tracée 



i.,CoogIc 



— 106 — 
sur une surface est tangente à celte surface, et que tonte 
taugeateà une surface en lïn poiat, est tangente à ane coarbe 
plane quelconque dont.le plan passe par ce poiot. 

Un plan tangent à une surface eu ud point est celui qaî 
passe par deux tangentes menées à la surface par ce point. 

On appelle normale, la perpendiculaire menée à un plan 
tangent par son point de contact, et plan normal tout plan 
qui passe par cette ligne. 

Le plan tangent en un point d'une surface est le lieu de 
. toutes les tangentes que l'on peut mener à la surface par 
ce point (Gëom., page 203,' 6° édition). 

D'oîl il suit que pour mener un plan, tangent à une sur- 
face courbe en un point , il suffit de faire deux setnioiu dans 
la surface par ce point, de mener les tangentes à ces deux 
sections par le point donni , et de faire passer un plan par 
ces deux droites. 

De même, /orjfu'unfi courbe résultera de l'intersection de 
deux surfaces, pour trouver la tangenteà la courbe en un 
point , il faudra mener le plan tangent à chacune de ces sur- 
faces par le point donné, et chercher l'intersection de ces 
deux plans; ce sera la tangente demandée, car cette' der- 
nière doit'fitre contenue dans chacun des plans tangents aux 
deux surfaces. 

Quand l'une des deux surfaces sera un plan sécant , la 
tangente à la courbe sera l'interseotîon du plan tangent et 
du plan sécant. , 

§ 104. Intersection de surfaces courbes par des droites , 
par des plans , par d'autres surfaces courbes ; méthodes gé- 
nérales. — Pour trouver les points où une droite rencontre 
une surface courbe , nous employerons un procédé analogue 
à ceux du § 94 ; nous mènerons par cette droite un plan 
qui coupera la surface suivant une ligne, et les points de 
rencontre de cette ligne avec la droite donnée, seront les 
points cherchés. Wous choisirons la sectiwi dont les projec- 
tions sont les plus faciles à construire. 

Pour trouver les points de l'intersection d'une surface 



J,.;,-z.d=",G00gk' 



— 1(»7 — 
paroD-plan, d«us mèneroDS un système de plans qui coupe- 
root la surface donnée suivant des ligites, et le plan donné 
suivant des droites. Ces droites et ces lignes respectivemeat 
silaëesdaDs le même plan se rencontreront, et leurs points 
communs seront nécessairement situés à la fois sur le plan 
donné et sur la surface; donc ils seront des points de la ligne 
d'intersection de la surface courbe par le plan. On choisit 
le système de plans dont les sections dans la surface courbe 
sont les pins simples. 

Pour trouver des points de l'intersection de deux surfaces 
courbes, nous mènerons un système de plans qui couperont 
les surfaces suivant des courbes. Ces oourbes se rencontre- 
ront deux à'deux, et leurs points communs, étant à la fois 
situés sur les deut surfaces , seront des points de leur com- 
mune intersection. On choisit également tes plans qui don- 
nent les sections les plus faciles à construire. 

DES SURFACBS CYLINDRIQUES. 



§ 105. Oe la représentation des surfaces eylindriques. 
Tout plan tangent contient une génératrice. — D'après sa 
définition, § 101, une surface cylindrique sera déterminée, 
lorsqu'on connaitra les projections de la directrice et celle 
de la droite à laquelle la génératrice doit être parallèle , 
-§27.- 

Soient donc abed, a' b"" c'd' les projections de la direc- 
trice, fig. 194, et /"g. /■' g*, celles de la direction de la géné- 
ratrice d'une surface cylindriqoe. Gomme il suffit, pour 
déterminer nne génératrice, de prendre un point f: , A' , sur 
la directrice , et de mener par ce point une parallèle â la 
droite f^ f g', il s'ensuit qu'il sera aisé de trouver autant 
de génératrices qu'on voudra de cette surface, et par suite de 
trouver tn trace de la surface sur le plan H , ou le plan V ; 



by Google 



— 108 — 
car il suffira pour cela de chercher les U-aces des généra- 
trices et de joÎDdre tous les poïDts par nne courbe. Comme 
cette opération peut toujours se faire , quand la sarface est 
doDDée par sa directrice et la direction de sa génératrice , 
nous prendrons souvent pour directrice la trace même de la 
surface sur l'un des plans H ou V. 

Soit abcd la' trace horizontale d'une surface cylindrique, 
ftg. 195. Lorsque cette courbe est fermée-, il est facile de 
trouver les limites des projections horizontales des généra- 
trices et de leurs projections verticales. Itous démontrerons 
pour cela le principe suivant: 

Tout plan langent à ane surface (^Undri^ue en un point , 
contient la génératrice t]ui passe par ce point. En effet, cela 
résulte , § 103 , de ce qu'un plan tangent est déterminé par 
deux tangentes menées à deux sections de la surface par ce 
point. Or, la génératrice peut être l'une de ces sections et 
sa tangente est la génératrice elle-même ; donc cette généra- 
trice est toute entière contenue dans le plan tangent. 

Il suit encore de là que la génératrice située dans le plan 
tangent , perçant le plan H et le plan V sur les tracesde la 
surface, ces deux points sont alors des points de contact , et 
l'on peut leur appliquer la propriété d'un point de contact 
d'une surface, c'est que toute tangente à une coui'be tracée 
sur la siirface par ce point, doit être située dans le plan tan- ' 
gent en ce point. Donc alors , la tangente à la trace de la 
surface au point où la génératrice de contact perce le plan 
H ou le plan V, est contenue dans le plan tangent en ce 
pointl Mais ces tangentes ne peuvent être que les traces du 
plan tangent; donc, 

Les traces d'un plan tangent à une surface cylindrique 
sont tangentes aux traces de cette surface , aux pointa ait la 
génératrice de contact perr.e les plans H et V. 

Maintenant, pour limiter la surface, fig. 195, menons 
deux plans tangents perpendiculaires au plan H; ces plans 
devant contenir une génératrice, et étant verticaux, auront 
chacun leur trace horizontale parallèle à la projection ge de 



i=,GoogIc 



— i09 — 
la direction des gënëratriees , et comnqe de pins , la trace de 
tout plao tangent est tangente à la trace de la surface , pour 
trouver ces traces , il suffira donc de mener à ta courbe 
ab cet des tangentes parallèles à ^ c ,- il est clair que toutes 
\é& génératrices se projetteront entre ces deux traceB^-hori- 
rontatemetit. 

' De même , pour limiter la surface sur le plan V, nous 
mèiieroDS deux plans tangents perpendiculaires au plan V, 
letirs traces hoilzontales seront tes perpendiculaires a a\ h 6' 
à \A. ligne de terre , tangentes à abp.d, et leurs traces ver- 
ticales seront parallèles à la projection g'e' de la généra- 
trice. 

Les génératrices de contact des premiers plans tangents 
sont cq.c^q' et dfc.rf'fc', les génératrices de contact des se- 
conds sont af, a'f et Ap, fc'p'. 

§ 106. Vn point d'une surface cylindrique étant donné 
par Vune de ses projections, trouver l'autre. — Soit h la pro- 
jection horizontale du point fig, 195. D'abord, un point de - 
la surface ne saurait être donné par ses deux projections, car 
deux projections d'un point suffisent pour le déterminer, et 
Vassujètîr â se trouver sur une surface , serait une condition 
de trop. Une seule projection étant doDoée , la perpendicu- 
laire au plan de projection menée par ce point, rencontrera 
la surface en un ou plusieurs points qui satisferont à la con- 
dition donnée. 

Gela posé , si , par le point h , nous faisons passer un plan 
vertical parallèle aux génératrices , ce plan aura pour trace 
horizontale la ligne A. m parallèle a g'c, et il coupera la sur- 
face suivant deux génératrices, qui auront pour projection 
horizontale commune A m, l'une ayant pour trace le point m 
et l'autre le point n. Ces deux génératrices se projetteront 
verticalement, l'une en m' u', '.l'autre en n'v. Or, ta verti- 
cale , élevée par le point h, est comprise dans ce plan , et 
rencontre par conséquent la surface sur les deux gé^iéra- 
tricesm/j, m' v'et nh, n'v. Donc enfin, v ctu' sont les pro- 



>;,l,ZDdbyG00gIC 



— 1 10 — 
jectionà verticales de deux pnots de la surface doat A -e^ la 
projectioD horizontale. ' 

v" étant la projectio» verticale d'un point de la surface. 
On trouTerait également que cette projectioQ correspasd à 
deux points de la surfacs dont k' et li" sont les projections 
. borizoDtales, Pour trouver ces dernières , nous mèneriens 
par v" un plan perpendiculaire au plan Y, et parallèle aux 
génëralrices. Ce plaocouperait la surface suivant deux gé- 
nératrices , dont la projection verticale serait v" t", et les 
projections borisontales t'A' et ih.'\ Ces prt^ectioiis fixent 
la position dos points h' et k" par leur rencontre avec la per- 
pendiculaire v" k' h" à la ligne de terre. 

La même quesUon peut être appliquée à un cylindre droit, 
à base circulaire ou non. Un pareil cylindre , dont l'axe se- 
rait vertical , aurait pour limite horizontale le cercle ou la 
comhe abcd , /îg. I96,et pour limites verticales les deux 
droites «'a", c'c". Un point v en projection verticale cor- 
respond à deux projections faorizontales A', A" ; mais un 
point donné ici par sa projection horizontale h ne serait pas 
déterminé , car tous les points de l'arête A", v v" répondent 
& la question. 

Si la même question était posée pour un cylindre droit à 
base circalaire. dont l'axe fût la ligne déterre, fig, 197, les 
limites de ce cylindre seraient ses propres traces sur les plans 

V et H , c'est-à-dire les deux génératrices cdet ab placées 
à une distance Ae tt égale au rayon du cylindre. Un point 
étant doDDé par sa projection horizontale A, pour déterminer 
l'autre, nous ferons par le point une section perpendiculaire 
à l'axe. Cette section sera un cercle dont le centre est placé . 
sur Taxe en o. Rabattant ce cercle sur le plan H, en le faisant 
tourner autour de son diamètre horizontal , sou centre res- 
tera fixe, et le point donné se rabattra sur A/: perpendi- 
culaire à la charnière (§ -iB, fig- 60). Les points'^ et ft' 
«ont les deux points cherchés rabattus; en relevant le cer- 
cle, ces deux points se trouvent projetés verticalement en 

V et v', tels que vo v= v'o == hk zi- h fc'. Les deux gènè- 



i.vCooglc 



— lli — 
ra(rices qui passent par ces points sont ef, éf et tf, e" f\ 

Si les deux projections d'un point sont données, o^ con- 
çoit facilement la condition pour qu'il soit extérieur ou in- 
térieur à une surface cylindrique , ou bien situé sur elle. Il 
faut que la parallèle aux génératrices menée par ce point ait 
sa trace hors de la trace de la surface , ou dans l'intérieur, 
ou sur la courbe. 

§ 107. Plan tangçnt à une surface cylindrique; trois 
eat. — Un plan tangent à une surface cylindrique sera dé- 
tetmioâ quand on connaîtra le point de contact , car il le 
sera par les deux tangentes menées aux deux sections faites 
par le point dans la surface. 

De même, un plan tangent sera déterminé quand on con- 
naîtra un point extérieur à la surface par lequel il devra 
passer, car ce ppint et la génératrice qui devra être âtuée 
dans le plan , constituent trois conditions , ce qui est néces- 
ssire pour déterminer ua plan. 

Enfin, si un plan tangent est assujéli à être parallèle â une 
droite donnée , il sera encore déterminé , car passer par une 
gèBératrice et être parallèle â une autre droite , constituent 
aussi trois conditions: .. 

D'après cela , 1" soit proposé de mener un plan tangent à 
une surface cylindrique par le point A, fig. 19S, pris sur la 
surface. La projection horinootale A correspondant à deu^E 
points, dont les projections verticales sont v etv', il y aura 
deux plans tangents, l'un qui contiendra la génératrice ab, 
a'b\ et l'autre la génératrice ci, c'6". Ces génératrices per- 
cent ie plaa H, l'une en a, l'autre en c, et les tangentes à la 
. trace de la surface menées par ces points sont les traces bo- 
rizontales des deux plans tangents , § 105. Les traces hori- 
zontalesao, cp, étant menées , il y a plusieurs moyens de 
trouver des points des traces verticales. D'abord, la généra- 
trice située dans chaque plan tangent perce le plaa V sur la 
trace du plan, l'une en 6'^ l'autre en 6". Déplus, le point de 
contact étant iin point du plan , une borizontale meoèo dans 
le plan par ce point; aura sa projection horizontale parallèle 



:, Google 



— 112 — 
à fa Irace horizontale do plan , et sa projection verticale 
sera parallèle k la ligne de terre. La trace de cette ligne pour 
le premier plan est en /;, et la trace de l'autre pour le se- 
cond en /:';cei points sont une première vérification de 
l'exactitude des constrnctions. Pour seconde vèrilicatioD , 
on peni se proposer de trouver l'intersection des deux plans 
tangents ; elle doit être parallèle anx gèDératrices , car ces 
deux plans passent par deux lignes parallèles (72). EùAo , 
les traces des plans tangents doivent Aire tangentes h la trace 
verticale de la surface , râ elle existe sur le dessin, aux points 

2° Soit proposé de mener un plan tangent k nne surface 
cylindrique par un point k, v, flg, 199 , pris hors de la sur- 
face' Ce point devant être situé dans le plan cherché , et ce 
plan devant conleulr une génératrice, une parallèle aux gé- 
nératrices meaëe par ce point devra être contenue dans le 
plan. Cette parallèle est la droite a 6, a' h', et ses traces a et 
b' sont situées sur celles du plan. Or, la trace du plan tan- 
gent dmt être tangente à la base du cylindre; et connue on 
peut mener par le point a deux tangentes à cette base , il y 
aura donc deux plans tangents qui satisferont k la question. 
Leurs traces horizontales maiaie, ao, et leurs traces verti- 
cales passent par b\ et sont. A; 6', o6'. On peut vérifier la 
justesse des constructions en cherchant les traces verticales 
$, et ^', des génératritiee de contact , qui doiv«nt se troavmr 
sur les traces des plans , et métier par le point donné des 
horizontales qui dirivent aussi percer le plan vertical en p 
et;>', également sïir les traces verticales des deox plans. 
Ces traces doivent aussi être tangentes à celle de la surface 
aux points ^ et g'. 

S" Soit proposé de mener un plan tangent à une surface 
cylindrique parallèlenient h une droite donnée ab, a' b' fig. 
200. Par un point quelconque A, v, nous mènerons une 
droite parallèle à la droite donnée, qui est ici etle-mâme, et 
une droite parallèle aux génératrices. Le plan conduit par 
ces deux droites , devra être parallèle au plan tangent cher- 



>;,l,ZDdbyG00gle 



— 113 — 
cbé, car ce plan devant contenir une génératrice, sera aè- 
GÊSsairement parallèle aux autres, et de plus il doit être 
parallèle à la droite ab, a b'. Les traces mn, m' n' de ce 
plan étant dëtermioèes, il ne reste plus qu'à mener one tan- 
gente à la base, parallèlemeot k*nn; cette droite sera la 
trace horizontale du plan tangent chercbé.Et commeoo peut 
mener deux tangentes k la trace du cyliudre parallèles kmn, 
il y aura deux plans qui répondront à la question, tes traces 
verticales se trouveront comme précédemment, soit en cher- 
chant les traces des génératrices de contact ^ soit en menant 
des horizontales par des points situés sur ces génératrices. 

Ce problème est toujours possible dans les trois cas- 

§ 108. Plan tangent au cylindre droit dans t/aelques cas 
particuliers. — Lorsqu'un cylindre droit est vertical, tout 
plan tangent en un point h, v fi^. 20 1 , a sa trace horizon- 
tale tangenteà la base au point k; les plans tangents menés 
par un point extérieur h', v', ont pour traces horizontales 
les deux tangentes k'o, h'o", et sont verticaux. Les plans 
tangents mcQéj parallèlement à la droite ai, a' h', ont leurs 
traces parallèles à ab, et sont tangentes à la base. 

Le cylindre ayant pour axe la ligne de terre ftg. 202 , le 
plan tangent au point h', v ou au point h, v', contiendra la 
tangente à la section droite menée par ce point; faisant cette 
section et rabattant, les points ^ et V,' sont les points decontact 
rabattus. Alors les tangentes menées par ces points à la sec- 
tion sont les droites kt,k*t qui tiercent le plan horizontal fk 
le plan vertical , l'une eu f . et i', l'autre en i et (", Ces points 
appartiennent aux traces des plans tangents, qui sont d'ail- 
leurs parallèles à la ligne âe terre . 

Le point h, v étant extérieur fig. 203, et l'axe du cylin- 
dre dans le plan horizontal en a b, ou fera une section droite 
par ce point, on rabattra le point et la section , le premier 
en k. on mènera les tangentes >(t, ^s , à la section rabattue., 
ôes tangentes ont pour traces t, t', s, s' qui appartiennent 
aux traces des plans tangentscherchès-Ces plans se coupent 
suivant une horizontale, dout les projeclious sont ^f. g'f- 



z.d=,Gob^Ic 



— U4 — 

Eofia, poDf mener le plan tangent parallèlemeat à une 
droite doonée ab.a'b', ftg. 204, l'axe étant la ligne de 
terre, noDS ferons passer-par cette droite un plan ed, c'd' 
parallèle à la ligne de terre. Nous ferons une section droite 
dans le cylindre, nous rabattrons l'intersectioD des deux 
plans et la section, et noas mènerons des tangentes à la sec- 
tion , parallèles à cette intersection rabattae. Ces tangentes 
seront comprises dans les plam tangents parallèles au plan 
cd, cM'.etpar suite, ces derniers seront parallèles à a 6, a' 
b'; ces tangeotes ont leurs traces, l'une en t, t'. l'autre en 
s, b", qui sont des points des traces des plans tangents; ces 
plans sont d'ailleurs parallèles k It. 

On trouvera facilement le moyeu à employer pour mener 
on plan tangent au même cylindre, faisant avec le plan H qd 
angle donné ^^. 205- On mènera la tangente à la section 
rabattue, faisant avec la verticale l'angle donne. 

§ 109. Utilité des plans tangents pour raccorder Us sur- 
faces. — On dit que deux surfaces cylindriques se raccordent 
lorsqu'elles ont un plan tangent commun. Les deux surfaces 
cylindriques de la fig. 206, ont un plan tangent commun, 
suivant la génératrice commune ab, a' b\ On en voit un 
exemple dans la moulure de la fig. 207. 

On peut encore avoir recours au pian tangent pour rac- 
corder deux surfaces cylindriques, ayant leurs génératrices 
parallèles, à l'aide d'une troidème surface, pour raccorder 
les cylindres droits (ifrc, a' b'c', fig, 208, dont ces courbes 
sont les directrices. Nous mènerons un plan tangent à chaque 
point de raccordement c, c' , et une surface cylindrique 
d'une forme donnée tangente à ces. deux plans suivant le« 
génératrices ed, c'd'. 

§ 110. Inlertection d'une surface cylindrique par une 
droite, — Soient a 6, a' 6% 1k projections de la droite donnée 
fig. 209.Par cette droite, nous ferons passer un plan paral- 
lèle aux génératrices § 104 ; ce plan rencontrera la surface 
suivant une ou plusieurs génératrices, et les points de ren- 



Ci.;,l,ZDdbyG00gle 



contre âe ces droites et de ta droite doDoée , seront les points^ 
cberchës. 

cd, cd" sont les traces du plan f g, /"';;', i m, fc'm', les 
génératrices d'intersection et k, v, tC, v, les points de ren- 
contre de la droite a b, a b', et de la surface. 

Si la trace du plau mené par la droite ab, a* b' était tan- 
gente à la base, cette droite serait elle-mèine tangente à la 
surface; si elle ne rencontrait pas la base, la droite elle- 
même ne rencontrerait pas la surrace cylindrique. La droite 
p q, p" q' est tangente au cylindre au point o, o*, et la droite 
xy, X y\ ne rencontre pas le cylindre. 

§ i\i. Intersection (Cane surface cylindrique par un plan, 
tangente, rabattement et développement , — SoilAoh le plau 
sécant, /cg. 2 10. En se reportant encore à ta méthode générale 
du g 104, les sections les plus simples à faire dans une surface 
cylindrique, sont celles faites par des plans parallèles aux 
génératrices. Pfous mènerons donc , ici par exemple , des 
plans verticaux parallèles aux génératrices; ces plans ren- 
contreront |e plan donné suivant des droites et la surface 
stiivant des génératrices. Ces droites et ces génératrices au 
ront pour points de rencontre, des points de la courbe d'in- 
tersection. 

Ud de ces plans verticaux, comme a /». fig. 210, coupe la 
surface suivant les droites a 6, ab', etcb, e' b"; il coupe iè 
plao doaoÉ ^0&, suivant la droite ai, m' n.': cette droite 
rencontre alf, a'b', et ob,i:' 6" aux points m, ni'et n, n', 
qui sont des pointa de la courbe. 

Une génératrice limite comme c' b", de la projection ver- 
ticale, sera une tangoite à la courbe au point n', car la tan- 
gente étant l'intersection du plan tangent et du. plan sécant^ 
§ 103. le plan tangent en ce point est perpendiculaire au 
plan V, et la tangente se projette sur sa trace verticale; de 
même p 9 est la projection horizontale de la tangente a 1% 
courbe au point x, x'. 

En menant quelques tangentes en despoiuts de la courbe, 



bvGoogîc 



— 116 — 
OQ parviendra plus aisément à en délermioer ta véritable 
forme. 

Pour mener uoe tangente au point quelconque m ^ m', 
Doos mènerons le plan tangent ak, suivant la généra- - 
trice a m, et l'intersection k m, h' m' de ce plan, avec le plan 
coupant, est la tangente demandée § 103. 

Four limiter la projection verticale par des tangentes pa- 
rallèles à la ligne de terre, il faudra chercher évidemment 
celles qui sont horizontales. Or, ces dernières auront leurs 
projections horizontales parallèles à o^, et aux traces des 
plans tangents qui les contiennent; donc les tangentes ts, r^, 
à la trace delà surface, menées parallèlement âo^^sont les 
traces de ces plans tangents, et les intersections de ces plans 
avec ko h donnent les tangentes demandées de, d'e'et fg, 

rs-- 

Les tangentes parallèles an plan V, dont tes projections 
horizontales seraient parallèles à la ligue de terre, se trouve- 
raient d'une manière analogue , si l'on déterminait la trace 
de la surface sur le plan V. 

On peut remarquer, pour la facilité des opérations, que les 
plans auxiliaires sont tous parallèles entre eux, et que, con- 
sèquemment, leurs intersections par le plan coupant sont 
également parallèles. 

La grandeur naturelle de cette courbe dans sooplan, 
s'obtiendrait en faisant tourner le plan sécant autour d'une 
de ses traces, et rabattant chaque point de la courbe par ta 

méthode connue. On obtiendrait ainsi la courbe m'' n" 

une tangente nth, m' k', devient dans ce rabattement m" j, 
puisque le pmnt k reste fixe. 

Lorsqu'on veut tracer la courbe sur la Hirrace du cylindre 
exécuté en relief, il fatit, com^ie il est dU au §36 pour les 
polyèdres, obtenir le développement de lasturfacecyliudri- 
que,et le tracè,dans ce dévaloppemen[,de la courbe d'inter- 
section par le plan donné. Cette opération entraîne aussi, 
comme au paragraphe cité, la recherche de la aeetiox. droite, 
c'est-à-dire de la section faite par un plan perpendiculaire 



i.,Cot_'>gIc 



_ 117 — 
auK génératrices. Cette aectioo élaat obtenue par ses pro- 
JéctioBS, pour avoir son développemeat , il faut od conoaltre 
la grandeur véritable ou le rabattemeot. lie dëveloppemeot 
SB fait en partageant cette dernière courbe en éléments 
qa'oQ porte àla ^uite les uns des autres sur une ligne droite. 
Parcliaque point de division , on élève une perpendiculaire 
4 cette. ligne droite , et l'on porte sur cette perpendiculaire 
une longneur égale à la portion de la génératrice corres- 
pondant^ de la surface , Gomprise entre la section droite et 
la courbe donnée. 

Il existe une manière de disposer les donnas, mus altérer 
la position relative de la surface et du pLau sécant , qui sim- 
plifie beaucoup les opérations. D'abord, comme les plans de 
prejectlon sont au choix de l'opèratenr, ou peut prepdr« te 
plan vertical perpendiculaire au plan donné, et dans ce cas, 
ia projection vertical? de la courbe d'intersection sera-uoe 
ligne droite sur ce plan , ce qui dispense déjà ds construire 
deux courbes pour les projections. De plus, cette disposition 
donne immédiatement sur la figure les distances des pointu 
d9 la qourbe à. la cbamière dans le rabattement du plan «ë- 
çant, car ces distances sont celles des projections borîRon- 
tales à la ligo? de terrç. 

^nfin^ si en prenant le plan vertical perpendiculaire au 
plan coupant, on le prend également parallèle aux généra- 
trices, ces dernières se trouveront projetées en vrai? gran- 
deur sur ce plan , et dans la recherche du dèvelopp^fBMt . 
on n'aura pas à déterminer la grandeur de ces gènâratricas> 

Toutes ces dispositions sont frises sur la fig. 211-, où la 
cylindre et le plan sécant ont la posiU^n relative de la fig. 
310. Unplan ai parallèle aux génératrices et vertical, coupfi 
lasurface suivant deux gènératricasafr, a'b', cit. d'b' etie 
plan donné kok. suivant une droite, dont la projection ver- 
ticale est ohf et la projection iwrizontale ab. Ces lignes se 
coupent au point m', m et n\ n , qui sont des points de la 
courbe d'intersection de la. surface et du plan. Autrement, 
't'dfesl un plau parallèle aux génératrices et perpendîcu- 



>;,l,ZDdbyG00gIC 



— 118 — 
- laireau plan V, qai coape )a surface suîvanj rf/", d'f.iif, 
d"f', et le plan suivant la droite p, /^'/i"- Ces droites ss 
coupent aux points p, p' et p, p'\ qui sont des points de la 
courbe cherchée. On déterminera les points x, v, pour les- 
qneis les tangentes sont parallèles à la ligne de terre, 'et les 
points^ et s, pour lesquels les tangentes sont perpendicu- 
laires à la même ligne. La tangente en un point quelconque 
nse trouvera en menant la génératrice cfr dU point n et le 
plan tangente!. L'intersection tndu plan tangent et du plan 
sécant sera la tangente; 

Un point qaetconque ■n,n', se rabat en n", tel' qiie n* 
n'^ ^ng, La tangente se rabat en t'n", car te point r de- 
vient t\ Les tangentes en j et z, se rabattent my'y"e\. s' 
:", perpendiculairement à ho; les tangentes en k, x*, se ra- 
battent parallèlement à Atf. Pour avoir le développement de la 
courbe n" v" y" -m" x^' z" , qui se trouve être ici ta section 
droite, nous prendrons les éléments î"n", n"v", w" j"...., 
et nous )es porterons sur la ligne droite ho, par exemple. 
Par les points ='", »'" ti '"..., ; nous mènerons des perpen- 
diculaires à Ao , et nous porterons sur ces perpendiculaire? 

les dislances respectives m,m', n, n' des points ^e la 

section quelconque ^r à la section droite. Les points 
5", n",v".... ainsi déterminés, seront des points du dévelop- 
pement de la section 7 r. Il est clair qu'on pourrait obtenir de 
la même manière, le développement de la trace ad'cin. 
cylindre en portant les distances a' m*, c'n'... sur les généra- 
trices correspondantes, à partir de la section droite, on ob- 
tiendra ainsi la courbe A D G P. 

Si la figure était faite, et qu'on ne pût pas cboi^r les plans 
de projection, on projetterait le cylindre sur un plan paral- 
lèle aux génératrices perpendicnlaîre au plan H par exem- 
ple, et l'on exécuterait les constructions comme il vient 
d'être dit. Soit uv u le plan sécant fig. 210, et Att' le nou- 
veau plan de projection. Une génératrice « A de la surface 
projetée sur-le plan, serait A B, telle que c" m" = c' m'. La 
trace du plan coupant sor ce nouveau plan serait n' u", telle 



3,q,l,ZDdbvG00gIC 



— 119 — . 

que i' u"=i u. tJn poÎDt quelconque M de la coarbe se projet- 
tera sur ce nouveau plan enRI", tel queC" M"=G'M'. Cette 
protection obtenue, il n'est pas nécessaire de ta tracer; les 
distances de ses poiats à la trace o' k' du plan de la section 
droite, seront les véritables grandeurs deS' portions de gé- 
bëratrices comprises entre la court»e donnée, dont le piMi 
est u vu*, et la section droite dont le plan est /toA, Sur la 
ligne /l'o', on portera donc les éléments delà section droite, 
puis , on portera sur les perpendiculaires à h' 0' menées par 
les points de division , des grandeurs égales aox portions 
de génératrices comprises entre h' o' et les projections sur 
A u' des points respectifs de la courbe ; ainsi , dans ce déve- 
loppement, M devient M", et M devient I^", s'il s'agissait 
de développer la trace de la surface, il faudrait porter les 
distances comme AB de la ligne A u' à la trace o'k' dp 
plan de la section droite. On obtient aîn^ VQh pour la . 
base développée , comme on a obtenu X Y Z pour la section 

§ 112. Interaection d'un cylindre droit par unplanobii- 
qve. Projection oblique du trono. — Oo peut encore amplifier 
ces opérations pins que nous ne venoua de le faire, si l'on est 
libre .de choisir les plans de projection; car, si noQS prenons 
pour plan borizontal un plan perpendiculaire aux généra- 
tricesy toute section se projettera sur la iiase; si de plus nous 
prenons pour plan vertical un plan perpradiculaire au plan 
coupant , la projection verticale de la section sera une ligne 
'droite. On sera donc totalement dispensé ici de construire 
les protections de la section. 

Soiïabed, ftg. 212, la trace de la surface dont les géné- 
ratrices sont. verticales. Soit kok le plan coupant perpen- 
diculaire au plan V. a&c(ieta'c' sont les projections.de- la, 
section, a"b"c"d" en est le rabattement, mais it est inu- 
tile pour le développement; La section droite asl abc d, dont 
le développement est eu P QR S. Portant a'p de P en A, b'' 9 
de Q en B, et ainsi de suite, bn obtient A BG D pour la courbe 
abod, ac', développée. 



i.vCoogIc 



— 420 — 

Pour obleoir la projecliou oblique du tronc , nous met- 
Iroos la base eu projectioD oblique par la méthode ordi- 
aatre, ea projetant ohacuB de ses points , ce qui dooaera la 
enurbfl a'b''c'd\ fig. 213. hea génératrices .limites vertU 
cales s'obtiendront en menant à la projection borizontale 
aAad des tangentes parallèles à la projection borizontale de 
la ligne projetante qui , soqs l'avoQs vu , § 57, e^t l'bypo- 
thiouse d'an triangle dont 1 et 2 sont \es côtés, i pris sur la 
UgB« de terre et 2 «ir une perpendiculaire à celle ligne, les 
poîDtB de contact déterminent les génératrices cherchées. 
Ces génératrices obtenues, on cherchera les i>rojeGtioRS obli- 
ques de leurs extrémités, et l'on achèvera ia courbe supé- 
rieure par les moyens connus. 

§ 113. Eàicuter en relief une surface cylindrique el ses 
diverses sections. — S'il s'agissait d'exécuter en relief la 
, uirfacede I3 figure 210, ou taillerait un prisme droit sur la 
base duquel on traferait la sectioD droite du cyliadre 
dans sa grandeur rabattue. On exécuterait alors le cylindre 
drcdt dont cette section droite serait la base, puis on enrou- 
lerait aatour du cylindre le développement de la ftg. 210 
«1 ayant soin de faire coïncider la ligue 0' h' avec la base 
du cylindre, et Ton tracerait sur le coptour de celui-ci les 
flgures affeclées par les développements dans cet enroule- 
ment. On aurait alusi les sections dont il a été question , 
tracées snr la sarface oyKndnque. Il ne resterait plus qu'à 
couper le cylindre suivant ces conrbes. . 

§ 114. Intersection, de doux surfaces cjiinérifjties , tan- 
gente et développement , projection oblique. — La méthode 
générale doBnée, § 1 04, nous conduit à mener des plans qui 
eonpent lesdeui surfaces suivant des génératrices. Les points 
de rencontre de ces génératrices donnent des pointa da la 
courbe d'intersection des deus surfaces. 

Oo mènera donc par uu point donné H , V, fig. 214, une 
parallèle à la génératrice de chacune des surfaces. Le plan 
ai déterminé par ces deux droites est parallèle aux généra- 
trices des deux cylindres , et , s'il lus coupe tous deux , les 



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— 121 — 
génératrices d'intersection doaaerootdei) points ilelacourtie. 
La trace a b reocootrant les deox bases , le plan a b coope 
les deuï cylindres , les génératrices d'interieclion se ren- 
contrent aux points d,e,f,g, d\e\ f.g'. qui sont des 
pcrints de la courbe cfaercbée. 

Il est clair que la limite des ptaos qui donneront des points 
de la courbe sera obtenue en ni«iant aux bases des tangentes 
parallèles kab. Ici ces tangentes compreDnent la petite base 
et rencootreot la grande, donc tooles Tes génératrices. du 
petit cylindre rencontrent le grand. On ^t , dans ce cas, 
qu'il y a pénétration , et il existe alors denx coarbes , l'ane 
d'enirde et l'autre de ror-tte,- 11 j & arrachement , lorsqu'ane 
partie seuleineitt de l'une des surfaces rencontre l'autre , et 
l'on s'en aperçoit , lofst|De les deux tangentes parallèles a 
a 6 à l'une des bases ne reneonlreot pas toutes deux l'autre 
base. C'est le cas de la fig. 215, où les tangentes, à l'aoe et 
l'autre base, ne rencontrent pas l'aatre toutes deux h la fols. 
La courbe est alors unique. 

On s'assure donc s'il y a pénétration on arrachement , en 
menant des tangentes aux bises parallties à la trace du plan 
mené lui-même parallèlement aux génératrices des deux 
cylindres. Si les deux langMitK à la même baie rencontrent 
l'autre, il y a pénétration; si les deax tangentes à l'une des 
basas ne rencontrent pas l'autre à la fois, il y a arrache* 
ment. 

Des poÎDis importants à déterminer sont ceux auxquels 
donnent lieu les plans limites a' b',a"-b", fig. 214- et SIS- 
D'abord ces plans sont tangents à la sarface , à la trace de 
laqnelle leurs propres traces sont tangentes; car, ayant leurs 
traces tangentes à la l>ase , ils sont de plus parallèles aux 
génératrices , et par conséquent en conlienDent une , celle du 
point de contact de lesr trace et de la base. Ces plans sont 
donc tangents à la surface. De plus , prouvons ^u'iU coupent 
l'autre surface auivant de» génératrice» qui sont des tangen- 
tes à ta courbe ckerchée. En effet , pour déterminer les 1911- 
gentes aux points donnés par ces génératrices, il faudrait, 



i.vCoogIc 



_ 122 — 
§ 103, mener le pian langent à chacune des surfaces et trou- 
ver l'interseclion de ces deux plans. Or, le plan tangent à 
l'une d'elles étant a' b' par exemple , ce plan coupe l'autre 
fioivant ckyn'k'.ei le pian langent suivant cette decniêre 
.'génératrice la contiendrait ; son intersection avec a'b', se- 
rait donc celte génératrice elle-même. Donc enfin cjt, c'k''est 
une tangente à la courbe. On en dirait autant des généra- ' 
trices AB, CD, EF, A'B'.... 

Enfin on détermUiera aussi de préférence les points don- 
nés par les plans qui passent par les génératrices extrêmes 
des deax surfaces. Les tangentes en ces points auront les gé- 
nératrices extrêmes de la projection horizontale pour pro- 
jections horizontales, et d'autres auront les génératrices ex- 
trêmes de la projection verticale ponr projections verticales; 
car les plans tangents à l'une des surfaces sont alors, ou 
perpendiculaires au plan H , ou perpendiculaires au plan V. 
Ainsi, fig. 214, Im, no, pg, sont tangentes à la projection 
horizontale de la courbe, mais ^' m', n'o'.p'tf, nesontpas 
tangentes à la projection verticale. Au contraire r'j% t'v', 
u' a;\j' z, sont tangentes À la projection verticale, et r s, tvi 
ucc, ^ s ne le sont pas à la projection horizontale. 

Dm tangente en un point qoeleonque M, M' se détermi- 
nera à l'aide ^es deux plans tangents aux deux surfaces 
menés par les génératrices qui passent' par ce point, en 
cherchant l'intersection de ces deux plans. 

Pour exécuter ces intersections en relief, il est encore 
nécessaire de faire le développement des surfaces-, et d'y 
rapporter les courbes d'intersection. Ce développement 
étant eBectuë ici , on obtient la fig, 214 bis ponr la /tg. 214 
et \afig. 215 bis pour la fig. 215. 

Pour obtenir la projection oblique, on peut, s'y prendre 
de deux manières : Chercher directement la projection 
oblique de la courbe, à l'aide de ses projections orthogonales, 
ou, les projections obliques des deux cylindres étant trou- 
vées, fig. 215 ter, déterminer la projection oblique de la 
trace de l'un des plans a6, ab\,., cette trace AB étant 



i.vCoogIc 



— i2S — 
Iroqréfl, oq mènera des paraltètes A^B', A"B"..., à cetti; 
trace, qui coopeFont les cylindres suïvaot des génél-atrices 
qui donneront des points de la courbe en projectiOD oblique. 

Pour le tracé des fig. 214, 215, ou se rappellera la con- 
vKition établie § 33. Tout point vu comme g, g% sera l'in- 
tersection de deux génératrices vues. Tout point caché 
comme 19,91' ou d, d' sera l'intersection de deux génératri- 
ces cachées, ou d'une vue et d'une cachée. Il est bien en- 
tendu que les génératrices vues de la projection vecticale 
ne sont pas les mêmes que les génératrices vues de la projec- 
tion horizontale. Les parties vues delà projection. horizon- 
tale, fig. 214, sont A, cp, tm,- les parties vues de la pro- 
jection verticale sont rltupy. 

§ 115. Cas auquel onpeut ran}6ner l'interseetion de deux . 
eyiindreaquelconquies. Intersection de deux cylindre» droits. 
Chapeau de palier, tuyaux. — Le choix des plans de pro- 
jection étant permis, on pourra simplifier l'épure, en pre- 
' nant pour plan horizontal an plan perpendicalaîre aax 
^Qëratrïces de l'une des surfaces , et pour plan vertical un 
pian parallèle aux génératrices de la seconde. Les construc- 
tions s'effectueront d^ailleurs comme il vient d'être dit. Les 
plans auxiliaires db... seront ici parallèles au plan V, 
fig. 216. 

Mous pouvons maintenant compléter ce qui restait d'im- 
, parfait dans la projection oblique du chapeau de palier de la 
fig. 101. Le cylindre horizontal ikl. t'A' Test surmonté d'un 
cylindre vertical dont il faut chercher Tintersection avec 
le premier, pour mettre ensuite cette courbe eu projection 
oblique. Les projections orthogonales de cette înlersection 
sont les bases elle-mémes des deux cylindres, fig. 216 bis. 
Pour mettre cette courbe en projection oblique, nous pro- 
jetterons d'alktrd obliquement les arcs verticaux i k l. i'k'C 
en IKL,rK'L'j puis, divisante en parties égales, nous 
diviseroDsIKL en un mémejnombrede parties, et nous pren- 
drons PQ=|;r9, MIX^ ^mn.... nous auroDsainsi la pro- 
jection oblique de tous les points de la courbe d'inlersectioD. 



>;,l,ZDdbyG00gIC 



_ 124 — 

he mèaie genre d'intersection se présente toDjours dans 
la rencontre des tuyanx de conduite , à angle droit. Poar en 
exécuter les modèles, on chercbe l'intersection, on la dé- 
veloppe sur chacun des cylindres , et on la trace sar cliacuo 
d'eux à l'aide de ces développements, il ne reste plus qu'à 
appliquer l'outil pour achever de les assenibier. 

§ 116. Det'fUtice, définition, construction, tangente. 
— On appelle A^ùe une courbe tracée sur un cylindre, et 
engendrée par an point qui s'élève , dans le sens de la géné- 
ratrice, d'une quantité proportionnelle à l'arc parcouru anr 
la section droite. 

' On verra bientôt , comme conséquence de cette déânition, 
que les éléments d'une hélice font avec la génératrice oa 
angle constant. 

Construisons l'hèllce d'après sa définition. Soit 12 3.... 
ifig. 217), le cylindre donné, que nous supposerons droit, 
et & base circulaire. Le point o étant le pinnt décrivant , 
«apposons qu'il e'élève de la quantité o'o" pendant qu'il 
parcourt la section droite. Gomme il s'éiève d'une quantité 
proportionnelle à l'axa parcouru sar cette section; il s'en 
suit que si l'on divÎBe la base en 8 parties égales, par ex«m- 
ple , ainsi que la ligne o' o", pour avoir la position du point 
décrivant, lorsqu'il se sera élevé de ~ de o'o", il suffira de 
prendra-la géniralrice 1, et de chercher sa rencontre avec 
l'horizontale m«fDée &£^' de o, ce qui d<Hinera le point 1'. . 
Pour trouver le point 2', on mène la génératrice 2 et l'ho- 
rizontale à f de o^o" du point o', et ainsi de suita. Lorsque 
le point décrivant aura achevé la circonférence entière il 
sera revenu sur la même génératrice. 

La ligne o'o" dont s'élève le point décrivant, lorsqu'U a 
achevé une révolution complète autour dn cylindre, se 
nomme Pas de Vhélice. La portion de courbe o'4'o" de 
l'hélice indéfinie se nomme Spire. 

Si l'on développe le cylindre et l'hélice qui ett Iracèesur 
lui , la circonrérence se déroule suivant o' a, et ses points dt 
divisions en 1, 2, 3..... les génératrices de ces points do di< 



>;,l,ZDdbyG00gIC 



— 125 — 
vI^oD sont pérpendiciilaires à c'a, et pour avoir les posi- 

HoBs des poÏDts if 2, 3 1', 2', y,.... de l'hélice daos le 

développement, il suffit de prendre sar le développement. 
des génératrices , des quantités respectivement égales 

à i, f, f, deo'o". La sérié des points 1", 2", 3" ainsi 

déterminés, constitue le développement de rhëlice. Or, les 
quantités 0' 1, 0' 2, 0' 3,.... étant proportionnelles à 

1 1", 2 2", 3 3", cette propriété appartient à une ligne 

droite. Donc tous les points i", 2", 3",.— sont en ligne 
droite; et comme le développement ne change rien à la si- 
tuation des éléments de la courbe par rapport aux généra- 
trices, on peut donc dire,qQe : 

Toos les éléments de l'faélice font avec ta génératrice un 
ingle constant. . 

Od' peut, de ce développement, tirer un moyen, pins 
conamode pour le (racé , de construire la courbe. Gomme la 
question est résolue , quand on a trouvé les horizontales qui 
passent par les poiotii de division de a'0", on remarque 
d'abord que ces horizontales seront les mêmes, soit qu'on 
prenne c'a égale à la circonférence rectifiée de la section 
droi te , et qu'on divise o' a ou o' A en 8 parties égales ; soit 
qu'on prenne une ligne quelconque o'4, et qu'on divise 4c 
ou o'c en 8 parties égales ; et, comme il sera plus facile de 
diviser la plus grande ligne tf'c en 8 parties égales queo'4, 
OD déduit de là cette nouvelle construction de l'hélice : Sur 
la ligne o' a, on prendra une grandeur queicoitque o'4,à 
l'extrémité de laquelle on portera 4c égale au pas; on 
jfnndra o'e, et l'on divisera cette ligne en 8 parties égales. 
Par les points de division , on mènera des horizontales qui 
couperont les génératrices de même numéro aux points i', 
2', 3',.... de l'hélice. 

La tangente à une courbe étant le prolongement de l'un 
deseséléments, il est aisé de voir que te développement de 
la tangente se confond avec la courbe développée. La tan- 
gente à l'hélice en un point 3', par exemple, est donc l'iiy- 
pothénuse du triangle rectangle 0' 3 3", et comme elle est 
9 



:,.;,l,ZDdbyG00gle 



— 126 — 
comprise dai» le [dan taogeat mené suivant la généralrke 3« 
elle aura pour projecUoD horizontale la trace de ce plan. Le 
point où elle perce le plan H est évidemment éloigoé du 
point 3 de l'arc rectifié 01 2 3; si donc, on porte cet arc 
sur la trace du plan, od aura le point t pour trace ho- 
rizontale de cette tangente, La projection t' de ce point sur 
la ligne de terre, détermine avec 3 la projectioa verticale 
de celte tangente. 

Avec un peu d'attention, ou doit remarquer que les pmttls 
tels que t -, traces horizontales des différenles tangentes à 
l'hélice, appartiennent à ta développante du cercle 0,1,2,3, 
de sorte que , si cette courbe était tracée . son intersection 
avec la tangente au cercle, menée en un point 7, détermine* 
raitla trace horizontale de la langenta à l'hélice au poiDt 
situé sur la génératrice 7. 

On appelle hélices parallèles , des hélices de même pas , 
tracées sur le même cylindre , telles que les hélices de la 
fig. 218. Pour construire la deuxième avec la première, 
' sans passer par la construction générale, il est clair qu'il 
suffit de porter ta hauteur constante qui les sépare sur toutes 
les génératrices des points de division, à partir de la première 
courbe. 

On appelle kéliees coneentrifjuet les hélices de même pas 
qui sont tracées sur des cylindres difTérents ayant même axe. 
Telles sont les hélices de la fig. 219. Pour construire l'hé- 
lice du cylindre intérieur, on se sert des mêmes horizon- 
tales qnî ont servi à trouver celle du cylindre extérieur, on 
inversement. Ces hélices sont diCTëreaiment inclinées , car 
le pas est le même et les circonférences parcourues diOë- 
rentes. 

§ 1 17. Surface gauche hélicoide ; définition , construc- 
tion. ■ — Les vis étant composées de surfaces qui dérivent 
de l'hélice , nous donnerans ce qui a rapport à ces sortes de 
surfaces, quoique leur description appartienne aux surfaces 
gauches. 

On appelle surface gauche hélicoide ijne surface engen- 



>;,l,ZDdbyG00gIC 



drée par uae droite assujétie à suivre les cootoars d'one 
hélice tracée sur un cytindre , et à rencontrer l'axe do cy- 
lindre sous UD angle constant. Supposons l'axe du cylindre 
vertical, fig, 220, et la droite a b, a' 6' horizontale, celle qui 
doit engendrer la surface. Dans son mouvement , les extré- 
mités décriront deux hélices concentriques, et pour avoir la 
position d'une génératrice quelconque, c d, a' d', il suffira de 
joindre deux points c, c' et A, tV des deux hélices , situés sur 
des génératrices de même rang. 

Cette surface ainsi limitée peut se nomioer Mae bande 
hUicoïde, Si la droite est verticale , /(^. 221 , la surface en- 
gendrée ou la bande hélicoMeest simplement une partie de la 
surface cylindrique comprise entre deux hélices paraliëleâ. 

Lorsque la droite a b, a' b' est quelconque , fig- 222 , le 
point b, b' étant assujéti à suivre les contours de l'hélice 
tracée sur le cylindre o'6', le peint a, dans le même mou- 
vement , en décrit une autre sur le cylindre de rayon a'o'; 
car le point b restant à la même distance de l'axe, ]e point a 
n'en change pas non plu^ De plus, le point b s'élevaot d'une 
quantité proportionnelle à l'arc horiztHital parcouru par ce 
point , le point a s'élèvera égalenimt et en même temps de 
la même quantité. Donc, il décrira nne hélice de même pas 
que la première. Cela posé , ayant tracé ces deux hélices 
pour avoir une génératrice quelconque de la surftice héli- 
coïde , il suffit de joindre deux points c, c', d.d' de ces hé- 
lices, Mtués sur des géiiératrices qui se correspondent. 

Il est à remarquer que les points 1, 2,3..., oùles généra- 
trices coupent l'axe , sont également distanls , car ce point 
de la droite doit s'élever, comme tous les autres, de la même 
quantité pour le même arc parcouru. Cette quantité doit 
être une fraction du pas, égale à la fraction de circonférence 
parcourue. 

§ 118. ^W ; fîtet ; via à (tlet q uadr annulai re , à filet 
ifiangulaire , à filet carré. ■ — Une vis est composée d'un 
cylindre sur lequel est en saillie un corps engendré par une 
figure plane géométrique quelconque, située dans le plan de 



3,q,l,ZDdbvG00gk' 



— 128 — 
l'axe , et qnî se meut en suivaDt les contours d'une hélice , 
fig. 223, 226. La partie saillante porte le nom de fiUt. et le 
cylindre celui de noyau de la vis. 

La vis prend le nom de la figure qui a engendre le filet. 
Ainsi, OD dit via à filet quadrangalatre celle dont le filet est 
engendré par un rectangle, fig. 223, et vu à filet triangw 
taire celle qui est engendrée par un triangle , fig. 226. On 
dit aussi vis quadr angulaire , via triangulaire , vit 
àarrée. 

§ lt9. Projectiona d'une vil quadrangulaire , pas de ta 
vis. Via aimpU, via double; leur uaage, — Soit a A cd, a' 6', 
fig. 223, le carré destiné à engendrer le filet de la vis sur le 
noyau de rayon b' o\ On voit clairement que les deux côtés 
ab,çd, eogendreut cbacua une bande tiélicoïde du genre de 
celle de la fîg, 220 , et les deux côtés ac, bd, deux bandes 
analogues à celle delà fig. 221, Le filet est compris sous ce» 
quatre bandes. 

On a coutume de représenter les vis par les projections 
des arêtes courbes des filels; on pourrait le faire par les 
projections du profil générateur, comme on le voit dans une 
partie du filet, où gk est la projection borizontaledu pro- 
fil, et g' K" g' A' la projection verticale. Les hélices a, c'„. sont 

les hélices extérieures de la vis , les hélices b,.d' sont les 

hélices intérieures. Les premières sont moins inclinées que 
les secondes. L'hélice moyenne est celle qui est tracée sur le 
cylindre de rayon moyen ; elle a une pente moyenne entre 
les hélices extérieure et intérieure, LV/taûseur du filet est 
c'iC' mesurée parallèlement à l'axe. La aaiiUe du filet est 
c' d' et le vide du filet est bd\ 

Le paa de la vis est le pas même des hélices construites. 
Lorsque le vide est la moitié du pas , la vis est dite aîmple. 
Dans les vis carrées , le vide est presque toujours égal à la 
saillie. Lorsque te pas est égal k quatre fois la saillie, la vis 
est dite double ou à deux filets. C'est le cas de la fig. 224 ; 
on a intercalé dans le pas a a", qui est le même que le précé- 
dent, un second filet; dans ce pas, il y a deux vid^ et deux 



3,q,l,ZDdbvG00gIe 



— 129 — 
épaisseurs. Les profils de iépart cdef, bghi des SIets sont 
diamétralement opposés. 

La vis est triple ou à trois fileta, quand le pas est égal à 
six fois l'épaisseur. Dans ce cas, il y a trois filets daas le pas 
et trois vides, fig. 225. 

On construit des vis à deux, trois, filets, quand le pas de- 
vant avoir une grandeur déterminée, l'épaisseur du filet se- 
rait trop grande, en faisant la vis simple, eu égard à la résis- 
tance que ce'filet doit supporter. 

§ 120. Projections d'une vit triangulaira. — Soit abc, 
a'c", fig. 226 , le triangle destiné à engendrer le filet de la 
vis sur le noyau de rayon o' c\ Ici la surface du filet te com- 
pose de ^eox bandes hélicoïdales du genre de celle de la 
fis- 222. 

Pour représenter la vis triangulaire en projections , on 
peut , comme au paragraphe précédent , déterminer un 
grand nombre de .positions du profil abc, comme on l'a fait 
dans le filet a" d". On se contente souvent de projeter les 
hélices intérieures ck, c"k"..., et les hélices extérieures ad, 
a"d"...; puis on joint les points a, c, a"c".... 

GeUemaniere.de procéder ne donne pas précisément le 
contour apparent des bords de la vis, mais ce contour est 
senùblement en ligne droite. Sa recherche rigoureuse nous 
conduirait beaucoup plus loin que ne le comportent cesélé- 
menls. 

Le profil générateur est en général un triangle isocèle 
dont les dimensions dépendent de la nature de la matière de 
la vis. Dans les grosses vis en bois , le triangle a 6 c est rec- 
tangle en a, dans les vis moyennes en bois dur, il est équila- 
téral. 

La vis simple est celle dont le pas a a" est égal à la base 
bc du triangle générateur. La vis double r le pas double 
de bc, comme on le voit fig. 227; la vis triple a le pas - 
triple de bc, comme fig. 228. 

§ 121. Ecrou , définition , construction. Projections 
cbtiquet des vis. Moyen rapide de construire les projections 



i=,GoogIc 



_ 130 — 
des courbes. — LVcrou d'une vis est uoe pièce dont la figure 
forme en creux celle de la vis en plein. Four compreodre sa 
forme, il suffît de supposer un cylindre creux du mËme diâ; 
mètre que le noj'au de la vis; alors si l'on fait mouvoir le 
profil générateur autour de ce cylindre creux , et suivant 
l'hélice y il tracera dans la partie pleine une empreinte qui 
offrira en creux la même surface que le filet forme en re- 
lief. 

Un écrou doit embrasser aa moins trois spires de la vis. 

L'art de confeclionner les vis et les écrous est du ressort 
de renseignement pratique de l'Ëcole , nous ne nous y arrê- 
terons pas. 

Pour obtenir la projection oblique d'une vis, on mettra les 
cylindres iotérieur et extérieur en projection oblique , ainsi 
que leurs points de division , ce qui donnera les génératrices 
qui servent au (racé des hélices ; puis, comme les distances 
verticales ne changent pas dans cette projection , on sera 
donc conduit aux mêmes opérations qui servent à déterminer 
les projections orthogonales. 

Pour exécuter plus rapidement le dessin , soit d'une pro- 
jection orthogonale, soit d'une projection oblique, de vis, on 
peut se contenter de décrire une hélice intérieure et une bè- 
)ice extérieure, puis de découper des calibres qui serviront 
à tracer les autres : une deteii-hélice peut encore servir, car 
il suffit de la retourner pour tracer l'autre moitié. 

Les fig. SS3 bis et 326 bis présentent les projections obli- 
ques des vis dessinées, fig. 223 et 226 en projection orthogo- 
nale. 

§ 122. Coupe de la vU et de son écrou par un plan. — 
Pour trouver l'intersection d'une vis par »n plan, il faut 
chercher l'intersection de toutes les génératrices par ce plan. 
Soit la vis de la fig. 226 eld"v" le plan coupant horizontal, 
on obtient pour coupe horizontale la fig. 229. 

La coupe horizontale de la fig. 223 faite suivant g' k* est 
la fig. 230. 

On obtiendrait de la même manière la coupe par un plaa 



:,.;,l,ZDdbyG00gle 



— 131 — 
vertical passant par l'axe ; èea coupes sont obleaues fig. 23 1 
et 233. 

§ 123. Des escaliers. — La plupart des escaliers tour- 
nants sont des cooitHoaisons de surfaces hëlicoïdes avec le 
plan. 

Dans un édifice, renceinte réservée à l'escalier se oomme 
cai;e. Elle peut avoir des formes très variées, Dous parlerons 
principalement des cages cylindriques. 

Lorsque la tête des «larcAei, c'est-à-dire la partiç située . 
du côté du centre, fait partie d'un pilier appelé noyau, l'es- 
calîer est dit à noyau. La tfueae des marches est alors en- 
gagée dans le mur de la cage. La fg. 233 montre les pro- 
jections d'un escalier en pierre qui a fait une révolutios 
complète autour du noyau vertical : il est engendré par le 
rectangle abed suivant les contours de l'hélice dont le pas 
est a h. La surface supérieure du âlet ainsi décrit est taillée 
en marches. 

Un escalier est dit à jour, lorsque le noyau est remplacé' 
par un filet de même pas que la vis , et dans lequel la tête 
des marches est engagée. Ce filet porte le nom de litnon, 
La queue des marcbes , au lieu d'être engagée dans le mur 
de la cage , peut l'être dans un second lintoD parallèle au 
premier : dans ce cas , l'escalier prend le nom d^escatier à 
deux limons et à jour, aux escaliers en bois ^ on met ordi- 
nairemeot deux limons. La /èg. 234 représente un escalier 
de ce dernier genre dans une cage cylindrique. 

Lorsqu'un escalier n'a que de petites dimensions, 'od peut 
l'isoler entre les deux limons , et même tailler en gradins les 
deux limons pour laisser voir le profil des marches, à la tête 
et à la queue. Le dessous , s'il n'est pas caché , présente une 
sarface hélicoïdale exécutée eu menuiserie : tel est l'escalier 
de la /[g. 235. ïl peut convenir à une chaire à prêcher, en 
remplaçant 4e limon intérieur par un pilier d'église. 

Quand on est réduit à placer un escalier dans une cage 
irréguliére et mal éclairée, il faut éviter le noyau. Alors, on 
inscrit dans la base de la cage une courbe, une ellipse ÂBG D 



>;,l,ZDdbyG00gle 



_ 132 — 
autant que possible , fig. 2S6 , puis l'ellipse du jour aited 
parallèle à la première. Eufio, on trace une troisième coarbe 
i^b'c^d' entre les deux autres et qui est laftgne de montée. 
Comme on ne, peut pas donner aux marches une largeur 
constante, on se contente de la faire constante sur la courbe 
a'b'e'd\ A l'égard des têtes des marches , on s'arrange de 
manière à les faire sensiblement égales. 

Le tracé des projections des arêtes des marches constitue 
ce qu'on nomme le balancenuml des marches; c'est le lâtOft- 
nemeol par lequel on arrive à satisfaire à l'égalité des lignes 
1-2, 3-3, 3-4. La hauteur des marches étant donnée , on en ' 
déduit l'hélice, dont la projection horizontale tiXabcd. Le 
balancement dépend de la hauteur des marches. 

Il n'entre pas dans notre plan de donner les détails de 
construction des escaliers. On trouvera pourtant, (Ig: 237» 
les tracés propres à faire débiter une partie de limon. 



DES SURFACES COMIQUES. 

§ 124. De la représentation des surfaces coniques. Toai 
pian tangent contient une génératrice, — D'après sa défi- 
nition § 101, une surface conique sera déterminée lors- 
qu'on connaîtra les projections du sommet ^ celles de la di- 
rectrice. 

Soient donc, abcd, a'b'e'd\ les projections delà direc- 
trice {fig. 238) et s, «', les projections du sommet. On trou- 
vera autant de génératrices qu'on voudra de cette surface 
conique, en prenant des points k, k\ sur la directrice, et 
joignant ces points au sommet. Les traces de la surface 
se trouveront comme au § 105 , en cherchant les traces 
des génératrices sur les plans H et Y. Nous prendrons 
souvent Tune de ces traces pour directrice d'une surface 
conique. 

Une surface conique a toujours deux nappes, puisque 



by Google 



— i3S — , 
toQtes les génëratricea peuvent se prolonger au-delà du 
sommet. 

Ou dëmoHtrersit, comme on l'a fait au § 105 et d'une 
mamère analogue, que le plan langent à une surface coni- 
que contient toujours une génératrice^ car une des sections 
faites dans la surface peat être la génératrice elle-même 
dont la tangente se confond avec elle. 

De plus , il serait également facile de prouver que les tra- 
ce» du plan tangent à une surface conitfue sont tangentes 
aux traces de cette surface, aux points où la génératrice de 
contact perce les plans H et f^. On ne ferait que répéter, 
pour te démontrer, ce qui a été dit à ce sujet au § 105. 

Alors, pour limiter ici la snrface conique représentée 
^g, 239, nous emploierons le même procédé qu'au § 105 , 
pour limiter la surface cylindrique. I^ous mènerons deux. 
plans tangents à la surface, perpendiculaires au plan H, et 
deux autres au plan V.Les traces horizontales des premiers 
passeront par la projection horizontale du sommet et les 
traces verticales des seconds par la projection verticale du 
même point, Les traces borizontales de ces premiers seront 
doDC les tangentes à la base es et ds menées par le point s. 
Les traces borizontales des seconds seront les tangeutes à la 
' base aa'&ib 6' menées perpendiculairement à / 1. Les géné- 
ratrices de contact des premiers plans sont e s, e" s' etds^d^s'; 
celles des seconds sont ai, a's', et 6*, 6'«'. 

§ 125. Vn point d'une surface conique étant donné par 
l'une de ses projections, trouver Vautre. — Soit h la pro- 
jection horizontale de ce point. On méoera, comme au § 
106 par le point donné et le sommet , un plan vertical ; ce 
plan aura pour trace horizontale la ligne ka et il coupera 
la surface suivant deux génératrices qui auront As pour 
projection horizontale , l'une ayant pour trace le point m et 
' l'autre le point n. Ces génératrices se projettent verticale- 
nient l'une en m'a' et l'autre eu n's\ La verticale du point 
A étant comprise dans ce plan, rencontre ces deux génératri- 
ces aux points h, v et A,v' qui sont les points cherchés. 



îiqilizDdby'GoOgle 



— i34 — 

v" étant la projection verticale d'nn point de la surface, 
on trouverait également que ce poiat a deux projections 
horizontales h' et h" que Ton détermine en oienaot par v" 
et le sommet un plan perpendiculaire au plan V qui reoron- 
tre la surface suivant deux génératrices dont w" (" serait la 
projection verticale etp/t',/>'A"]esprojectioDshorizotttales; 
les rencontres de pA' etdep'A" avec la perpendiculaire 
v"A" kit, déterminent ta position des points h' et h". 

La même question peut être appliquée à uo cône droit , 
flg. 240. Les constructions présenteroot ici cela de partico- 
lierque, en donnant la projection horiEODtale A, la projec- 
tion verticale v déterminée par la méthode précédente sera 
unique , à moins qu'on ne considère tes deux nappes de la 
surface. Au contraire, v" étant une projection verticale, 
elle correspond à deux projections horiznnfales /i' et h". 

Si le cône droit avait son axe dans le plan H.fig. 241, en 
aSf aV; d'al>ord, pour trouver les limites de cette surface, 
en projection horizontale elles sont données par deux li- 
gnes3b,sc, tracées dans le plan H et faisant avec l'axera 
l'angle donné de la génératrice avec l'axe. Gé sont les traces 
Jborîzontales des plans tangents verticaux. Pour trouver les 
limites verticales, nous remarquerons que les plans tangents 
perpendiculaires au plan Y, doivent avoir pour trace ho- 
rizontale la ligne 3g\ et qu'en menant une section bc per- 
pendiculaire à l'axe, la trace du plan tangent sur le plan de 
la section devra être tangente à la section eUe-mëme. Or, 
cette trace, ou l'intersection des deux plans, perce le plaa 
Rea d; si donc nous menons par le point et, à la section 
rabattue, les tangentes dk,dk', les points Jt, jfe'^ relevés 
en 0,0' et 0,0" seront des points des génératrices de contact 
des plans tangents cherchés; et comme ces plans sont per- 
pendiculaires au plan Y^ leurs traces ou les limites des cônes 
sont donc s' 0', s'o", les tangentes percent d'ailleurs le plan 
Y en m et m' qui doivent aussi se trouver sur»'o'et*'o". 

Revenons à la question proposée, car ce qui précède loi 
est étranger. 



by Google 



— 13,5 — 
Soit h la projection horizontale d'OD point de la surface, 
ayant mené par ce point ane section b e perpendicnlaire à 
l'axe, et l'ayant rabattae, les points set g" relevés, don- 
nent les points cherchés h., v et k, v\ 

Si le point v" est'doiinë en projection verticale, le plan 
perpendiculaire au plan V mené par ce point sera v" a' s. Ce 
plan coDpe une section quelconque be suivant la droite ra- 
battue dp, celte droite coupe la section aux points f, r qui 
pnqetéseiix,^;', et;^,y, donnent des points des génératrices 
qui contiennent les points cherchés ; donc ces points se trou- 
Tuitàla rencontre de i>"/i'A" avec les projections horizooT 
taies 3 ir, tjf que nous venons de détermiMr. 

Pour savoir si un point donné appartient on non à une 
surface conique , on mènera une droite par ce point et le 
somnaet ; suivant que cette droite percera le plan H hors de 
la trace de la surface, ou au dedans, ou sur la courbe, le 
point sera extérieur ou intérieur, ou sera l'un des points 
de la surface. 

§ 126. Plan tangent à une tarface conique , trou cas. — 
On démontrerait comme au§ 107 qu'un plan langent est dé- 
terminé par un point pris sur la surface , et donné par une 
projection , ou par on point extérieur, ou par la condition 
d'être parallèle à une droite donnée. 

Cela posé , 1° soit proposé de mener un plan tangent à une 
surface conique par le point k fig. 242, pris sur la surface. 
Il y aura ici comme au § 107, deax plans tangents menés 
aux points h., v et k, i>' ; l'un o<ffiliendra la génératrice as, a'$' 
et l'autre la géoératrice sb, s'b'. Ces génératrices Ont pour 
traces, l'une le point a, l'autre le point £, et les tangentes à 
la trace de la rarfaoe menées par ces points , seront les tra- 
ces horizontales des deux plans tangents , § t05. Les traces 
horizontales ao, bp, étant menées, il y aura plusieurs 
moyens de déterminer les traces verticales. D'abord, (es 
génératrices de contact de chaque plan qui percent le plan 
V sur les traces des plans, l'un en g et l'autre en r. De plus, 
par le point de contact, on peut mener une horizontale, 



i.vCoogIc 



— t36 — 
dont la projectioD horizontale est parallèle à la trace. La 
trace de cette ligne pour le plan aoq est en k, et ponr l'au- 
tre en A'. Ces points vérifient l'exactitude des premières 
coostructioos. EnGo l'intersection des plans tangents dcût 
passer par le sommet, ce qui est une autre vérification. Si 
la trace verticale existe , les traces verticales de tous les 
plans tangents doivent lui être tangentes. 

V Soit proposé de mener un plan tangent à une surface 
conique par un point A,v, fig. 243, extérieur à la surface. 
Ce plan devant passer par le sommet du cône, la droile 
ks, V 5' qui joint le point donné au sommet , devra être con- 
tenue dans le plan tangent, et ses traces t,t', sur celles du 
plan. Or, les traces horizontales doivent être tangentes à la 
base; donc ta et tb sont les traces horizontales des deux 
plans tangents que l'on peut mener par le point /i,v, Les 
points de leurs traces verticales se détermineront en cher- 
chant les tri^ces? et f des génératrices as, ba de contact, ou 
celles de deux horizontales menées par /t, 11. Enfin on peut 
se contenter du point i' où les traces verticales des deux 
plans se coupent. 

3" Soit proposé de mener un plan tangent à une surface 
conique parallèlement à une droite donnée, ab, a'b', fig. 
244. Le sommet s, a' devant être situé dans le plan, la droite 
se, a'ù', menée parallèlement à ab,a'b', sera contenue 
dans les plans tangents cherchés, et les construclions devien- 
dront les mêmes t^e celles du cas précédent. Ce troisiémo 
cas n'est pas possible quand la droite, menée par le sommet 
parallèlement à la droite donnée, perce le plan H dans l'in- 
térieur de la trace de la surface. 

§ 127. Plan tangent à un oéne droit dans quelques cas 
particuliers. — Les plans tangents au cône droit dont l'axe 
est vertical ne présentent rien de particulier dans les b'ois 
cas, fig. 345. 

Le cône droit ayant son axe dans le plan H, fig. 246, le 
plan tangent au point k,v, ou au point h, v', § 124, con- 
tiendra la tang^te à la section droite menée par ce point. 



>;,l,ZDdbyG00gIC 



^ £37 — 
Faisant cette section, et rabattant, les points k et k' sont les 
points de contact rabattus ; alors les tangentes menées à la 
section sont les droites kt, k' t qni percent les plans H et V. 
l'ane en ( et t', l'autre en i et t". L'un des plans tangents 
est donc toi' el l'autre est tôt". Les génératrices de contact 
peuvent encore servir à trouver des poials des traces; ces 
plans oDt o t pour trace horizontale commune. 

Le point h, v, étant extérieur, fig. 247, on fera nne sec- 
tlOD droite par ce point , on rabattra le point et la section , 
le premier en k. On mènera les tangentes ft(,ftr à la section 
rabattue. Ces tangentes ont pour traces t, t',r, r', qui appar- 
tiennent aux (rac«s des plans tangents cliercbés. Ces plans- 
se coupent suivant la droite s/; «Y'- 

Enfin , parallèlement à une droite donnée ab.a'b'. fig. 

248, l'axe étant la ligne de terre, nous mènerons par le som- 
met s une parallèle à a 6, a' b*, qui rencontrera une section 
faite perpendiculairement à l'axe en A , v. Mous raliattrons 
ce point et la section , et les constructions se conduiront 
comme au cas précédent. 

§ 128. Interseetton d'une surface conique par une droite. 
— Soient ab.a'b' les projections de la droite donnée, fig. 

249. Par cette droite et le sommet , nous ferons passer un 
plan^g 104; ce plan rencontrera la surface suivant une ou 
plusieurs génératrices, et les points de rencontre de ces 
droites et de la droite donnée, seront les points cherchés; 
cd, cd'sont les traces du plan; gs.g'a', na.n's', les projec- 
tions des génératrices d'intersection , et hv, h'v, les points 
de rencontre de la droite a b, a' b' avec la surface. 

Si la trace du plan était tangente à la base, la droite don- 
née serait elle-même tangente au c6ne ; si elle ne rencon~ 
trait pas la base , la droite ne rencontrerait pas la surface. 
La droite p o, p' o' est tangente au cAne ao point o, o\ et la 
droite siy, x'y' ne rencontre pas le cône. 

§ 129. Intersection d'une surface conique par un plan. 
— Kous mènerons, comme il est recommandé au § 104, les 
sections les plus simples possibles de la surface. Ce sont des 



i.vCoogIc 



— 138 — 
plans qni la coupent suivant des génératrices. Mous mène- 
rons ces plans perpendicDlaires, soit au plan V, soit au plan 
H ; ces plans couperont le plan donné suivant des droites, et 
les points de rencontre de ces droites avec les génératrices de 
section seront des points de la courbe cbercbëe. 

Soit art le plan coupant, /ig. 250; un plan s'a', mené ^ 
par le sommet perpendiculairement au plan V, coope la 
surface suivantles génératrices 6a, cj dont la projection ver- 
ticale est a' s', et le plan suivant la droite ad, a'd'. Cette 
droite rencontre les premières en k,v,k',v\ qui sont des 
points de la courbe cbercbée. 

Une génératrice limite, comme sk, de la projection hori- 
zontale , sera une tangente a la courbe au point de cette 
courbe n situé sur elle, sans que sa projection verticale soit 
tangente à la projection verticale de la courbe. Gela tient à 
ce que le plan tangent suivant sk est vertical, et que son in- 
tersection avec le plan sécant se projette nécessairement 
sur la trace horizontale sk de ce plan. De même s^' est une 
tangente ; s'o' et *' g' sont des tangentes à la projection ver- 
ticale. Quelques tangentes menées à la courbe détermine- 
ront sa véritable forme. 

Pour mener une tangente à la courbe au point k, v. noua 
mènerons un plan tangent cfi' suivant ta génératrice A «, 
vs\ et l'intersection de ce plan avec le plan sécant est la 
tangente demandée, fix, vx'. 

Les tangentes parallèles à It en proiectîon verticale, s'ob- 
tiendront en menant les plans tangents dont la trace hori- 
zontale est parallèle à la trace ar du pian sécant. Ces plans 
déterminent les tangentes mn.tn'»', et pz.p'z', dont les 
projections horizontales sont parallèles à la trace a r, et dont 
les projections verticales sont parallèles à 1 1.' 

Pour avoir cette courbe dans sa véritable grandeur et 
forme , il faut la rabattre; ce rabattement donne la courbe 
A" m" />".., une tangente kx, dans ce rabattement, devient 
xh". puisque x reste fixe. 

Pour construire le développement de cette courbe , fig. 



i.vCoogIc 



— 139 — 
25J t afin de pouvoir le rapporter sur la surface exécutée 
es relief, voici corament bous opérerons: nous construirons 
d'abord les projections d'une section sphérique, § 101. Pre- 
nons une génératrice quelconque t a, s'd\ B abattant sou plaa 
projetant, et le sommet en A, on a aft pour longueur véri- 
table de la génératrice ; prenons à partir de k une longueur 
quelconque kg; g sera un point de la section spliérique 
faite à une distauce g4c du soaunet ; ce point se projette en 
h.v; rabattant une autre génératrice en a'k', et faisant 
*'g' ^ ft g. le point g' appartient à la section sphérique, et 
projeté en k'v', il donne un nouveau point de cette courbe. 
On détermine ainsi la courbe A/i'/t"„., lîij't)"..., dévelop- 
pant le cylindre projetant de cette courbe, on en cherchera 
le développement uu'u" ; puis d'un point A comme centre 
)rec un rayon fcg, on décrira un arc, sur lequel on portera 
lespetits arcsuu', u'u", «"«"'.... en rr\ rV", r'V"....Oa 
aura ainsi le développement de la section sphérique. Portant 
alors les distances ag, a g*, a"g".„ des points d'une section 
quelconque àla section sphérique sur les génératrices corres- 
pondantes Ar, Ar\Ar'\,.,oD aura le développement de- 
eette section. On aurait pu faire de la même mauière celui 
de la section de la figure précédente. 

Toutes les constructions que nous venons d'exécuter of- 
frent plus de simplicité lorsque le cône est droit et à base 
circulaire, c'est-à-dire lorsque la génératrice fait avec l'axe 
un angle constant. Mais avant de parler de ces nouvelles dis- 
positions , nous allons exposer les conditions générales qui 
font qu'un plau coupe une surface conique suivant l'une des 
trois courbes du deuxième degré- 

§ 130. Conditions pour qu'un plan coupe une surface 
conique suivant une des trots courbes du deuxième degré. 
A^mpiotes de l'hyperbole. — Lorsqu'un plan coupe une 
surface conique du deuxième degré , c'est-a-dire dont la 
directrice est du deuxième degré, de manière à rencontrer 
toutes les génératrices, la courbe est fermée, et le calcul dé- 
montre que c'est une ellipse. Si le plan est parallèle a detix gènëi 



>;,l,ZDdbyG00gle 



— HO — 
ratricesjlacourbeestunebyperbole. SileplanestparaUèleà 
une seule génératrice, la courbe est une parabole. Un moyen 
bien simple de s'assurer de la nature de la section , consiste 
à mener par le sommet du c6ne un plan parallèle au plan 
cbupant ; si la trace de ce plan ne rencontre pas la base du 
cône , ce plan passe par le sommet , sans contenir aucune 
génératrice ; et alors on conçoit que tout plan qui lui sera 
parallèle coupera toutes tes génératrices d'un même côté du 
sommet, et donnera une courbe fermée. Si le plan parallèle^ 
mené par le sommet du cône , rencontre ce cône suivant 
deux génératrices , ce qui aura lieu si la trace horizontale 
cencontre la trace borizoDtale de la surface eu deux points, 
le plan coupant donnera donc une hyperbole pour section. 
Si enfin la trace du plan parallèle est tangente à la base du 
cône, ce plan est tangent , le plan coupant est parallèle à une 
seule génératrice, et la courbe est une parabole. 

On voit aisément, dans la fig. 250, que le plan t'r'ti' 
mené par le sommet parallèlement au plan ira, ne ren- 
contre pas le cône, car sa trace ne rencontre pas la base. 
' Le plan a' 6' c' delà /tg'. 252, mené par le sommet paral- 
lèlement au plan coupantafri?, rencontraot le côue suivant 
deux génératrices «r/, se, le planabi donne une hyperbole 
pour section , dont les projections s'obtiennent comme au 
§128. 

Le plan a' 6' c' de la ftg. 2â3,mené par le sommet parallè- 
lement au plan coupant a 6 c, étant tangent à la surface sui- 
vant lagénéralricefc, le plana6ccoupe le cône suivant une 
parabole , qu'on projettera comme les deux autres courbes. 

On conçoit que réciproquement si l'on voulait couper une 
surface conique suivant une ellipse , une hyperbole ou une 
parabole, ou mènerait par le sommet, ou un plan dont la 
trace ne coupât paâ la trace de la surface, ou la coupât en 
deux points, ou lui fût tangente ; puis on mènerait un plan 
parallèle à un de ces trois plans. 

On peut se proposer de construire les asymptotes de l'hy- 
perbole de la ^g. 252. Une asymptote est une tangente^ dont. 



>;,l,ZDdbyG00gIC 



le point de contact est inâaiment éloigné ; ce pmDt oe peat 
doDc être situé qu'à l'inSni sur la courbe, et oe peut être 
donné que par l'intersection de la géoératrice parallèle an 
plan sécant avec ce plan, car ce poiot est à rinûnijor, 
toute tangente à la courbe qui oons occupe est déterminée 
par l'intersection du plan tangent et du plan coupant. Si 
donc nous menons par les génératrices parallèles au plan 
sécant es, da, c'«', d'à', des plans tangents an cône, leurs 
intersections avec le plan sécant, seront les asymptotes. On 
peut remarquer qu'elles seront parallèles aus génératrices 
es, da, comme intersections de plans parallèles par un troï- 
^ème. Les traces des plans tangents fxtQidh, cg qui reo- 
conlrent en A et g' les traces du plan séeant. Uenant par les . 
points ^ et ^ des parallèles, aux génératrices de contact , ce 
' seront les asymptotes de l'hyperbole de secLioo, La parabole 
n'a pas d'asymptotes , car le plan coupant et le plan tangent 
mené, au point de la courbe situé à l'infini, étant parallèles, 
il o'y a pas de tangente à l'infini et partant point d'asymp- 
totes. 

§ i^i, IniersecUon-d'uncônedroitpar un plan^trota cas, 
lat^ente, rabattement, développement; projection oblique 
dea sections. -~ Le choix des plans de projection étant per- 
mis, oD fera toujours bien de prendre pour plan vertical, 
un plan perpendiculaire au plan coupant ; de cette manière 
la section aura une droite pour projection verticale. 

Lorsque le c6ne est droit , c'est-à-dire , lorsqu'il est en- 
gendré par une droite faisant avec l'axe un angle constant, 
on prendra pour plan vertical, un plan perpendiculaire au 
plan coupant, et parallèle a l'axe, et pour plan horizontal, 
nu plan perpendiculaire au premier, on aura ainsi les dis- 
posiUons des fig. 254 , 255 , 256. 

On s'appliquera particulièrement à déterminer les axes 
des sections; ainsi fig. 254, a&c étant le plan coupant, d'e* 
est une des projections du grand axe et de l'autre; pour 
avoit le petit axe, on prend le milieu de d* e', et l^on fait 
passer une génératrice par ce point, qui rencontre le plan 



i.vCoogIc 



— 142 — 
abc à l'extrémité du petit axe, parla seule raisoil que d'e' 
étant le grand, puisqu'il se projette eo vraie grandeur, fg 
est le petit, puisqu'il est perpendiculaire à de, et passe par 
le centre. 

Un pointm.m' de cbacane des sections dans les trois figures, 
pourra être déterminé par la méthode générale du § 128. 
On pourra anssi le trouver, eo menant par m' la section pa- 
rdlèle et la projetant horizontalement; son intersection 
avec la verticale de m', donne m; le point situé sur les 
génératrices qui se projettent sur l'axe, ne peut être déter- 
miné que par ce procédé. 

Coe tangente en un point quelconque m se trouvera en 
menant le plan tangent A c eu ce point, et cherchant l'inter- 
jsection cm, 6 a de ces deux plans. La tangente dans le rabat, 
tement est » m". Ce rabattement s'exécute comme il a été 
dit tant de fois. Les asymptotes de l'hyperbole se détermi- 
neront comme an§129. tnn, pq, sont les génératrices pa- 
rallèles an plan coopant. p t, mr sont les traces horizontales 
des plans tangents, et les parallèles tx, ry, à p^, mn, sont 
les asymptotes de l'hyperbole. 

Il reste à effectuer lé développement des trois courbes, 
afin de pouvoir les enrouler sur le cône eo relief exécuté 
autour. Pour cela, on décrira un cercle du point s" comme 
centre, fif;. 257, avec un raf on égal ks' k' : on aura le dé- 
veloppement de la base du c6ne, si l'on prend sur ce cercle 
une grandeur égale à 2 Tctk, fig. 2&4, on pourra trouver 
plus facilement le développement de cet arc , en chercbant 
l'angle au centre, car les .angles sont proportionnels aux 
rayons; soit donc p"p"' cet arc. Supposons qu'on ait coupé 
le c6ne suivant la génératrice sp, flg. 254...., et qu'on l'ait 
appliqué sur te plan tangent en sk. Dans le développement, 
k" occupera le milieu de l'arc p"p"', p" et;»'" les extré- 
mités. Le développement de la première nappe est donc 
s"p"p"^; le développement de la deuxième est s"q"g"''. 

Un point quelconqu&m de l'ellipse étant donnè,.pouravoir 
son développement, nous mènerons la génératrice m A, nous 



:,.;,l,ZDdbyG00gle 



— 143 — 
porterons l'are *A de k" en fc" sur l'are p"p^"; pois, ponr 
avoir la distance du point m, m' au sommet, nous mèDorons 
la section parallèle éa point. Elle rencontre «'.fc'en x' , tel 
que !);'«' égale la distance de tous les poinlâ do pardlèle au 
sommet. Portant x'j'de a" en m" sur j" A", lepoint m" sera 
le poiot f» sur le dévdoppement. Ainsi de même pour les 
autres points, et l'on a la courbe c"d"m"e"'. 

Pour développer l'hyperbole, nous construirons les som- 
mets dy e, 4\*- Le sommet d" est sur la génératrice fîxe s" 
A", ep d" tel que (f ' ^"a^d'it'. Le sommet e, «' «st situé sur 
les prolongements *"?", t"q" de 3"p"%s"p" à une dis- 
tance du sommet s" de s" e" = s" e'" = «' e'. Lçs points g, *, . 
vienaent en g" s", tels que l'arc ig =^kz ==^ A" z'^ les points 
analogues g'z' de l'autre branche seront trouvés en traçant 
sg" et as' et les prolongeant «n v et a. Alors poitaBt are 
ko = kv deit"en o"et v", les points ^'"g!", seront les dé- 
veloppemenls des points g'?'. Les asymptotes prendront Içs 
positions t"a;", »'"y". 

. Le développemeot d& la parabole n'oETre rien de particu^ 
lier, tour faire ces développements , il y aura de l'ayantago 
à partager la base en parties égales, et l'arc p"p'" de son 
développement en un mëiné nombre de parties. ' , 

Pour mettre ces sections, en projection oblique, bn'mef- 
tra là base du cône et lé sommet en projection oI>Iiqué, ainsi 
que tes points de division de là basé, et l'on mènera les gé- 
nératrices. Par les projections orthogonales des points de la 
sêctfoo, 00 mènera des lignes inclinées à 30 deg., qtri rcn^ 
contreront les génératrices au point de la section Corres- 
pondant à ces génératrices. Yayezfig. 254 bis, 2S5 bis, 
256 bis. 

' § 432. intersection d'un bâne et d'vn. teindre; de deuaé 
cônes. — La méthode dn paragraphe 104, nous conduit en - 
core â mener des plans qui coupent les surfaces sairant 
des génératrices,- et ces génératrices se rencontrent en dés 
points , qui sont des points de la courbe d'intersection des 
deax surfaces. 



i=,GoogIc 



— 144 — 

Pour qo'an plan coope un cftne suivant des génératrices, 
il faut qn'il passe par le sommet. Tous ces plans devront 
donc conteDÎr le sommet de la surface conique. Par ce points 
on mènera une parallèle aux génératrices du cylindre, et 
tout plan qui passera par cette parallèle , s'il rencontre à la 
fois les deux surfaces, donnera iieu à des points de la courbe 
d'intersection. 

La parallèle sa, s'a', menée parlesoramets, s',/(g. 258, 
aux génératrices du cylindre, a pour trace le point a. Si 
par ce point nous noeDons une droite abede qiti coupe les 
deux bases, le plan qui aura cette droite pour trace hori- 
zontale, et qui passera par le sommet, coupera les deux 
surface^ suivant des génératrices. Ces dernières sont bf, b' 
f, eg, e' g' pour le cylindre, et sd. s'd'^ se, s'e' pour le 
cdoe. Ces quatre droites se coupent aux points de la courbe 
h, k'. k",h'".v, v'.v",v"\ 

Ici les limites des plaos menés par le point a , sont les 
plaos dont les traces sont les tangentes ai, ak à la trace 
du cône. Ce dernier traverse doDc le cylindre, et il y a pé- 
nétration. 

En général, il y a péoétratioD, si les tangentes à l'une des 
deux bases menèesparlepoint a rencontrent à la fois l'autre 
base. Il y a arrachement, quand il n'y a qu'une tangente à 
chaque base qui rencontre l'autre. 

Il est.égaleDMUt important de déterminer les points don- 
nés par les plans limites ai, ak, parce que leurs tangentes 
se trouvent être précisément l'une des génératrices de l'uoe 
ou l'autre surface, Pf ous répéterons ici le même raisonnement 
qu'au § 114.LeplaR al est tangent au cône, suivant si, s'i\ 
La tangente en p,p', qui est Tintersection des deux plans 
t^ngep^ au^ deux surfaces, est donc l'intersectiou de ce 
plan et du plan tangent au cylindre suivant /), g. p' f ', l'iii-> 
tei^clion de ces deux plans est précisément la génératrice 
p f, p' ç' du cylindre. 

Donc encore comme au § 114, lorsqu'un des plans est 



:,.;,l,ZDdbyG00gIC 



— 145 — 

(aDgenf à l'une des surfaces, Il coupe l'autre surracê suîvatit 
des génératrices qui sont des tangrates à la courbe. 

On déterminera également, et autant que posrible les 
points qui sont sur les génératrices limites', soit delà pro- 
jection horizontale, soit delà proje»tion verticale; car les 
taDg(;nle8 â ces points sur une projection de la courbe, sont 
les génératrices elles-m&mes, sans que les autres-projections 
(le ces gènèratrieés soient tangentes à l'autre projection de 
la courbe. 

La tangente en un point quelconque se déterminera par 
l'intersection des deux plans tangents aux deux surf&ces 
menés par les génératrices des deux surfaces qui passent par 
ce point. La tangentç en m. m' est tm, t'm\ 

Pour tracer la projection oblique de cette intersection, ou 
mettrait le cône et le cylindre en projection oblique , ainsi 
que le point a. On mènerait par ce point une suite de 
droites rencontrant à la fois les baœs des deux surfaces-^ et 
l'on cbercherait les intersectiobs des génératrîeèâ'âonnèés 
par cette construction ; fig. 2^8 l>ia. ■ .■ ■ \ ■ ... ., 
On n'éprouverait aucune difâcutté , après ce qui. vient 
d'être dit , pour chercher l'intersection de deux côoe^ï. Il 
est clair que les pfans auxiliaires devront ici passer par les 
deux sommets, et que par suite, c'estpar la ligne qui les. 
joint, qu'il faut faire passer ces plans; les consli*iretions 
s'achèvent comme nous venons de le taire-, -fi^. 258 et 
259 6m. 

§ 133. .ÂpplicàUùn aux robinets.' — Les m6deletii<3 ont 
souvent l'occasion d'appliquer l'intersecHion d^iiA'odne et 
d'un cylindre dans les robinets. ' ■ ' ■ .'....: 

' Soit la fig. 260 , où le conduit cylindrique droit'-à iMse 
circulaire, et le c6ne dont l'axe est pérpendicBlaii'e'aa plan 
V, se trouvent projetés. On pourra choisir iei pour plans 
anxltiaires , des plans parallèle» au plan V, qui cotlpebt le 
cylinâre suivant des gèoératrices et le cOne suivant dés cer'^ 
des. Un plan tel que a b coupe le cône suivant te petit cercle 
<>'A'. Le même plan coupe une section rabattue ducylindro 



>;,l,ZDdbyG00gIC 



. — 146 — 
an points Jt et.it' qui, relevés , donnent les génèFatricçs-- 
a b, a" 6". a b, a'" b'". Ces droiteei rencontrent le cercle à" b^ 
aux p(^ts in.nirn',n',m,'\n'", qui sont des points de la 
courbe cbeccbée. 

Ce cylindre ot ce ctoe étant développés séparément, ainsi 
que les eoiirbes qui s^t tracées sur eux. , on obtint la 
^g. 260 bùj qui oSre te moyen- de t.Fac«r ces cqivbes sur 
l98 80&4es en reliet , et de creuser daas le. oylindre la..tracf) 
du cône, ou enfin de les assembler. 
' hm. devtx corps assonMés sont repràsentés, ^g. Didier, 
en projection oblique. 



DES SURFACES DE RÉVOLUTION. 

,', ^%îifi Û£ la représentattmide c^ surfaces, — UfikeSurCsf^ 
à» réyoiut^ sera déterminée, lor6q^'an' connaîtra les ytio- 
jections de l'axe et la xéritat>le f«i;ii)e âQ la «turba généca- 
trioe. , , 

J^H, effet , n^l a, a" a'\ fig. 26 ) , les projecUoos. de l'axe. 
Soit /•'o'4' la véritable grandeur de la géBëratriGe^ ou , ce 
qui est U. m$(ne cbose , la section fftite diuis cette surface 
par le .pl£# a 4 paratiLéle m pMui V. On pourra otwstndre 
avec ces donqée^, les. projections d'une génératrice de la sur- 
face dans l'une quelconque de ses positions ; car, soit aef le 
plan, de celte position; e.o fera tournée ce plajpt jusqn'i ce 
qu'il se confonde avec a^. MpK^ l^secljoins coïacidefoat,et 
un point /h, v de la section a à, devJiMtdra k\ v' sur la seotiPO 
ae, § 51:, fis- 84. Qn d^termqeca donc ainsi autant degéoé- 
fatrîces qij'oB youdra. 

I,ies Umîles. de 1^ surface en projection verticale sont les 
^Mx courbes ég^es i'c'd', 6"o"d"; les. M naiLes en projoc- 
tvu) borizoatale soqt (tonnées par 1« sectjkiD parallèle la plus 
grau^, déteriuiDée par fp. point de oontafit de la tangente à 
tri ccHirbe b' c'd' ine«ée pafallàlemeBt à <f^'1''' 



:,.;,l,ZDdbyG00gle 



_ 147 — 

§ 135. Un point <Vune surface de réitûluliim étant donné 
par- Cutie de ses projection» , trouver Cautre, — Soit h' la 
projection horizOHtale, fig. 261. La perpeDdkulaire A'w' à 
It costieDdra la fHtiJection verlicale. Or, (a verticale da 
point A' rencontre la section méridienne, a%', menée par 
le point. Si l'on fait toornër cette seiCtioB poar'la ramener 
eaad, le point A' Tient en h, et sa projection verticale est 
V sur la conrbe b^e^d'. Donc , en ramenant le plao dans sa 
première pentîon, le poiat k, v, ne change pas de distance 
an plan B, et sa projection verticale reste sur v v' parallèle 
i It, Donc enfin, l'intersection de /t' v' et de v v' est la pro- 
jection Verticale cbercttée. Le point r' est également la 
projection verticale d'aa point delà snrfàce dont A' est la pro- 
jection lioriaoDtale. 

Les projections d'uD point étant données, m, m', pour 
s'assarer si ce point est sur la surface . k l'eitèrienr ou à 
t'îDidriear, on fera passer un inéridien par ce point , et on 
le rabattra snr celui qui est parallèle an plan V, en rabat- 
tant le point en prp'. Suivant que p',p' sera liors de la 
eowrbe a' b^c'd', ou dedans, on sur elle, le point m, m' sera 
bors de la surface, ou à l'intérieur, ou sur etie-roéme. 

§ 136. Tout plan langent à une surface de révolution est 
perpendiculaire au plan tniridien qui passe par la point de 
contact. — En effet, pour mener le plan tangent à une sur- 
face de révointion par on p<Hnt, nous ferons par ce point 
fc", w" (/Ig. 261), la seetien méridienne, et la section paral- 
lèle dont le centre est en o snr l'axe, et nous mènerons la 
tangente à eliaipie secttt» par le point h" v". Le plan 
tangent passera par ces deux tangentes. Or, le plan de la 
section méridienBe est perpendiculaire k celui de la section, 
parallèle; l'intersection de ces deux plans est la ligne (i/i",av", 
rayon du parallèle; doncla tangente à la section parallèle, 
est perpendiculaire au méridien (78), et comme le plan 
tangent passe par cette tangente j il est donc perpendiculaire 
au méridien. 

§ 1 37. Plan tangent à une surface de révolution par un 



i.,*CoogIc 



— 148 — 
poin$. — Soit A, le point dooDé, (flg. 262), on détermioera, 
comme il vient d'être dit (§ 134) les projections v,v' de 
deux points qui ont k pour projectioa horizontale commune. 
La taogenle au point A, va la section parallèle, a ^g per- 
pendiculaire kah pour projection horizontale, et vr pour 
projection verticale parallèle à / 1. La tangente à la section 
méridienne en/t',i>", estv"d, qui rencontre l'axe en d. En 
faisant revenir le plan , ce point reete fixe , et la tangente h 
la méridienne en h, v passe encore par ce point. Donc cette 
tangente est dv,ak. On a maintenant les éléments néces- 
saires pour mener le plan tangent dont la (race horizontale 
f^est perpendiculaire à ah, et parallèle à /ig. La trace ver- 
ticale passe par les (raees des deux tangentes. On troove- 
rait de la même manière le plan tangent au point /t,v' dont 
les traces sont yz,zu. L'intersection de ces deux plans est 
l'horizontale ef, e'f, 

§ 138. Plan tangent à la sphère par un point, — Le plan 
tangent à la sphère est perpendiculaire au rayon. Donc ce 
plan sera déterminé lorsqu'on connaîtra le point de contact. 

IVous pouvons transporter les plans de projection au centre 
de la sphère, alors elle sera limitée par les deux grands 
cercles suivant lesquels les plans H et V la coupent, ces deux 
grands cercles se recouvrant l'un l'autre dans le rabatte- 
ment des plans H et V, {/Ig. 263). Soit h la projection ho- 
rizontale du point donné. On trouvera comme précédem- 
ment ses projections verticajes v,v'. Le rayon du point de 
contact k,v sera donc ah,ov; celui du point A, v' sera 
o h, a V*. Les traces des plans tangents devront être 
respectivement perpendiculaires à ces lignes. Menons ea 
h,v l'horizontale ki^vr dont la projection horizontale 
h. k soit perpendiculaire à oh; cette ligne sera située 
dans le plan tangent, elle ne sera d'ailleurs que la 
tangente à la section parallèle. Sa trace r détermine la trace 
verticale du plan langent, laquelle est perpendiculaire à vo. 
Les deux plans tangents ont pour intersection leur trace 
horizontale commune xy. 



i.vCoogIc 



— . 149 — 

§ 139. Plan tangent à une iurface de rivoluttan par un 
point extérieur, — Lieu géométrique des points de contact, 
— Plan tangent ■parallUtment à une droite. — I^e pro- 
blème du plan tangeot par aa poiot extérieur est iudéter- 
mioéy et l'on peut en mener une infinité. Si l'on veut se 
proposer, par exemple, de trouyer ceux dont les points de 
ctHitactsontBitaéssurunmèmeparallèiea b,a' b' {fig.2GA}, 
nous mènerons en 6' une tangente à la génératrice, et nous 
la ferons tourner avec elle : cette droite engendrera un c6ne 
droit tangent ou enveloppe à la surface de révolution. Les 
plans tangents menés par le point donné p, p' à ce côoe se- 
ront tangents à la surface de révolution.; Or, joignant ce 
point au sommet, § 125, cette droite rencontre la. base en 
k^k' par lequel menant les tangentes^ m, itn lespointsm,ni' 
et n, n' sont les points de contact demandéB. 

On trouverait de même autant de points de cdntact qu'on 
voudrait de plans tangents à la surface de révolution. La 
série de ces points formerait une courbe qui serait la courbe 
de contact d'une surface conique enveloppe de la surface de 
révolution , et dont le sommet serait le point donné p,p\ Ea 
effet, toutes les droites qui joignent le point ;>, p' à chaque 
point de contact, sont des tangentes à la surface de révo- 
lution, puisqu'elles sont contenues dans les plans tangents. 

Il y a des points de cette courbe qu'il est important de 
déterminer directement, quand on veut la construire. Ce 
sent d'abord les points pour lesquels la tangente est bo- 
rizontale , ou bien le point le plus haut , et le poiot le plus 
bas de ta courbe. Ces points sont évidemment dans le plan 
méridien mené par le point p,p\ {ftg. 205), rabattant ce 
plao et le point p,p' parallèlement au plan V, le point p,p' 
en 9,9', les tangentes 9' r',f'a' se transforment parle retour 
du plan en p' ^ et p" i". Les points 5, 3' et t, t' sont donc les 
points de contact chercliés. 

On peut également trouver les points pour lesquels les 
plans tangents sont verticaux. ïls soot donnés par les tan- 
%in{bspg,pk à la plus grande section parallèle: ce senties 



>;,l,ZDdbyG00g-IC 



— 150 — 

point» g, g' ei h. k% eofin les points de contact des ^aas per- 
pendiculaires au plaD-VioDt;^,/',^, z\ 

On trouverait de la même manière lA coarbe de contact 
d'an cylindre enveloppe de la surface et dont les généra- 
trices seraient parallèles à une droite donnée: An lien de 
mener aax cônes drMts précédents des plans tangents par le 
point p.p'. on les mènerait parallèlement à la droite don- 
née. Lears points de contact âétermineraJett ainsi d^ peints 
de la courl>e de contact da cylindre enveloppe dont la géné- 
ratrice serait parallèle à la droite donnée; ce qvi foiirBit le 
moyen de mener un plan tangent h une surface de révotn- 
tîoD parallèlement à une droite donnée, he problème est en- 
core susceptible d'une infinité de solutions. 

§ 140, P(«Jt tangent à une surface de révolution par une 
droite. — Soit a 6, a' è' )a droite donnée, fig. 266. On pren- 
dra UD-point a,a^ sur cette drùte , et l'on construira la 
courbe de contact d'un cène enveloppe à la surface , ayant 
ce point pour sommet. Les plans tangents qui seraient menés 
à ce c&ne par la droite, seraient aussi tangents à la surface 
de révolution, et leurs points de contact seraient Mtués sur 
la courbe.de contact des deux surfaces. Prenant un second 
point b, 6' sur la droite , on mènera un second cône enve- 
loppe, qui touchera la surface suivant one nouyelîe conrbe, 
qiii devra contenir également tous les points de contact des 
plans tangents menés par la droite à la surface de révolu- 
tion. Donc ces points de contact se trouveront à la rencontre 
de ces deux courbes. 

La courbe de contact du cùoea.à' estdefg, <Cefg',ei 
celle du cône 6,6' est mnop, m'n'o'p'. Ces deux courbes 
se coupent aux points œ, x',j',y' qui sont les points de con- 
tact des deux plans tangents qu'on peut mener par la droite 
a b, a' b' à la surface de révolution. Le problêow est résolu , 
car un point et une droite déterminent un plan. 

§ 141. Plan tangent à une sphère par une droite. — : Le 
problème est plus facile à résoudre pour une sphère , parce 
qu'on peut se dispenser de projeter les courbes de contact. 



i.vCoogIc 



— 151 — - 
En etHet, soit ab', a' b la droite donnée, fig. 267. Prenons les 
trac«s a et £ de la droite, pour sommets des cftoes.Pour en- 
gendrer >e cône a , nous joindrons le point a au centre c, 
nous mènerons une tangente ad &\i cercle de la splière situé 
dans l0 plan H ; puis faisant tourner ce cercle et la tangente 
autonr de ao,ad engendrera un cAne enveloppe, et d décrira 
dans ce mouvement un petit cercle de la sphère dont le plan 
sera perpendiculaire à l'axe de rotation ae; e'est-à-dlre 
qu'il sera vertical. Ce petit cercle se projette donc en de. 
Les {tlabs tangents menés par la droite à ce c6ne se con- 
fondront avec les plans tangents eherebès, menésà la sphère, 
et leurs points de contact , situés sur le petit cercle de, se 
- projettwont horizontalement sur de. Enfin , Ta ligne qui 
joint ces deux points aura donc d e pour projectioa horizon- 
tale. ' 

De même ,. prenait le point b pour sommet du second 
cône, nous joindrons 60, etnous mènerons 6 rf* tangente au 
cercle do lasph^e situe dans le plan V. Les plans tangents 
à ce ooBveau cône se confondront également avec les plans 
tangeots à la sphère, et leurs points de contact situes sur le 
petit cercle d'e' perpendiculaire au plan V, se projetteront 
verttcalem^M sur la droite d'e\ Donc enfin , la droite qui 
jfrint les points de contact cherchés aura de pour projection 
horizontale et (fe' pour projection verticale; ou bien elle 
Beral'iDtersectioiidesdeuT petits cercles de, dV, l'un per- 
pradiculaire au pfan B , l'antre perpendiculaire au plan Y. 

Il est à remarquer que si l'on prenait' un troisième point 
sur la droite donnée , et qu'on prit ce point pour sommet 
d'un nouveau c6ne enveloppe, les points de contact des 
deax plans tangents à la sphère menés par la droite se trou- 
veraient encore situés sur le petit cercle de contact. Tous 
ces petits cercles se coupent donc en deux points sur là sur- 
face de la sphère. 

Pour trouver les points decontact, nous rabattrons la ligne 
.piles join^, en rabattant l'un deses plans projetants de. Ce 
pelitcercle rabattuest décrit sur de comraediamèlre.La trace 



:, Google 



— i5.2 — 
borizoDtale;' de la droite ne change pas dans le mouvexuent, 
et un point m, m' quelconque de cette droite se rabat en 
m" tel que mm" = m'q. Le rabattement de la droite des 
contacts est donc m"p, qui rencontre le petit cercle rabattu 
aux points k et ^'. Ces points étant relevés, en /t, v et /t\v', 
donnent les points de contact des' plans tangents, dont les 
traces sont faciles à déterminer, car elles sont perpendicur- 
laires aux rayons menés par ces points. 

§ 142. Plan tangent à une surface de révolution parai- 
lèlemeKi à un plan. Cas de la sphère, — Ce problème est 
déterminé. IHous prendrons deux droites quelconques dans 
le plan, et nous mènerons deux cylindres enveloppes, dont 
les génératrices soient parallèles à ces deux droites , g (38. 
Les courbes de contact se couperont en des points qui se- 
ront les points de contact des plans tangents cherchés. 

Le problème est plus facile quand il s'agit de la sphère. 
Smt abc le plan donné, fig. 26S, du centre o, nous abais- 
serons une perpendiculaire od,od', sur le plan, et nous 
chercherons la rencontre de cette droite avec la sphère. Par 
les points de rencontre, il ne restera plus qu'à mener des 
plans parallèles au pian donné. 

La àToHeod,od', est située dans le plan méridien od^- 
qui coupe la sphère suivant un grand cercle. Rabattons ce 
dernier sur le plaay;unpoiot(f,(i', de la droite deviente,e', 
et la droite rabattue est e' o. Cette droite rencontre le grand 
cercle eo*,A',qui relevés,deviennent A,«, A',t)'. Tels sont 
donc les points de rencontre de la perpendiculaire od, od', 
au plan, avec la sphère, ou les points de contact des plans 
tangents à la sphère menés parallèlement au pliio a bc. 

§■143. Intersection d'une surface de révolution par une 
droite. — Par cette droite nous ferons passer un plan qui 
coupera la surface suivant une courbe, et les points où la 
droite rencontrera la courbe, seront les points d'intersec- 
tion de la droite et de la surface. 

Pour résoudre cette question, il est donc nécessaire de 
savoir déterminer l'intersection d'une surface de révolution 



3,q,l,ZDdbvG00gIe 



_ 158 — 
fiar an plaD. C'est nne question qae nous allons bientât ré- 
soudre. 

Lorsque la surface de révolution est pne sphère, le pro- 
blâme peut Être résola sans construire de courbe. Soitafr, 
a'6', la droite donnée,/?^. 269, faisoos passer par cette 
droite son plan projetant VerticaU Ce plan coupe la sphère 
satraut un petit cercle -vertical dont le diamètre est ob, et 
qui se projette borizontalement, suivant cb. Rabattons ce 
petit cercle sarle plan H, et la droite eu ^6. Les points de 
rmcontre ft et k^ de ce rabattement, et du petit cercle, étant 
rdevés en k, «, et A', v% donnent les points de rencontre de 
la sphère et de la droite donnée. 

§.144. Intersection d'une surface de révolution par vm 
plan, — Les plus simples sections d'nne surfacede révolu- 
tion, sont les sections parallèles. JMous mènerons dcwc un 
certain nombre de ces sections , nous cberebero9» les lignes 
dlntersection de leurs plans ave; leplan donné, et les points 
de rencontre des sections et de ces lignes, seront des points 
de la courbe cherchée. 

Soit abc, le plan coupant, /îg. 270, nn plan horizontal 
dV coupe la surface suivant le parallèle tld, d'e', et coupe 
le plan suivant la droite /^g, fg'. Le petit cercle et la droite 
st rencontrent aux points m, m' et n, n', qui sont des points 
de ta courbe. Les points situés snr le grand cercle limite de 
de la projection horizontale seront donnés par le plan k'I' , 
les points limites situés sur la projection verticale, seront 
donnés par le plan pf parallèle à V. Le point le plus haut, 
et le point le plus bas de la courbe, ou pour lesquels la tan- 
geate est horizontale, seront donnés par le méridien dont la 
trace ra est perpendiculaire à bc; car cette tangente étant ho- 
rizontale, sa projection horizontale, sera parallèle à la trace 
bc et à celle du plan tangent; d'où il suit que cette dernière 
sera parallèle à 6c. Or la trace du plan tangent doit être per- 
, pendiculaire à celle du méridien, qui passe par le point de 
contact, § 136; donc i-^estla trace du méridien qui doit 
donner les points cherchés. Sans projeter le méridien, on 



>;,l,ZDdbyG00glc 



— 154 — 
peuttrouv«rcei fwiots, en rabattaBtee méridien parallètoment 

à y, l'iaterseclioa des deux plaps prend la position ;> 7 , p'q\ 
qai reDCODtre eak et k' la ligne méridienne. Ces piHnts se 
relèvent en (, t', et u «', qui soot le poiet le plus haut et le 
pfrint le plus bas de la courbe^ ou ceux pour lesquels la tan- 
gente en projectton verticale est parallèle kit. 

§ iiS'intertection d'une sphèrepar un pf art.— La section 
èUat en cercle , notis en déterminerons d'abord le centre en 
abaissantduceDtrede la sphère une perpcndicBlaire sur le plan 
qni le rencMHitre on £<,(;' centre de la section /cg. 371, on pour- 
rait , comme précédemmèitt, trouver les points de la courbe 
par la mètbode générale ; mais il est préfêrable de cbercher 
les .axes des i«a\ ellipses. Pour cela , oa mène par le centre 
une parallèle de à la trace borizonlale du plan. Cette paral- 
lèle sera la directien du grand ax« de la projection horizon- 
tale, et la. parallèle fg à la trace verticale du plao^ swa la 
direction du grand axede la projection verticale de la courbe 
chercbëe. Pour trouver la longueur du^raod axe de chaque 
proiection,on peutrabaltrece grandaxerfejdVBor le plan 
H, en rabattant son plan prtgetant ; et cherchant les poinlii 
Aetil-'oû ilr^co&tre la sphère,-les rdeveren ci et e,d' et e; 
on bien , cfaerober la longueur de la perpeadicolaire abais- 
sée du centre» sur le plan, et le c6té d'un triangle rectangle 
dont cette longueur serait uu Côté elle rayon de la sphère 
Tautre. Pour trouver le petit axe de chaque courbe nous ra- 
'battrons le plan vertical de ce petit axeco anlourdei:'? et 
le plan de la courbe autour de de: le diamètre donnant le 
petit axe prendra la position k l , faisant avec c o l'angle dv 
plan donné avec l'horizon. Le point K relevé eU tn, m', 
donne c n» pour petit axe de la projection horizontale. . 

On trouverait de la même maniée le petit axe de la pro- 
jection verticale. 

§ 146. Interseotion d'une apkère par unprisma; applica- 
tion aux écrouê. — ' L'intersection d'une sphère par un pris- 
me se redoit à la rocberche de l'iotersectioa d'une sphère 
par une suite de plans. Soit le prismea6cdc/^,/îg.2?ï, et la 



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— 155 — 
sphère ayant mèine aie vertical. La sectioD de la sfibère ' 
par le plan ab ou de parallèle aa plaa V, est un petit cercle 
dont g h est le diamètre. La partie utile de cette intersectioD 
estai, a'&*. L'iotersectiondelasplièreparlafacebcoufl^^ 
est le même petit cercle doBt la projectioD verticale est une 
ellipse qui a sod centre eo o, o : le grand axe est égal à gh 
diamètre du petit cercle , et se limite en o' m' à la tangente 
au cercle gA mené par le point ît la partie utile de cette 
courbe est fro, b'o' limitée à la parallèle a^b'e' kit. 

•Les têtes d'ècroos sont sourent façonnées en prismes ter- 
minés par une spbère ; on en troare la projection complète 
/Tg. 272{6m). 

§ 147. Intersection de deux surfaces de révolution ^ de 
deux tphèret. — Noos prendrons pour plan horizontal un 
plan perpendiculaire à l'un des axes , et pour plan vertical 
un plan parallèle aux deux axes. Supposons que les deux 
axes soient dans le même plan , et soient <i, a* a", le 1" axe 
/?£-. 273,et 6c, A'c'lesecond. Ces deux axes se rencontrent 
au point a, o. Si Ton prend le'point o poor centre d'une 
spbère ^ui coupe à la fois les deux surfaces et d'un rayon 
od par exemple, cette spbère TMicoutrera tes deux surfaces 
suivant deux parallèles de, fg de chacune des surfaces. Ces 
parallèles, tracés sur la même sphère, s'ils se rencontrent, 
donneront des pmntsde la courbe d'intersection des deux 
surfaces. Ces parallèles se reacoatrent suivant la ligne 
A,A' A" et les deux points de rencontre, se projettent ho- 
rizontalement à la renconlro de h' h" avec le cercle de 
décrit de a comme centre. On déterminera ainsi autant de 
points qu'<m voudra de la ligne d'intersection. 

Supposons deux sphères pour surfaces de révolution. L'in- 
tersection estunpetitcercle dont le plan est perpendiculaire à 
la ligne des centres. Soient o fîg. 274 , le centre de l'une des 
sphères, et a.,a' le centre de l'autre, La ligne qui joint ces 
deux points est oa^oa'. Rabattant le plan projetant de 
cette ligne, et les grands cercles suivant lesquels ils coupent 
lessphères, ces cercles se Coupent aux points 6 et d et lali- 



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, — i56 — 
gne 6 d est le diamèfre du petit cercle, ioterseclion 'des deux 
sphères. Le ceotre de ce cercle est donc en « qui se projette 
en c, c'. Il ne reste plus qu'à trouver les aies des ellipses , 
projections du petit cercle. Puisque te plan du petit cercle 
est perpendiculaire Â la ligne oa,oa\ ses traces seront pn*- 
peudiculaires à cette ligne , et par suite , le grand a'se de la 
projection horizontale du petit cercle, sera perpendiculaire Ji 
a(i,et le grand axe de la projection verticale perpendiculaire 
koa\ leur longaeur'est bd. On trouve le petit axecomme 
nous l'avons fait tant de fois en rahattant le diamètre qui 
doit le donner en cp faisant avec co l'angle complémentaire 
de celui que fait ao^ o a', avec le plan H, et prenante;» =6 «, 
projetant ensuite p et 7, la ligne «7 est le petit axe delà 
projection du petit cercle d'intersection des deux sphères. 

§ 1 48. Intersection £une ifhtet et d'un eylttulre droit, — 
Soit a, a' le centre delà sphère {fig. 275). Soit c, c'c" Taxe 
du cylindre. Pour déterminer des points de la courbe d'in- 
tersection , nous mènerons un plan d d parallèle au plan Y ; 
ce plan coupe la sphère suivant le cercle d d, d'd' et le cy- 
lindre suivant les génératrices c, e" e" et fy f f\ ces génératri- 
ces coupent le cercle 3u point e', e" et/", /^% qui sont des 
points de ta courbe. 

Les génératrices du cylindre, aux points £,/*, sont des 
tangentes à la courbe, car les plans tangents an cylindre 
sont ici perpendicaaires à It, puisque le plan dd passe par 
l'axe. Le plan qui paiise par le centre a de la sphère , dëter- 
mine les points delà courbe g' g", h'k" pourlesqnels le grand 
cercle de projection verticale de la sphère et la projection 
verticale de la courbe ont une tangente commune. En effet, 
pour ces points, le plan tangent ii la sphère est perpendicu- 
laire au plan V ; car le rayon du point de contact lui est pa- 
rallèle; donc l'intersection des deux plans tangents ou la 
tangente à la courbe, se projette verticalement sur la trace 
de ce plan. 

Enfin, si l'on mène les plans tangents au cylindre, mn, 
pq , ces plans donnent lieu aux points r',r", j'^3",pour les 



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— 157 — 
quels les rayons a'r'.a's'.a'r^'a' a" sont des Bormalçs a 
la courbe ou auxquels points la coorbe est tangente aux pe- 
tits cercleac]ediamàtres/>?etnin,déciils du point a' coDUue 
centre. Ed effet , si l'ou vaut trouver la tangente au point r, r' 
par 'exemple, il faudra nieiier les plans tangents aux deux 
surfaces. L'un de ces plans est />f, la tangente au petit 
cercle />9 en r^r' contenue dans le plap tangent ;>7 au. cylin- 
dre, sera également contenue dims le plan tangent à la spbêre, 
donc elle est l'intersection do ces deux platis , et c'est aussi 
la tangente à la courbe cherchée eu r,r'. Elle a pour projec- 
tion/) 9, et la tangente au petit cercle menée enr'. 

Le développement de cette coarlie est exécuté flg. 275* Au. 

La figure 276 nous offre une application de ce problème 
à la construction d'une boite à étoopes. Pour oxécnter le 
modèle de celle pièce , il faut en effet chercher l'intersection 
d'une sphère par un cylindre droit dont la base estunesnUe 
d'arcs de cercle raccordés eosemble et formant la couriie 
■abedef. L'interseetion étant développée, donne le moyen 
d'exécater les deux corps en relief, et de les a^embler. 



DES SURFACES GAUCHES. 

§ 149. Du plan gauohe, ou paraboloîde kyperboliifue. 
Bepréaentation de cette surface. Trouve* unpoint. — MoDS 
avons défini les surfaces gauches § 102; nous ne traiterons 
ici que du plan gauche,, surface engendrée par une droite < 
assajéUe k se mouvoir snr deux autres en restant constam- 
ment parallèle à un plan nommé plan directeur. 

Prenons pour plan horizontal un plan perpendioalaire k 
l'une des directrices, et ce plan lui-même poor plan direc- 
teur. Soit a.a' à" fig. 277, la première directrice, et b c, b' c' la 
seconde. Toutes les génératrices de lasurfacedevant ètrepa. 
ratlèles au plan directeur, elles seront toutes borizonlales 



i=,GoogIc 



— i58 — 
Soil4'«'paf exemple )a projection verticale de l'uoe d'elles, 
s'appuyant en d" et «' sur les deux directrices. Gea poiaU se 
projettent en a el e, et la ligne a e est la projectioD borizoD- 
tale de la génératrice. De même, si afqai s'appuie sur les 
deux directrices, en projectios horizoolale, est la projec- 
tion faorizootaled'une génératrice, pour avoir la projection 
verticale, il suffit de projeter le point fea f , et parle point 
f de mener une parallèle à / (. 

Od déterminera donc ainsi autant degènératrices qu'on 
voudra de cette surface. 

Il est aiséde remarquer que l'une d'elles,la génératrice a g, 
a pour projection le point g\ elleest perpendiculaire au plan 
V. Une autre ki, A't' est parallèle à la ligne de terre ; une 
troisième a sa projection horizontale i l parallèle à A c, et no 
s'appuie surcetteligne qu'en un point iorinimentéloîgnè; d'où, 
il suit que la projection verticale de cette génératrice sera si- 
tuée à l'infini, au-dessus de la ligne de terre, et toujours 
parallèlement à cette ligne ; il y a enSn une des génératrices 
situées dans le plan horizontal de projection ; c'est la géné- 
ratrice «itm qui passe par les points aet moii les directrices 
percent le plan H ; celle droite est la trace de la surface sur 
le plan horizontal de projection. 

Cette surface est évidemment coupée suivant des droites 
par des plans horizontaux ; car une génératrice quelconque 
commef/e, ft'e' est toujours située dans l'un de ces plans c^'e'. 
Pour trouver l'intersection de cette surface par un plan ho- 
rizontal quelconque, il suffit donc de chercher les points où 
ce plan coupe les deux directrices, et de joindre ces. points 
par une droite. 

Un point de cette surface étant donné en projection 
horizontale p, pour trouver sa projection verticale, nous 
mènerons la génératrice qui passe par ce point, et son 
intersection avec la perpendiculaire pp' kit, donne le 
point p,p\ 

■150. Double génération dapffraboloïde hyperboliqae, — 
' Celte surface est sosceptible d'être engendrée de deux ma- 



i:,Googk' 



— 159 — 
nières par une droite. Pour le démooUer, doqs ferocs 
voir que lelle qu'elle est décrite et engeodrëe, daas le para* 
-graphe prëcédeot , elle peut être coupée par un secoad sys- 
tème de plans parallèles suivant des droites, comme elle est 
coupée suivant des droites par un système de plans parallèles 
au plan directeur. EneOel, soientaa', 66', les deux direc- 
trices /tg. 278, et m n le plan directeur; la ligne a b qui joint 
les points de rencontre des directrices avec le plan mn est- 
une génératrice delasurface. Un second plan parallèleau plan 
m n coupe ces deux directrices en a' et 6' tels que a' 6' est 
aussi une géoëralrice de la surface. Soit enlia a" 6" une 3* 
génératrice, menons é'A' et 6"i" parallèles kaa' ; lirons 
bk"k'' , ai' et a ^", cette dernière ligne est parallèle â a" 6" 
et ai' l'est àa'6';nieDons dd plan do'.ti* parallèle aux deux, 
premières directrices o a' et 6 6' , il coupera «-«' et 6 6' en d et 
d', le plan mn snivaut o'ii parallèle à 6i', et le plan an' 
i'i' suivant â'd' parallèle à 6'*'. Joignonst/f^', puisparle 
point o", rencontre des deux lignes cfo' et a^", menons o"(i" 
parallèle â a a'. Cette parallèle sera â la fois située dansle plan 
a b" et dans le plan do'd'; donc elle rencontrera à la fois 
a"£" iidd'; prouvons que cette rencontre se fait au même 
point; appelons <i" le point de rencontre de la parallèle 
avec dd' et(i"'^le point de rencontre avec «" 6". On aura 
pour la première o"d" ;o*d':: o"'d', o' d'.'.bk" •.bk'i'.k" b": 
b'k\ ou, es réunissant les deux derniers rapports... o" d" ; 
o'd'::fc"6": A'6'. Mais o"o"' égalant 6"*", et «'d'égalant 
b' ft', on a û"d":o'd';:o 'o"':o'(/', d'où o"d" = o"o"'. 

Ce résultat prouve que dd" rencontre a" b" end". D'où 
il suit que toutes les génératrices de la surface sont coupées par 
un plan tel que d o'd\ parallèle aux directrices a a', 6 6', en dus 
poiatsd,d',d" qui sont eu ligne droite. Donc la surface peut 
êtrecoupée suivant des droites par un systèmede plans paral- 
lèles entre eux et aux deux directrices. De là, il est aisé de 
conclure la double génération de La surface. £d effet, dire 
(lue la surface peut être coupée suivant une droite par le 
plaudû'd', n'est-ce pas dire que la droite dd' qui s'appuie 



:,.;,l,ZDdby Google 



— 160 — 
eo d et eo d'' sot les deux gëDèratrices de première génération 
(i£,a'6',a tousses points sur la surface, et y est toute entière 
contenue. Si donc on prenait cette droite dtV pour généra- 
trice, qu'on l'assujéllt à s'appuyer sur les deux directrices 
ab. a' t' , en restant parallèle à un plan parallèle lui-même 
aux deux premières directrices , la même surface serait en- 
gendrée par cette droite. 

La Sgure aa^b'b est formée de deux génératrices a a', b 6' 
du second système de génération, et de deux-génératrices 
a b, a' t' du premier. Les deux premières sont les directrices 
de la seconde génération, et les deux autres, les directrices 
de la première. On voit donc que ce /quadrilatère gauche 
auquel la surface doit sa première dénomination de plan 
gauche^ renferme les éléments qui servent à déterminer la 
surface; le premier plan directeur est parallèle à ab, a^b\ 
et le second à aa' , bb'. Une droite glissant sur aa'. bb'j 
parallèlement au premierplan , ou glissant sur ab. a'b' pa- 
rallèlement au second plan, décrit également la surface. 

On lire comme conséquence de ce qui vient d'être dé- 
montré que : une génératrice de première génération ren- 
contre toutes celles de deuxième et réciproquement. 

Enfin, comme les droites aa\bb\ sont divisées aux 
points a", b"f en parties proportionnelles, on voit que si 
l'on divise deux droites quelconques en parties égales, et 
qu'on joigne les points de division deux à deux , la série des 
droites ainsi tracées, engendrera un paraboloïde hyper- 
bolique, dont le plan directeur sera par-allèle â ces droites, 
et les deux directrices seront les droites données; ce qui 
fournil le moyen de construire un paraboloïde hyperbolique, 
connaissant les deux directrices. 

Si le plan directeur était également dotinë, on cbercherait 
son intersection avec les deux directrices , et à partirde ces 
points , on porterait des distances égales sur ces droites ; en 
joignant les points de division , on aurait autant de généra- 
trices de la surface. 

§ 151< Représentation delà même surface par la seconde 



i.,CQOgIc 



— I«l — 

géHérationf traces de la turface. — Le Eecond plaD direc- 
leur étant parallèle aux deux premières directrices a, a' à", 
bc, b' c' , (tg, 277, ce plan sera D D'D". Pour trouver une 
géu^atrice quelcooque de seconde gëaèratioa, nous mène- 
roDS un plaof f« parallèle à Û D^D". Ce plan rencontrera 
denx génératrices quelconques de première génération de,d' 
"'.ff.rfi aux poioisa:, x\y, y'.Lai droite^Bj-, x'y% qui joint 
ces points, est une génératrice de deuxième gépération. 

Un point quelconque de la surface étant donné en projec- 
tion horizontale , x par exemple , on trouvera aisément son 
autre projection , el les deux génératrices qui passent par ce 
point. 

On peut remarquer dans la fig 277 , que tontes les géné- 
ratrices de deuxième géoératioD rencontrant celles de pre- 
mière, elles devront aussi rencontrer celle a^^ g' qui est per- 
pendiculaire au plan V.D'oii il suit que toutes lesprojeCtions 
verticales des génératrices de deuxième génération , doivent 
ici pasâer par le point g'. 

L'intersection de la surface par le plan vertical' de pro'- 
jectioD est la courbe Mr4P,QRS, elle s'obtient en cbêr- 
chaot la trace verticale de toutes les génératrices, tant de 
premièrequede deuxième généralion.Gette courbe doitaussi 
passer par le point^S puisque ce point est ta trace d'une gé- 
nératrice. La trace horizontale de la surface est la généra- 
trice am de première génération, comme nous t'avons déjà dit. 

En exécutant les consti'uctiuns , on voit que si l'on mène 
les deux généralrîces de première génération ki, kl, l'une 
parallèle à / 1, l'autre parallèle k be, toutes les génératrices 
comprises dans l'angleAa^donnentdes points de la première 
braoctieMr^ P,et toutes celles comprises dans l'angle supplé- 
ment ^ aï, donnent des points delà deuxième branche QR S. 

§ lâ% Plant tangents au paraboloîde hyperbolique. — 
Le plan tangent à une surface étant déterminé par deux 
tangentes menées respectivement par le point de contact, in 
deux courbes tracées sur la surface, ces deux sections pou- 
vant ici être les génératrices elles-mêmes qui passent par le 



:,.;,l,ZDdbyG00gIC 



— 162 — 
point donné, on Irooy'era te plan langent an point x, x' fîg. 
277, en faisant passer un plan ::':" par les deux généra- 
trices ar f, x'f etxj.x'y'. 

Lorsqu'une droite rencontre trois génératrioet du premier 
système, elle est elle-même une ginératrice du second système 
et réctproquement.'EB efîet,]a droile dd', fig. 279, n'est pas 
délerminëe comme génératrice de deuxième génération par 
In condition de s'appuyer en d et ri' sur deux génératrices 
delà première, il faut encoreajouter qu'ellesera parallèle au 
second plan directeur. Or , comme elle jouit de la propriété 
Ali rencontrer toutes tes droites de première génération, en- 
l'assuJétissaDt à en rencontrer une troisième à"li", elle 
sera donc entièrement déterminée. On peut encore dire : 
te paraboloîde hyperbolique, comme toutes les surfaces 
de second degré, ne peut être rencontré par une droite 
en plus de deux points. Si donc une droite comme dd' a 
trois points communs avec cette surface, elle y est toute 
entière contenue. 

U suit de là que tout plan qui passe par une droite de la 
surface, est tangent à celle surface. Eu effet Ce plan rencon- 
trera deux autres droites de la surface en deux points. Si 
l'on joiut ces deux points par une droite, cette droite étant 
sitnèe dans le plan , rencontrera la première et s'appuiera 
par conséquent sur trois génératrices de la surface; donc elle 
seraelle-méme une génératrice de l'autre génération. Le 
plan contiendra donc deux droites de la surface , et lui sera 
tangent an point où ces droites se couperont. Ainsi (fig. 278) 
le plan a a" b" fc" est tangent b la surface , car il passe par 
II" à", puis il coupe ab eta' 6' en a et a'. Ces points joints 
entr'eux donnent In ligne a «'qui rencontre o" 6" en a". Ce 
point est le point de contact du plan tangent qui contient les 
deux droites.»" b" et a u" de la surface. 

Le plan xyz (fîg, 279) qui passe par la génératrice de, 
d'e de première génération, est tangent à la surface. Il ren- 
rontre les deux génératrices /t m et fo, fo', l'une en A, Tau- 
Ire en n, n'. Ces deux points donnent la génératrice de 



3,q,l,ZDdbvG00gIe 



~ 163 -^ 
deuxième gënération , qui coupe d e, d' e' aa poîD tde cuu- 
lactt, (*. 

En faisaot tourner le plan ceyz comme charaière autour de 
de^d'e', il oecesserait pasd^étre tangeDt,maissoD poÎDtdecon- 
tact changerait; et serait toujours le point de rencontre de 
la gënératrice de seconde génération qu'il contiendrait avec 
celle de première qu'il contient déjà. Lorsque le plan est 
parallèle à l'un des plans directeurs, il ne rencontre aucune 
autre génératrice; il n'en est pasmoios tangent^ mais son 
point de contact est situé à i'inâoi. 

§ 153. Sections planes du paraboloïde hyperbolique. — 
Lorsqu'un plan quelconque coupe la surface dont il s'agit, 
it y a toujours sur la surface deux génératrices qui sont 
parallèlesà ce plan, l'ane de. première, l'autre de seconde 
génération , à moins que le plan ne soit parallèle à l'inter- 
section des deux plans directeurs , auquel cas les deux gé- 
nératrices se réduisent à une seule parallèle au plan sécant 
et situé h l'infini. Les deux gënéralrices parallèles au plan 
conpant, dans le premier cas, sont respectivement parallèles 
aux intersections du plan coupant par les deux plans direc- 
teurs. Dans ce cas, comme la surface est du second degré, 
la coorbe d'intersection qui a des points situés à l'iofini, est 
donc une hyperbole,dont les asymptotes peuvent être déter- 
minées; Quand une seule génératrice est parallèle au plan 
coupant, la section est une parabole. 

Pour démontrer ce qui précède, prenons la fig. 280, dans 
laquelle, ab, a' b' sont deux génératrices de première géné- 
ration, servant de directrices à la seconde, et aa',6 6' deux 
gëDéralrices de la seconde génération, servant de direc- 
trices à la première. Les deux plans directeurs sont: mn 
parallèle à a'b' etab^etchb" parallèle à aa'et^^'. Soit 
xy z un plan quelconque, qui coupe tes deux plans directeurs 
suivant xy^yz, Ilexiste deux génératrices, l'une du premier 
système, parallèle à a^j^, l'autre du second, parallèle à y s. 
En efTet> parla directrice aa' , menons un plan parallèle à 
^^. Ce plan rencontrera la seconde directrice 66' en b"; et- 



>;,l,ZDdbyG00gIC _ 



— 164 ~ 
si par ce point nous oieDons iioe parallèle à xy^ cette 
droite sera comprise dans le plan a 6"; elle reacoutrera 
donc aa'. Alors elle s'appuiera sur aa' et bb\ etcomme 
elle est parallèle âxj et par suile au plandirecteurmn, 
cette droite a"b" est dooc une génératrice de première 
génération. 

De même, un plan mené par a' b' parallèlement à y s, reii- 
contre ai en un pointai, et si par ce point on oiéne dti'pa- 
ralléle à yi, cette droite rencontrera a'b', puisqu'elles 
sont situées dans le même plan. Le plan dd' étant parallèle 
ayz,, et par suit« au plan directeur obb' qui contient jrz, 
cette droite est donc une génératrice de seconde gëDèratioo. 
Donc enfin il existe deux ^nèratrices de la surface pa- 
rallèle au plan coupant, l'une parallèle à l'intersection à;^ 
du plan coupant et du premier plan directeur, l'autre paral- 
lèle à l'intersection ^2 du plan coupaul et de l'autre plan 
directeur. Le plan parallèle amn, mené par a" b", ne rencon- 
trant aucuneautregènératricedela surface, lui est tangent en 
Dnpointsituéàrin6ni§ 151. Donc l'intersection de ce plan 
avec )e plan coupant xy z doit donner la tangente au point de 
la coui'be d'intersection situé à l'infini, c'est-à-dire une 
asymptote de la courbe. De même, le plan mené par dd' pa- 
rallèlementàc66'fieraittaagentà la surface en un point in- 
finiment éloigné , et l'intersectiou de ee plan avec xy z doit 
donner la seconde asymptote. 

Lorsque le.plan sécant tv est parallèle à l'intersection be 
des deux plans directeurs, le plan a'ag mené par aa' pa- 
rallèlement à t;i , se trouve parallèle à c b 6', et ne rencontre 
6fr' qD'àrinfinf. Il eu est de même dg plan fr'a'g'.Lesdeox 
lignes de la surface, parallèles au plan conpaoti et respecti- 
vement parallèles, l'une à tp el l'autre à vf , ou toutes deux 
à 6c, se réduisent dancà une seule parallèle à br.^ et située 
k l'infini. Le plan tangent mené par cette droite serait parai- - 
lèle au plan coupaot; par conséquent, la courbe n'a pas d'a- 
symptote et c'est une parabole. 

Nous pouvons réaliser en Géométrie descriptive, /t^. 2 8 1 , 



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— 165 — 
(oat ee que nous venons de dire sar là figare en relief 280. 
a, a'd'et b b'.bb^ sont tes premières directrices, gënèratrices 
de seconde gèDèraUon. ab et a'6',a'6'80Dt les directrices 
du second système, génératrices' do premier. Le plan cou- 
pant k/s rencontre le premier plan directeur, le plan H, 
suivantixj et le deuxième plandirecteuraioisuiTaDt a; o.xV. 
L'une des droites parallèlesan plancoupantseradoncparal- 
|Ëleàxj)'etraul'reàa;o,a;'o',a)nsi que les asymptotes. Le plan 
menèparn.nV, parallèlement à œj- coupe 6 6' en b". Donc 
a"6"mei]ëe parallètemeot à^ydoitrencontrera,ti'^,etc'est 
la génératrice de première génération parallèle au plan cou- 
pant. De même, le plan /"f ft,meoé par la droite a* 6' parallè- 
lemeDt hxo, x'à' rencontre a 6 en d. La parallélemeoée par ce 
poîotà3:0,a;'o'rencoatrea' A',et cette droite est la généra- 
trice de seconde génération qui est parallèle au plan coupant. 
Elle peut être trouvée ici plus simplementen remarquant que 
te point a,d'apparlieut à toutes les projections verticales des 
génératrices du deuxième système. Le plan tangent rt"6", 
parallèle au premier plan directeur , coupe le plan xyz de 
la courbe suivant la droite K S, AS, qui est une asymptote. 
Le plan tangent £ die mené par d£ parallèlement au 
deuxième pian directeur xo k coupe xyz suivant la seconde 
asymptote A' S', A' S'. 

On déterminera des points de la courbe d'intersection en 
cherchant l'intersection des génératrices par le plan coupant. 

Le plan coupant (^v,/(^. 282, parallèle a l'intersection 6r; 
des deuxplansdirecteurs, coupe lasurface suivant une para- 
bole dont on trouvera les points comme ceux de l'hyperbole. 

Gomme exemples, nous construirons les /t^. 283 et 284 
qui sont les coupes d'un paraboloîde par des plans parallèles 
et équidislants, donnant des hyperboles, et d^ plans parallé. 
les donnant des paraboles. 

§ 154. I^terseetian d'un paraboloîde hyperbolique par une 

surface cylindrique Soit a,a' a" fig. 285, l'une des direc- 

iricesde la surface gaucheetl'axe delà surface cylindrique 
droite. Soit ,6 c, A' f", la seconde directrice. Pour trouve 



i.vCoogIc 



— 166 — 
(les points de la courbe d'iotersecUon , nous prendrons un 
plan horizoDtal queleooqoe d'e' qui coupe le cylindre sui- 
vant un cercle, et la surface gauche suivant une génératrice 
dc.d'e'; cette droite rencontre la section du cylindre en 
deux points a;,a;', et j, y qui sont des [wints de la courbe 
d'intersection des deux surfaces. 

En employant les génératrices du second système, on 
trouvera également autant de points qu'on voudra de la 
courbe cherchée. Soit fg,f g' l'une de ces génératrices, 
elle rencontre le cylindre en v, v', et u, u' , qui sont égale- 
ment des points de la courlK. 

Ed menant les deux diamètres rectiingulairesAÎ, â^/ delà 
base di| cylindre , et déterminant les points de la courbe qui 
sont situés sur ces génératrices, on trouve les points., h\i', 
k' , pour lesquels les projections verticales des génératrices 
dti cylindre sont des tangentes. Les deux branches de la 
courbe sont tangentes en k\ Il est visible, en effet, que ces 
droites sont les intersections des plans tangents anx deux 
surfaces. 

La parallèle mnà ^c, menée parle centre ix, donne deux 
points de la courbe situés à l'infini sur les génératrices m et 
n du cylindre, dont les projections sont des asymptotes de 
la courbe d'intersection ; en effet , les intersections des plans 
tangents aux deux surfaces, sont ces génératrices elles- 
mêmes, 

La fîg. 286 offre un autre exemple dans lequel le cy- 
lindf e a une position différente. - 

§ 155. Sur quelques intersections de surfaces usitées dans 
les arts, dénominations qu'on leur donne. — Ptous termi- 
nerons la Géométrie descriptive par )a définition de quel- 
ques termes employés dans les arts de construction, et qiii 
se rapportent à des intersections de surfaces que les élèves 
pourront toujours exécuter à l'aide des notions développées 
dans ce cours. 

On appelle berceau, un demi-cylindre horizontal et creux, 
tel que ntcrf, a' b^ c d'e' f jtg.ï^l. Les murs ac,«"tf", bd. 



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— 167 — 
ti'd" qui soutiennent le berceau , se nomment piédroits. Le 
demi-cercle u 6 qui sert dedirectriceau cylindre, se nomme 
cintre; le plan a' 6', plan de nainsance. 
- Le berceau est droit j lorsque le plan d'entrée ab est yer- 
lical, et perpendicalaîre à l'axe; il est {>tais lorsque le plan 
d'entrée 6 g est vertical et oblique à l'axe. Enfin , il est en 
talus lorsque le pian d'entrée n'est pas vertical. Le berceau 
est ea/j^etn-cintre, lorsque le cintre est un cercle; surhaussé 
lorsque le diamètre vertical est pins grand que te diamètre 
horizontal et surbaissé dans le cas contraire. Il est en ogive, 
lorsqu'il est surhaussé et formé de deux arcs de cercle dé- . 
crils des points a et 6 comme centre, avec ab pour rayon 
A?. 288. 

On appelle voûte d^aréte,]a rencontre de deux berceaux 
qui se traversent, ayant des cintres égaux et même plan de 
naissance. 

La voûte d'arête est droite lorsque les axes des berceaux 
sont perpendiculaires l'an à l'autre fig. 2S9. Elle est biaise 
lorsque les berceaux se rencontrent obliquement /(g. 290, et 
enfin elle est Aar/ongue, lorsque les berceaux n'ont^pas la 
même largeur /i^. 291. 

La voûte en arc de cloître est celle qui est formée de deux 
berceaux de même cintre et de même plan de naissance, et 
qui se rencontrent sans se pénétrer fig. 292. 

On appelle lunette, la rencontre de deux berceaux qui ont 
•les hauteurs différentes et même plan de naissance, ou qui 
n'ont ni même plan de naissance ni même hauteur. 

La lunette est droite ou biaise selon que les axes des ber- 
ceaux sont perpendiculaires l'un à l'autre 09 ipclinés fig, 
293 et 294. 

On appelle (fe5cenfe,uDdemi-cy1indre incliné et creux for- 
mant une voûte. La descente peut être droite ou biaise. La 
P-S- 295 offre une descente droite rencontrant un berceau . 
cylindrique. 

On appelle tour ronde, un cylindre vertical et creux. 

lii porte en tour ronde est la rencontre d'une tour ronde 



i.vCoogIc 



— 168 — 
avec un berceau horizontal. Si l'axe du berceau rencoutre ' 
l'axe de la tour, la porte est diviie; .s'il ne le reDcoatre pas. 
elle est biaise. La ftg 296 présenle une porte droite en tçur 
ronde, et la /tg. 297 une porte biaise en tour ronde, 

La descente en tour ronde est la rencontre d'une descente 
avec la tour, elle peulétre droite on biaise. 

Une tour ronde en talta est nn c6ne droit et creux. 

"La porte droite en toar ronde et en talti» est ta rencontre 
d'un berceau dont l'ase coupe Itaxe du c6ne, fig. 298. Elle 
peut être biaise. 

On appel(e(fdm«, une -voiAK sphérique; la ^^. 299 offre une 
porte droite dans un d6me. C'est la rencontre de ce dôme et 
d'un berceau. 

On appelle arrière-voutture une surface réglée engendrée 
par une dn>ile assujëtie à glisser sur une horizootale ko 
jîg. 300et sur deux arcs de cercle verticaux a 6 et cd paral- 
lèles et perpendiculaires au plan H, Cette surface forme une 
voûte employée dans les arts deconstruclion. 

Pour en tracer une génératrice, par la droite ho menons 
un plan hv k' qui coupe les deux arcs en k' et g' qui se pro- 
jettent en k el g; la ligne kg est la projection borizontale 
d'une génératrice de la surfaceqni s'appuie enm,v surfto,v 
et dont la projection verticale est &' g\ 

Après avoir construit un assez grand nombre de généra 
trices, on trouvera aisément l'intersection de cette surface, 
par UD plan vertical tel que p <f. 

ij'arrière- voussure de Marseille est une porte, qui Se 
compose d'une porte droite pratiquée dans l'épaisseur d'un 
mur droit, et d'une petite voûte ou wotMswre, destinée à cou- 
vrir l'évasenient de cette porte. On en voit les projections 
dans la fig. 301. 

PRINCIPES SUR LES OMBRES. 
^ 156. Définitions. — Lescofpsdela nature se partagent 



i.vCoogIc 



—, 169 — 
en deux classes, sous le point de vue de leur mode de trans- 
œissioDde lalinuière. On distingue les corps lumiiteux par 
mx-memea, et les corps éclairés^ ou visibles par réSexioD. 
Les premiers sont ceux, .tels que le soleil, les étoiles, tes 
corps incandescents, d'où l'on suppose que le fluide lumi- 
DBUx s'échappe pour se commuDiquer aux appareils desti- 
nés à le recevoir directement, ou pdr réflexion ;' les seconds 
sont ceux qui ne sont visibles que parce qu'ils reçoivent la 
lamlére de l'un des premiers, et la transmettent à l'aide de 
leur surface , tels sont : les planètes , la terre elle-même et 
tous les. corps qai la recouvrent. 

La lumière la plus usuelle nous venant du soleil, ses 
rayons peuvent être supposés venir d'un point lumineux 
infiniment éloigné : alors ils peuvent être considérés comme 
parallèles. 

Gela posé, si l'on imagine qu'un rayon de lumière L suive 
tous les contours d'un corps A , fig. 302 , il engendrera une 
surface cylindrique enveloppe de ce corps, et ta ligne de 
contact des deux surfaces séparera évidemment la partie du 
corps A., qui reçoit l'aclioq du rayon lumineux , de celle 
qui ne la reçoit pas. Cette courbe de contact, est la ligne 
de séparation d'ombre et de lumière sur le corps A. La par- 
lie de la surface cylindrique enveloppe qui est privée de 
iQmière, et sitnée au-delà du corps A par rapport au corps 
lumineux , s'appelle Vombre du corps A. L'ombre partie par 
lecorpsAsurun corps B immergé en partie dans le cylindre 
d'ombre, n'est autre chose que la figure obtenue par l'în- 
Krseclioo des deux corps A et B. C'est la partie de la sur- 
face du corps B, privée de lumière par l'interposition du 
corps A entre B et le corps lumineux. 

§ 157- Deux problèmes généraux à résoudre sur les om- . 
brts. — lies questions qu'on peut se proposer sur les ombres 
peuvent se réduire à deux : \* déterminer là ligne de sépa- 
ration d'ombre et de lumière sur un corps donné; 2* trou- 
ver l'ombre portée par ce premier corps sur un autre quel- 
conque. 



>;,l,ZDdbyG00gIC 



— 170 — 

Le premfer {uroblème peut se résoudre d'uoe manière 
générale , eo faisant dans le corps des sections parafléles au 
rayon lumineux et menant des tangentes aux courbes, pa- 
rallèlement à ce rayon. Les points de contact appartiendront 
à la ligne de séparation d'ombre et de lumière. 

Le second problème se résoudra en construisant la sur- 
face cylindrique dont la directrice est la ligne de séparation 
d'ombre et de lumière et dont la génératrice est le rayon 
lumineux, et en cherchant l'intersection de cette surface 
par uoe autre sur laquelle l'ombce sera portée. 

Ces solutions générales sont susceptibles de nombreuses 
modlBcatioDs , eu égard à la forme des corps éclairés , et à 
celle des corps sut lesquels se forme l'ombre, Xfous en don- 
nerons quelques exemples , et nous renverrons pour le reste 
à l'ouvrage de IN. Similien , ainsi que pour la déleroiination 
des ombres eu projection oblique. 

§ 158. Des ombres sur les polyèdres. — Il existe une 
difTérence bien marquée entre les questions sur les polyè- 
dres, etcellesqui se rapportent aux surfaces courbes, sous 
le point de vue des ombres propres et portées. En effet , dè8 
qu'un point d'une face d'un polyèdre est éclairé, on peut en 
conclure que la face entière est éclairée. Et de même , si ce 
point est dans l'ombre, la face à laquelle il appartient 
est entièrement dans l'ombre. U résulte de là que la ligne 
de séparation d'ombre et de lumière sur un polyèdre ne peut 
être qu'une série d'arêtes. Il reste à déterminer quelles 
senties arêtes qui la composent. 

Pour y parvenir nous remarquerons que si l'on mène par 
une arête quelconque un plan parallèle au rayon lumineux, 
et si ce plan eutre dans l'angle formé par les faces dont 
celle arête est l'intersection , ces deux faces seront ou toutes 
deux éclairées ou toutes deux dans l'ombre, comme le fait 
comprendre immédiatement la flg. 303; donc cette arête ne 
fera pas partie de la ligne de séparation d'ombre et de lu- 
mière. Si au contraire, le plan parallèle à la lumière, laisse 
d'un même côté les deux faces dont l'arête est l'intersection, 



3,q,l,ZDdbvG00gIe 



— 17i — 
alors les rayons lumineux interceptés par la première face 
ab, /(g. 304, ne pourront éclairer la seconde face ac. Donc 
i'arète a fera partie de la ligoè de séparation d'ombre et de 
lumière. 

La Géométrie descriptive offre un moyen bien simple de 
reconnaître si le plan mené parallèlement à la lumière, 
entre ou n'entre pas dans l'angle formé par deux faces. 
On détermine la trace de l'arête dont ces deux faces sont 
l'intersection , et les traces de ces deux faces. Itfenant ensuite 
par l'arête un plan parallèle au rayon lumineux , si la trace 
de ce plan entre dans l'angl e formé par les traces des faces , 
l'arête n'est pas ligne de séparation d'ombre et de lumière. 
Elle en fait partie au contraire, si elle laisse les traces des 
faces d'un même celé. 

§ 15^. Ombre d'un prisme. — On peut appliquer ce qui 
Tient d'être dit à l'ombre d'un prisme donné par ses projec- 
lions orthogonales. 

Soit a bcdef^hilt. a' b' c^ le prisme donné , /ïg. 305. 

Soit L, L' le rayon lumineux , les deux faces di, dhse cou- 
pent suivant l'arête t/t, les traces de ces deux faces sont ; 
pq.pr, se coupant en p trace de l'arête rf t , le plan paral- 
lèle ALL', mené pardi, d'V, a pour trace horizontale <p(. 
Cette ligne laissant les traces pq.pr, d'un même c6té , fait 
partie de la ligne de séparation d'ombre et de lumière. Au 
contraire, les deux faces fi/i, dg, ont pour traces, p'^',/)V; 
le plan parallèle à LL', mené par l'arête ch, a pour trace 
«'p'ï', qui entre dans l'angle q'p'r' ; donc celte arête cA, fc'A', 
n'est pas une ligne de séparation d'ombre et de lumière. En 
continuant ainsi, la base inférieure étant dans l'ombre et 
la base supérieure éclairée, on trouverait que la ligne de 
de së'paralion d'ombre et de lumière se compose ici des 
arêtes dt, de, ea, ab, bg, gk, ki, ce qui forme le contour 
idealighi. 

Si maintenant on veut trouver l'ombre portée par ce 
prisme sur d'aulrcs corps, il faut mener des rayons lumi- 
neux par tous les points de la ligne de séparation d'ombre et 



i.vCoogIc 



— 172 — 
de lumière, et chercher riotersecUonde ces rayoDs avec-les 
corps donnés.Or, tous les rayons lumineux, menés partons led 
points d'une même arête , sont compris dans un même plan 
parallèle k ce rayon , donc , pour avoir l'ombre portée par 
une arête, il ^uffÎFa de mener par cette arête un plan paral- 
lèle à la direction de la lumière , et de chercher son inter- 
section avec les corps sur lesquels se porte l'ombre.. Cette 
ombre portée sera limitée par les deux rayons menés par les 
deux extrémités de l'arête. 

Par exemple, si l'on veut avoir l'ombre portée par le 
prisme précèdent sur le plan H, nous mènerons par une des 
iirêtes d i, d' i', de séparation d'ombre et de lumière , le plan 
spl parallèle à ta lumière; celte trace indéâoie contiendra 
l'ombre porlée. Pour la limiter, il suffit de chercher l'om- 
bre du point, d,d' et celle du point t, C, ce qui se fait en 
menant des rayons lumineux par ces poiotsj ils percent le 
plan H, l'un en d", l'autre en i". En procédant ainsi pour 
les autres arêtes de séparation d'ombre et de'jumière, on 
obMeot enfin l'ombre portée sur lé plan H, i"d"e"a"b"g"h'^i'\ 
par la figure ideabghi. 

Pour trouver l'ombre portée par ce prïsme sur un autre 
corf,s,un autre prisme, par exemple, onchercfaerait l'inter- 
section des plans tels que spt, avec le second prisme en 
ayant soin de limiter ces intersections aux points où les pa- 
rallèles au rayon lumineux menées par les extrémités de 
chaque arête, rencontrent la surface de l'autre prisme. 
C'est ce qui est exécuté sur la fig. 306. 

On trouvera pour exercice , fig. 307, l'ombre d'une auge 
de meule. 

§ 160. Ombres d'un cylindre, — Soit abcdefg k , 
aeg'c les projections d'un cylindre droit, fig. 308. Soit 
L L' le rayon lumineux. 

La ligne dé séparation d'ombre et de lumière , sur la sur- 
face sera composée de deux génératrices. Celles suivant les- 
quelles deux plans tangents parallèles à la lumière, tou- 
chent le cylindre. Pour obtenir ces plans , nous mènerons ud 



3,q,l,ZDdbvG00gIe 



— 173 — 
plan Hcl parallèle an rayon lantineax , et à la génératrice 
du cylindre. Ce plan rencontre le plan a'ti^m de la base du 
cylindre suivant une droite np, a' c', Menant à la basbabcd, 
a'c' deux tangentes parallèles à celte ligne , ces tangentes 
seront comprises dans les plans tangents cberchés. Donc les 
génératrices de contact sont les droites o^, o'(j\ rs, r's'. 

r reste à savoir si c'est l'arc o ter ou l'arc oadr qui est 
la ligne de séparation sur la base. Pour cela, il suffit de 
chercher ^ la base aO&d est ou non éclairée. Or, si par un 
point <edela baseaict^ et de la partie éclairée de la sur- 
face, nous menons no plan parallèle au rayon lumineux et 
à la génératrice, ce plan rraicontrera le cylindre suivant une 
génératrice et la base-suivant une drmte. Ces deux droites 
se coupent an point a, etsi p^r ce poiat on mène un rayon 
lumineux, suivant que ce rayon entrera dansl'angle des deux 
droites ou les laissera d'un même côté, la ligne de la base 
sera éclairée ou dans l'ombre. Donc la base elle-même sera 
ëclHirée ou dans l'ombre. Ici cette basé est éclairée; c'est 
donc obcr qui est la ligne de séparation d'ombre et de lu- 
mière , ainsi que sa symétrique opposée q ehs ; donc- la ligne 
totale de Mparation est la figure obcrsheqo. 

L'ombre propre, comme la ligne de séparation d'ombre 
et de lumière, se composera de deux parties, l'e^ace ren- 
fern^è entre les deux plans twgents suivant 07, r s, et les 
gQffaces cytîDdriqnes dont obcrei qehs sont les directri- 
ces, etLL' la génératrice. Les plans tangents ont pour tra- 
cée horizontales ïu, V X. L'ombreportëe des points 0,0', r,r', 
y, 7', s.s, sur les plans de projection sont o", r",q"s". 
Construisant enfin la surface cylindrique àool obcr et, qeks 
sont les directrices et LL' la génératrice, nous achèverons 
l'ombre portée par le cylindre sur les plans de projection 
et nous aurons la figure o"b"c"r"s" k"e"q"o". 

Les mêmes plans tangents et les mêmes surfaces cylindri- 
ques obcretqeks serviront à trouver l'ombre portée par 
ht cylindre sur une autre surface quelconque , comme un 
cylindre, un c6ne, une sphère, en cherchant les iotersec- 
12 



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— 174 — 
tions de ces'plànsetde ces aurfaces ey>iadriqaes,par ce cy> 
lindre , ce côoe, cette sphère 

§ 161. Ombres d'une sphère. — Ea faisant glisser an 
rayon lumineux tangentiellement à une sphère,il eoguidrera 
une surface cylindrique droite , à base circulaire , enveloppe 
de la sphère , et la touchant suivant ua grand cercle , dont 
le plan sera perpendiculaire au rayon lumiDeux. En effet, 
si ab,fîg. 309, est un rayon lamrneux tangent à I'uq des 
grands cercles de la sphère au point d , en faisant tourner 
a 6 et le grand cercle autour de mn parallèle à a &, le grand 
cercle engendrera la sphère, et la, ligne ab engendrera un 
cylindre drmt enveloppe, dont le grand cercle de perpen- 
diculaire kab sera la courbe de contact avec la sphère. 

Soit donc e,cMe centre de la sphère, ^g. 310. La ligne de 
séparation d'ombre et de lumière étaot le grand cercle de la 
sphère dont le plan est perpendiculaire an rayon lumineux 
e ù. c' (', pour trouver ses projections, il suffit de chercher 
les axes des deux ellipses suivant lesquelles il se projette. 
OccupoDS-Bous d'abord de l'ellipse, projection horizontale. 
Elle a pont grand axe le diamètre horizontal du grand cer- 
de. Or, comme et,c l' , est perpendiculaire à ce grand 
cercle, et par suite à tous sea diamètres , c^ui que nous con- 
sidéroDsétaot borliontal , sa projection horizontale (^« sera 
perpendiculaire à c/, § 51, fig. 82, et § 76, fig. 133. Le 
petit axe sera dirigé sur cl, et pour avoir sa grandeur, il 
faut projeter horizontalement le diamètre du grand cercle 
qui est perpendieulaire au diamètre horizmita). Le plan 
verticale^ de ce diamètre se rabattant sur le plan H, le 
rayoD lumineux cl, çl', se rabat en e" l, et le diamètre 
cherché en /"'g" perpendiculaire à c"^ faisant f'g" ~ae 
et projetant ^' etg" en/' etg, /"g sera le petit axe de l'el- 
lipse. 

Le grand axe et le petit axe de l'ellipse de la projection 
verticale se trouvent exactement de la même manière , avec 
les éléments de la projection verticale , et l'on obtient m n, 
Qp pour ces deux axes. 



:,.;,l,ZDdbyG00gle 



— 175 — - 

Les points f, f g, g', sont les points le pins haut et le plus 
bas de la courbe, ou ceux pour lesquels la tangente est ho- 
rizoDtaie. Les tangentes en f'.g', sont donc parallèles à / 1, 
Se même, les points 0,0', p,p\ sont les pluséloigoésdu plan 
' V, et les projections borizootales des tangentes en ces points 
sont parallèles k It. 

La ligne de séparation d'ombre et de lumière étant dé- 
terminée, nous prendrons cette ligne pour directrice d'un 
cylindre dont le rayon lumineux sera la génératrice, et nous. 
aoroos l'ombre de la spbére. Soa interseclion avec les corps 
qu'il peut rencontrer donnera l'ombre portée de la spfaère 
sur ces corps. 

Si nous voulons ici trouver l'ombre portée sur >es plans 
de projection , nous remarquerons que le cylindre d'ombre 
étant un cylindre droit à base circulaire, le plan H ou le plan 
V le coupe suivant une ellipse (90), dont le grand axe est; 
l'intersection d'un plan passant par l'axe, et perpeodicu-^ 
lîUre au plan coupant. Ce plan est le plan cl, le grand axe 
est donc o/, dont on obtiendra les extrémités, en cberehant: 
l'ombre portée par les points f.f^ g,g'. Ou obtient les points 
f'%g"\he petit ax9 est dooné par l'Oïiabredu diamètre r^e, 
d'e" eatt"e"= de. Les axes de l'oiubresur le plan Vs'ob-. 
tîendrontdela même manière : l'oiubre de ap^o'jt' en o''^" 
donnera le grand axe, et l'ombre de nin,fn'n' en m"n"4 
donnera le petit axe. Ces deux courbes se rencontrent ici 
sur U eu 9 et r. Ces points peuvent être obtenus directe-, 
ment eu menant par 1 1 un plan parallèle au rayon lami- 
neuxqui coupera le cercle de séparation d'ombre et de lu- 
mière en deux points; par ces deux points, on mènera 
deux parallèles au rayon lumineux qui reocpotrent /t «us 
points cbercbés ^ et r. 

L'ombre de la sphère se porte donc ici sur les plan H et V, 
et elle y forme la figure î/"'e"rt>"q. 

§ i62. Ombres d'une niche spkéri^ue. — Soit a, a' le 
c«itredela spbère, /tg. 311, placé sur l'axe du cylindre. 
SoitJ,^' le rayoD lumineux. La ligne âeséparaUond'ombre 



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— 176 — 
et de lumière se composera de la génératrice b,b'b",'et 
d'une portion du demi-eercle 6" c" d". L'ombre se portera 
eo partie sur le plan H, eu partie sur le cylindre , et eo par- 
tie sur la sphère. Le plan vertical bfmeùé par la cénéra- 
trice 6, a pour trace fa/', ombre portée sur le plan H. Ce plan 
coupe le cylindre suivant la génératrice f, f f\ qui est l'om- 
bre portée par h sur le cylindre. La limite /"de cette ombre 
s'obtient en menant un rayon lumineux par le point 6, b". 
L'ombre portée par an point g g' du cercle b"e"d" sur le 
cylindre s'obtiendra en menant par ce point un rayon lumi- 
neux g k, g' k", qui rencontrera le cylindre en k, /c", point 
delà courbe d'ombre portée. 

Pour trouver l'ombre portée par ce même cercle sur la 
spfaére, nous ferons remarquer que le cylindre d'ombre 
dont le rayon lumineux est la génératrice, entrant dans la 
, Ëphère par un grand cercle b"c'd", doit également en sor- 
tir par un grand cercle. 

En effet, fig. 312, le plan vertical étant supposé passer 
par le rayon lumineux ac,û o est le centre de la sphère, 
on voit que le cylindre dont a c est la génératrice et go l'axe, 
entrant dans la spbére par le grand cercle fb, en sort par 
le grand cercle ce. Ces deux cercles se coupent suivant un 
diamètre o, aux extrémités duquel les génératrices sont tan- 
gentes à la sphère. 

maintenant, revenant h la /7g. 311, il est aisé devoir que 
les tangentes à la sphère, parallèles au rayon lumineux, la 
touchent aux points m',n', et que laligneni'Tt'estalorsI'in- 
tersection du grand cercleÀ"c"(^"et.de son ombre portée 
sur la sphère; m'n' est donc le grand axe de l'ellipse. Le 
diamètre qui donnera le petit aie sera perpendiculaire à 
m'n' : il est situè dans le plan i'a' perpendiculaire au plan 
V. Pour le trouver, il suffit de chercher l'ombre du point 
g,g' sur la sphère. Or, le rayon lumineux ^k, f;k", prend 
la position g* q' telle que a'q' '=' aij, quand on fait tourner 
le plan dn grand cercle l'a.', et qu'on le rabat sur le plan V. 
I>onc le point p est celui où le rayon ^'9' rencontre la 



D,.;,l,ZDdbyG00gIC 



— 177 T- 
sphère. Ce poiat se relève en f qui doDoe <C p' pour le petit 
ase de l'ellipse. 

L'ellipse et la courbe d'ombre sur le cylindre se raccor- 
dent au point t d'intersection du grand cercle horizontal 
6"(i" et du cercle d'ombre portée. On peut obtenir ce point 
directement, en remarquant que 6"<^" est la projection du 
grand cercle horizontal , et que a' |) est celle du cercle d'om- 
bre portée sur le plan Sa rabattu. fc"(i" eta'psontdonc 
les projections de leur intersection. Rabattant le cercle \t" d" 
surlepiaaV, un point 3;, x' de cette intersection se rabat 
m x" tel que ij>x" = rx, et l'inlersection se rabat en a.'x'*. 
Le point (' est le point cherché, il se projette en (. 

§ 163. Ombres (Tune vis quadr angulaire. — Soient M' 
les projections du rayon lumineux, fig. 313, etc. c'c"celles 
de l'ase d'une vis quadrangulaire. La ligne de séparation 
d'ombre et de lumière se composera, pour un filet, du bord 
at^ de ce filet et d'une génératrice de; pour le noyau, d'une 
génératrice m n. Pour avoir l'ombre portée par le bord 
a d sur le noyau , nous mènerons par un point /^ /^ de ce 
bord, un rayon lumineux, qui rencontrera le noyau au 
point g, g' de cette ombre portée. Si l'ombre se porte sur le 
filet lDi-méme,pour trouver cette ombre, il faudra chercher 
l'inlersection du cylindre d'ombre At>aiad est Ja directrice, 
parla surface du filet. Ponry parvenir, nous imaginerons ud 
plan vertical hk, parallèle à la lumière, et qui coupera la sur- 
face supérieure du filet suivant une courbe, qu'on obtiendra 
. va traçant les hélices décrites sur des cylindres différents et, 
ep„, etcherchantlesinterseclloosA, /■.... de ce plan avec ces 
hélices-. L'ombre r,r' du point f,^' sur cette courbe, don- 
nera un des points de l'ombre portée par le bord ad sur la 
surfoce supérieure du filet. Les projections de cette ombre 
sontrs, r" z'. 

Si l'ombre renferme le point n, il n'y aura pas d'ombre 
portée par ie noyau sur le filet. Si elle ne le renferme pas , 
on cherchera l'ombre portée par ie noyau sur le filet, en 
menaotle plan tangent suivant m n , et cherchant son in- 
tersection par la surface du filet. Celte iotersection peut se 



3,q,l,ZDdbvG00gIC 



— 178 — 
froover en déleraiiDant rinterseclion des génératrices de )a 
surface , par ce plan xy tangent suivant m n. On obtient 
ainsi la courbe xy, n a^y',, cachée , ou vue , suivant qu'elle 
est, ou qu'elle n'est pas dans l'ombre. 

§ 164. Ombres d'une vis triangulaire. — Pour trouver 
l'ombre de la vis triangalaire, nous emploierons un procédé 
analogue à celui qui a servi à déterminer l'ombre r' z" dans 
le paragraphe précédent ; nous mènerons, par un point q.q* 
du bord ad^ fig. 314, un plan q r parallèle au rayon lumi- 
neux. Ce plan coupe les hélices tracées sur les cylindres cp, 
ct..„ suivant les points ^,/i',fc,^',,., ce qui forme la courbe 
kk.-. A.' /:'... Le rayon lumineux mené par le point f,i;', ren- 
contre cette même courbe au point r^r qui est un des 
points de l'ombre portée par a€^ sur le ûlet. On obtient ainsi 
la courbe rst, r's'i'. 

PRINCIPES DE CHAJlPEriTE. 

ASSEMBL&GES. 

§ i65. Dé/înitio7i3. — La cA^rpen/erû est l'art de cons- 
truire les édifices avec des pièces de bois. Ces pièces forment 
an réseau dont la légèreté n'exclut pas la solidité ; et don- 
nent le moyen de diminuer la maçonnerie, mode de cons- 
traction toujours plus dispendieux. 

Les pièces de bois qui composent une charpente quelcon- 
que, doivent être réunies entr'elles de la manière la pips 
propre à assurer la stabilité du système , tout en opérant la 
décomposition ta plus convenable, des forces qui réagissent 
sur ce système. 

On nomme assemblages les parties saillantes et creuses des 
pièces de bois, qui se réunissent ou s'arc-bontent , et 
qui sont destinées à assurer le contact de ces pièces. 

Un premier principe presque général de charpente , con- 
siste à n'employer que des pièces èquarries. 

Lorsque deux pièces de bois se rencontrent, les axes de 
ces deux pièces d^Hvest être placés dans un même plan , car 



>;,l,ZDdbyG00gIC [ 



— 179 — 
sans cela l'une d'elles solliciterait l'antre à foarner autour 
de SOD axe. 

Les faces parallèles au pian des aies portent le nom de 
faces deparementj et les autres faces d'assemblage. 

Ou peut diviser les assemblages en deux classes : les as- 
senblages par tenon et mortaise, et les assemblages par 
moues : ils dérivent tous plus ou moins de ces deux modes > 
que nous allons définir. 

L'aiaefnbiagp à tenon et mortaise est celui dans lequel le 
bout de l'une des pièces est façonné en polyèdre d'une 
forme donnée, et l'extrémité de l'autre creusée en polyèdre 
d'une forme parfaitement égale. 

L'assemblage par moïses est celui dans lequel une ou plu- 
sieurs pièces sont saisies par deux autres pièces dont les 
plans sont parallèles , et qui portent le nom de moïses. 

§ 166. Assemblage par tenon et mortaise, — Cet assem- 
blage, dans toute sa simplicité , est reprëseDlé , /ï^. 315, il 
est destiné à réunir deux pièces qui doivrait faire eotr'elles 
,UD augle droit. Le tenon est le parai lélipipède en nUetabod, 
taillé à l'extrémité de la pièce A. La mortaise est le paral- 
lëlipipéde creux a' b' c' d', pratiqué dans la pièce B : ces 
-deux parai lélipipèdes ont la même forme elles mêmes di- 
mensions. Les parties de,cf,se nomment Vabout du tenon. 
La surface semblable d'e', cf. que cette partie recouvre 
sur la pjéceB, se nomme portée det'about. Les fa.em ad, be 
sont \esjotus du tenon , et les faces correspondantes sur la 
pièce B, les^'i]U£«.dela mortaise; (es épaisseurs du tiois d'e*, 
c' f ae Domment^'oti^ de la mortaise. 

L'effort auquel les pièces doivent résister, étant le même 
pour le tenon et les jouées , ces dernières doivent être égales 
àl'épalssenr du tenon. D'où il suit que pour obtenir la mor- 
taise il faut diviser l'ép^sseur e'f en troi» parties égales. 

On unit les .deux pièces à-t'aide d'une cbeville , nuis celte 
dernière ne doit point-être considérée comme aécessaire<, 
parce qu'une charpente doit suffire à toutes les conditions 
de solidité et d'équilibre par le secours seul de ses assem- 
tiiages. 



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— 180 — 

Lorsqae deux pièces doiveot s'assembler obliquemeot , 
fig. 316, ou tronque la partie antérieure du teooD par ub 
plan ab perpendiculaire au plan des axes et à la face df de 
la pièce B. Il est d'aillears également coupé comme le pré- 
cédent, par un plan b e parallèle à la même (aeeiif. L'a- 
bout du teuoD est ici la face a 6 et sa portée est a' b'. Cette 
forme du teuon a potir but de permettre l'introduction de 
la pièce A dans la pièceB perpefidiculairement à la face d f^ 
et de donner à la portée une résistance plus grande. 

Toutefois, les ioconrénieDts de cet assemblage ne sont 
pas tous évités. Les âbres du bois en a 6, étant coupées 
obliquement, et celles en a' 6' perpendiculairement aux fi- 
bres, elles ne sauraient résister également à une pression ua 
peu grande et les premières poucrsieut être détruites. D se 
forme alors des dëcbirures à la racine a du tenon où l'angle 
X est fort aigu. Pour éviter cet accident , quand la pression 
est trop grande , on (mbrève les pièces K et B. - 

,Vn en^révemeat est une entaille a' g' A.', /tg. S17, faite 
dans \ik pièce B, sur la jouée de la mortaise, dans la direc- 
tion de a' 6' et telle que a' g' = un quart de ab'. Le tenon 
prend alors la forme ebgk, et l'angle ag A étant à peu prés 
droit, cette disposition corrige le défaut précédemment in- 
diqué par la petitesse de l'angla x. L'assemblage devient la 
fîg.a"g"k"e"b". 

Les assemblages que nous venons de décrire sont employés 
lorsqne;la pression transmise par la pièce A tend à 1& rap- 
procher de la pièce B. 

§ 167. Asiemblage à queue d'hironde. Trait dcJupi- 
ter. — Lorsque l'assemblage doit résister à un effort de 
traction dans le sens de la longueur de la pièce assemUèe, 
on emploie alors un assemblage à queue d'hironde , dans le- 
quel le (enoo entre dans la mortaise par l'une des faces de 
parement de la pièce fi. Cet assemblage est représenté fig. 
31'8, l'épaisseur ab de la queue d'hironde est la moitié de 
celle de la pièce A, et elle se loge en entier dans la pièce B, 
cd=|e/; etg/t=c/'. 

La queue d'hironde est à recouvrement lorsqu'elle n'oc- 



>;,l,ZDdbyG00gIC 



— 181 — 
cupe, fig. 319, Que la moitié de la pièce À, et qn'dle est 
eatièrement logée dass la pièce B. 

Les queues d'hiroode sont eocore en nsage dans les as- 
semblages d'angle, fig. 320. 

Pour résister à un effort de traction, on enaploie encore le 
Vrait de Jupiter. Il est représenté fig, 321. Cet assemblage 
estdestinè à réunir deux pièces dans la direction de leurs lon- 
gueurs. Sa solidité dépend de la résistance que la cobésioo 
des fibres oppose à l'effort qui tend à séparer les pièces. 

Pour augmenter cette résistance, on multiplie le nombre 
des entaille%e, mais au-delà de trois ou quatre, on aug- 
mente la difficulté de la coupe sans accroître la solidité, 
parce que les entailles n'ont plus assez de profondeur pour 
être solides. 

-§ 168. Assemblages des pièces croisées. — Pour fixer 
deux pièces A et B, à angle droit, fig. 322, on emploie l'as- 
semblage croisé à tiers de bots dans lequel les deux pièces 
sont entaillées cbacune au tiers de son épaisseur, et Bur une 
longueur égale à la largedr de l'autre pièce. 
' L'assemblage à mi-hoie est celui, fig. 323 , dans lequel 
chaque pièce est eutaillée de la moitié de soà épaisseur, de 
sorte que lorsqu'elles sont assemblées , leurs surfaces de pa- 
rement s'affleurMit des deux côtés. On maintient les assem- 
blages an moyeu d'un boulon. 

Cet assemblage porte plus particulièrement le nom^ de 
croia: de Saint- André , lorsque les pièces A et B se croisent 
sous un angle quelconque , il est représenté fig. 324, et pro- 
jeté sur chaque face d'assemblage. 

Lorsque Tangle de croisement des pièces est trop aigu, 
pour empècber qu'il ne se lève des éclats aux bords aigus 
des entailles, on embrève les pièces A etB,ce qui fournit 
la fig. 325 , dans laquelle l'assemblage est projeté sur les 
faces d'assemblage. 

§ 169. AsBembtage par moiges. — Comme noust'aTOB^ 
Ta g 164, les moises sont des pièces-jumettes-qui embrassent 
d'autres pièces, le plus souvent en les croisant pour les lier 
eotreelles. Elles ont, sur les assemblages précédemmeat étu- 



>;,l,ZDdbyG00g'le 



— 182 — 
dtés, l'avantage d'éviter en partie le creusement trop consï- 
dèrabledes mortaises, et par suite l'affaiblissemeti t des pièces. 

La plus simple des dispositions à adopter pourmoiserdes 
pièces est représentée fig. 326, où la position des pièces 
moisées est variable par rapport aux moisesî Les moïses 
peuveDt être , plus ou moins entaillées, ainsi que les pièces 
moisées, aflu que les premières ne puissent pas glisser. 

La pièce A est moisée sans entailles faites dans cette 
pièce elle-même. La pièce B est entaillée, la pièce C est 
assemblée à recouvrement, § 166, la pièce D est moisée par 
l'angle. ' , 

Les moïses sont ordinairement retenues par des boulons 
à vis et des écrous. 

DES COMBLES. 

§ 170. Pans de bois, combles, fermes. — Nous ferons 
une application de qaelques-uns des assemblages précédents 
à la charpente d'un comble. 

On nomme pan de bois un assemblage de pièces de lioîs 
dont le nombre et le mode d'assemblage sont relatifs à la 
solidité que doit avoir la construction à laquelle il doit être 
employé. 

.Les pans de bois horizontaux sont les planchas, les pans 
de bois verticaux forment des murt ou des doiaong, et les 
pans de tiois iDClinés composent les eomblts. Ces deraierci 
sont destinés à porter les coavertures dea bâtiments. 

Un des éléments principaux de la charpente d'un comble, 
est ce qu'on nomme une ferme : c'est un chevalet triangu- 
laire dont le plan est vertical, et qui se répète de distance 
eu distance sur toute la longueur du bâtiment; il s'appuie 
sur les mors de l'èdifiGe , et reçoit le poids du reste de la 
charpente, et celui de la couverture. 

Lesfermes doivent donc être disposées d'après les condi- 
tions les plus avantageuses pour assurer leur invariabilité et 
leur plus grande résistance possihie , eu égard à la charge 
qu'elles doivent supporter. 

Les fermes peuvent être très variées de forme , comme les 



3,q,l,ZDdbvG00gIe 



— .183 — 
combles aaxquels elles se rattachent. Nous choisirons pour 
exemple les combles à deux égouts. 

§ 171. Comble à deux igouts. — Od appelle ainsi le 
comble le plus généralement employé , et qui est formé dé 
deux pans de bois, ègalemeQtîDcliDé9,s'étendant d'un bout 
à l'autre du bâtiment, s'appuy^nt par la base sur deux 
murs parallèles, et se rencontrant par le haut, suivant une 
ligne ou arête borizontale qu'on nomme fatle du comble 
ou faîtage. Quand te toit n'est formé que d'un pan, i) est dit 
eu appentis. 

L'élèmeot principal d'un comble étant la ferme , voyons 
eu quoi elle contribue à la solidité de l'édiâce. La ferme la 
plus simple est composée de trois pièces, deux arbalétriers 
et un tirant, fîg. 337. Le lirani est la pièce horizontale t, 
dans laquelle s'assemblent les deux arbalétriers a.Quelle que 
soit la charge du toit de la charpeate, elle pourra toujours 
être représentée, sur chaque pan, par une force verticale p 
ou p'. Ces deux forces égales ont une résultante qui passe 
évidemment pair le faite f; d'où il suit que ce point est celui 
qui supporte toute la charge de la toiture. Mais cet effort i*, 
à cause de son obliquité par rapport à la direction des arba- 
létriers, se décompose en deux autres; et s", qui, transportés 
à l'extrémité inférieure des arbalétriers, s'y décomposent de 
nouveau chacun en deux autres forces m et g ou m' et q'. 
Les composantes verticales y et f ' représentent la charge 
que les murs supportent, et les composantes horizontales 
m et m' représentent les efforts produits par la charge 
pour renverser les murs. La solidité de ces derniers 
étant supposée suffisante, c'est donc contre les efforts tn et m' 
qu'il faut lutter pour assurer la solidité de la toiture. 

Le tirant a précisément pour seul objet de détruire les ef- 
forts m et m' par son assemblage avec les arbalétriers ; il ne 
porte aucune charge verticale que son poids entre les points 
d'appui. Cet assemblage, et par suite, la dimension des 
arbalétriers, doit être de force à résister à la poqssée m. Eu 
égard à la longueur de l'arbalétrier, sa section transversale 
'devra être calculée de manière-à résister à la pression p ou 



3,q,l,ZDdbvG00gIe 



— iu — . 

plutôt à sa composante 2 normale au plan. Ces calculs se 
feront aisément à l'aide des notions données en mécanique 
sur la résistance des matériaux. 

Le principe des fermes étant posé , voyons comment on 
modifie ce système pour en augmenter la solidité , l'adapter 
à une largeur de bftlimenl plus ou moins grande , et enfin le 
rendre propre à recevoir la couverture. 

La résultante des efforts se faisant au point f, il est essen- 
tiel de consolider l'assemblage qui doit s'y trouver. Pour 
cela, on assemble les deux, arbalétriers dans une pièce verti- 
cale P appelée /joinfon , fig. 328. Les difTérentesiermessont 
reliées eotr'elles à leur partie supérieure par une pièce ho- 
rizontale /^ appelée faîtage,, dans laquelle s'assemblent les 
poinçons ; à la partie inférieure deux autres piér«s s, s éga- 
lement borizoDtales, nommées sablières , eoDt'pXaeées sur 
les murs verticaux m et.m, et servent à relier les différenls 
tirants, et de plus à recevoir l'assemblage des cftevrons ne. 
Ces chevrons doivent supporter immédlalement la couver- 
tare. B'un, arbalétrier à l'autre qui lui est [fbrallèle, s'éten- 
dent des pièces horizontales p. p,..-. appelées pannes^ dont 
le nombre dépend de la largeur du bâtiment. Ces pannes 
sont fixées sur les arbalétriers par des tasseaux. Sur les pan- 
nes sont appliqués les chevrons , et sur ces chevrons la 
couverture. La grandeur d'équarrissage des pannes dépend 
de la distance des fermes. 

L'assemblage du poinçon et du tirant a la forme décrite, 
g 165, ^g. 315. L'assemblage de rabalétriér soit avec le ti- 
rant, soit avec le poinçon, est celui décrit, § 165, fîg. 317. 

Le poinçon est donc la pièce qui reçoit la charge des ar- 
balétriers et de ce qui les recouvre ; tout se rattache à cette 
pièce. Le tirant t pouvant lléchirsous son propre poids', et 
tendre à rapprocher les murs, «a le soutient à l'aide d'un 
étrier qui passe par dessouset se Ûxe au poinçon à l'aide de 
boulons. 

ha poinçon est assemblé dans le tirant , sans exercer de 
charge sur lui , il supporte au contraire le tirant : s'il est as^ 
semblé , c'est pour qa'ii n'oscille pas. 



3,q,l,ZDdbvG00gIe 



— t85 — 

Les pannes et leur charge tendant à faire fl^cbir les ar- 
balétriers , pour les soutenir, on fixewleux liens l, t sous ces 
arbalétriers et à la hauteur des panoes, que l'on assemble 
dans le poinçon; on reporte ainsi la cbarge qui produit la 
Oexion, sur le poinçon- 

Quelquefois on supprime les liens /, l et on leur substitue 
une pièce horizontale e appelée entrait, (ig. 329, soutenue 
elle-même par des sous-arbalétriers a,a'. Cette disposition 
a l'avantage de laisser libre tout l'espace renfermé entre le 
' tirant et l'entrait, pour en faire un. grenier. Le poinçon 
est lié à cet entrait et le soutient. 

Lorsque le nombre des pannes est assez grand, fig. 329 , 
OD emploie à la fois pour les soutenir des liens l, l, un entrait 
e, et des contre-fiches nn inclinées pour qu'elles produisent 
plus d'effet. On pourrait également y ajouter des aissel- 
liersa', a'. ■ 

En exanoinant avec soin le rôle que joue chaque pièce de 
bois dans la charpente d'un, comble, on peut voir que le 
poinçon , pièce verticale , est , à cause de la direction de ses 
fibres par rapport à celle as sa charge , dans la position la 
plus favorable pour résister à cette charge. Il sera toujours 
possible de calculer sa section , eu égard à cette charge, et 
aux diverses entailles qu'il doit subir. Les tirants et 1^ en- 
traits sont an contraire dans la position la plus favorable à 
leur rupture, et l'on ne doit perdre aucune occasion de les 
rattacher à la partie supérieure de la charpente , et même 
lorsqu'ils doivent supporter un plancher, et que le bâtiment 
est trop large, on les soutient avec des colonnes , fig. 330. 
Les arbalétriers, ces pièces essentielles de la charpente , doi- 
veot attirer toute l'attention des constructeurs. Ils doivrat 
être soutenus aux points qui correspondent aux pannes, 
par des liens et des contre-fiches, qui tous doivent reporter 
la charge sur le poinçon, sans permettre dans aucun cas 
qu'une partie de cette charge soit supportée par le tirant. 



3,q,l,ZDdbvG00gIe . 



CHARPENTEDE QUELQUES MACHINES. 

§ 172. Boues d'engrenage. — ' Mous D'entrerons ici dans 
aucun détail relatif, soit an calcul de la force et des dimen- 
sions des dents des roues d'engrenage, soit à leur forme; 
Qogs renverrons pour cela à aotre cours de mécanique ; 
nous nous contenterons d'indiquer la nature des pièces de 
charpente dont sobt composées ces roues. 

La fig. 331 représente l'engreuage de deux roues cylin- 
driques construites entièrement en bois. Cette forme de 
roue, sous le nom de rouei est sonreut employée pour 
transmettre le mouvement d'une roue hydraulique, sur 
l'arbre de laquelle elle est montée. Les dents ne font pas 
corpsavecla roue, elles sont rapportées sur la jaote dans 
des mortaises qui y sont ^creosées, on nomme ces dents des 
atluehons, leur forme est représentée /î^. 332. La jante// 
est composée de plusieurs pièces assemblées bout à bout , 
quelquefois par un tenon fort court,quelquefoîs ansslparud 
«mplegoujoo. Gettejanle est combinée pareotaillespeuproT 
fondes, el fixée par des boulons, à une enrayure composée' 
de 4 pièces 6, assemblées à mi-bois, et à entailles récipro- 
ques. Ces quatre pièces laissent entr'elles on vide carré, dans 
lequel entre la partie carrée c de l'arbre tournant, portant 
nue embase contre laquelle l'enrayure s'appuie, el où elle 
est retenue par nn coin d qui traverse l'arbre. 

Les dents doivent être ajustées avec précision dans les 
mortaises. Elles portent sur leur épaisseur un petit épaule- 
ment sur chaque c&lé qui fixe leur position , et permet de 
les serrer fortement au moyeu d'une clef qui traverse leurs 
queues. Les dents sont coupées sur leurs bouts par un pan 
pH-pendiculaire à leur longueur, qui permet de frapper 
dessus avec un maillet en bois. 

§ 173. Roxies hydrauliques. — La même disposition esf 
souvent adoptée pour les roues hydrauliques. Quelquefois 
aassi on relie les jaotes à l'arbre à l'aide de rayons. Ge 
mode d'assemblage est surtout convenable lorsqu'on emploie 
une charpente en fer. 



i:,Googk' 



~ 1S7 — 

Nous emprantoas an colonel Emy la description d'une 
roue à aubes courbeseuboiST/ig' 3S3,compoBée de cinq cou- 
ronnes, parallèles p dans lesquelles sont assemblées les palet- 
tes courbes; ces couronnes, ou plateaux,SDntforméeBde deux 
épaisseurs de madriers réunis par des vis à bois et de pe- 
tits boulons, les joints d'une épaisseur r^poodaut au milieu 
des madriers de Pautre. Les jantes sont reliées à l'arbre par 
des rayons r boulonnés sur leur face, et reçus sur la cir- 
cooféreace de l'arbre dans des anneaux en fonte, centrés 
sur l'arbre au moyen de coins o qui remplissent l'intervalle 
entre l'arbre et leurs parois intérieures. 

Chaque rais est maintenu dans des encastrements formés 
sur deux rondelles. Tune fixe en façon d'embase g, qui fait 
partie de l'anneau dans lequel passe l'arbre, l'autre mobile 
f, pour qu'elle puisse serrer les raies par le moyen des bou- 
lons qui la traversent, ainsi que la rondelle ou embase g. 

Les tourillons sont en foote, chacun t est Sxé à l'arbre 
par l'intermédiaire d'une embase m dont il fait partie, et 
qui est boulonnée sur l'anneau g dans lequel passe le bout 
de l'arbre. Les coins c servent à ajuster les anneaux eu fonte 
de façon que les plateaux soient tons exactement cintrés^ 
les rais dégauchis ainsi que les emplacements des aubes, et 
pour que la roue tourne bien rond sur son axe. 

La fig. 334 représente aussi une rooe hydraulique à la 
Poncelet; mais entièrement en fer et en fonte, établie aux 
forges de Guérigoy, et qui met en mouvement les laminoirs 
propres à étirer le fer destiné à la fabrication des câbles. 
Les trois couronnes e sont en t6le et formées de plusieurs 
segments rivés entr'eux comme le montre la âgnre. Ces cou- 
ronnes sont montées sur des bras on croisillons b en fer 
forgé , sur lesquels elles sont aussi ûxëes par deux rangs de 
rivets. Pour former l'assemblage des aubes sur les couron- 
nes, on a employé des tasseaux en fonte t qui prennent la 
courbure des aubes, et que l'on fixe par quatre rivets 
contre les faces intérieures des couronnes; à chacun de ces 
tasseaux sont ménagées des oreilles sur lesquelles on bou- 



i.vCooglc 



loDDe les bords des feuilles de tôle qui composent les aubes ; 
.les huit bras sont ajustes sur des plateaux en fonte n, en 
laissant de chaque c/tté de leur largeur, an vide étroit dans 
lequel on chasse des clavettes composées d'acier et de fer. 
On les fixe ensuite avec deux boulons, et pourles consolider, 
on les relie vers le milieu par des octogones o en fer; les 
plateaux n sont retenus par des clavettes sur l'arbre bd 
fer carroyép. 

§ 174. Grues en bats. — On sait que les grues sont des- 
tinées à soulever de lourds fardeaux, et à les transporter 
d'au point à un autre, dans uu certain rayon. 

Les grues des fonderies peuvent être faites en bois. Saos 
entrer dans les détails de leur cooslruction, nous dirons 
qu'elles sont généralement composées d'uâ arbre a fig. 335 
qui pivote à la partie inférieure sur une crapaudine, et 
tourne à la partie supérieure, dans un collier. Dans cet ar- 
bre sont assemblées, Soit en le moisant, soit à tenon et mor- 
taise, deux bras parallèles 6, formant la voUsie la grue, â 
l'extrémité desquels est placé le poids à soulever. Les ef- 
forts supportés par ces pièces, sont reportés à l'aide de jam- 
bes de force> , sur l'arbre vertical. 

Les grues de quai peuvent être construites comme l'io- 
dique la figure 336 . dans laquelle l'arbre est noyé dans la 
maçonnerie , le pivot étant toujours placé à la liartie infé- 
rienre. It porte en b un anneau en fonte autour duquel se 
trouvent disposés des galets qui le maintiennent dans sa po- 
sition verticale. La rolée v est assemblée dans l'arbre avec 
embrèvement, etmoisée ainsi que l'arbre, à la partie supé- 
rieure, par deux aros-boutants d, fixés sur l'arbre par p!u< 
sieurs boulons. 



>;,l,ZDdbyGbOgIC 



TABLE DES MATIÈRES 

CONTENDES DANS CE VOLIJME. 

OOVBB SX OiOMiTaiE SBSOBZFTITE. 

Pag... 

Al an t" propos » 

Em%a I »iî 

DES COURbES. > 

THÉORÈMES RELATIFS A LA GÉOMÉTRIE DE L'ESPACE 5 

PKËLIHINAIBBS.' 

$ I. Bat de la gtoméirre deacrîptiTe 9 

$ 2, Dëtermiuer It poaitibn i'an point 10 

§ 3. Déterminer It position d'un point dîna un plan ifaïd. 

§ 4. Déterminer la posiliao d'un point dans l'eapace ibid. ^ 

§ 5. Déterminer la poiitiou d'un point i l'aide de ses projections 

sur deoz plana quelconques Il 

§ a. Flans de projection , litpie de terre, ligues projetantes 13 

$ 7. Si (les projections u et v d'on point k dé l'eapsce Ag. à, on 
abaisse des perpendicQlaires bf et vpsur la ligne de 
terre, dans chacun des deux plana , elles se rencontreront 

sur cette ligne de terre Ibid. 

§ a. Réciproquement , ti des deux points h et v pris, l'an dans le 
plan horizontal, l'autre dans le plan vertical, ou abaisse les 
perpendiculaires ap et vf sur la ligne de terre, et sL ces 
deux perpendiculaires totibent au aiÈme point p , les poinis 
H et V, seront les projections d'uu même poiat de l'espice. . ibid. 

5 9. ' Rabattement des plans de projection l'un sur l'autfe 13 

S 10, Projections d'un point dans le rabattement des plans de 

projection. — Conséquences U 

5 11. Définir une épure ibid, 

% 13. Distance d'un point aux plans de projections lUd. 

$ t;i- Projections d'un point dans toutes ses positions ibid. 

S 14. Projection d'ane ligne, d'une ligne droite, plan projetant... ts 
S la. Une droite de l'eapaceest délerminëc, lorsqu'on connaît ses 

projections sur les plana H et V ibid. 

S. 10. Projections d'one droite dans toutes ses positions ibid. 

S 17. Déterminer la position d'une courbe dans l'espace ; — coari>e 

parallèle k l'un des plans de projection IS 

'S IS. Déterminer la position d'nn plan dans l'espace. Traces d'un 

plan 19 

S 19. Traces d'un plan dans toutes ses positions ibid. 

DiqilizDdbyGoOglc 



— 190 — 

§ !0. Ce que slfcoiSe en géométrie descriptiTe : donner ou trouver 

un poiDt une, droite, un plan 21 

§ II. Prendre un point sur une droite. Faire passer une droite par 

un point , par deux points ibid. 

§ 2!. Trouver l'intersection de deui droites; condition pour que 

deux droites >e coupent.. 22 

§ 13. Les projections de deux parallèles sont parallèles. — Par un 

point donner mener une parallèle i une droite donnée Ibid. 

S 24. Cunstruire les projections d'un paralièlipipède connaiuant 
les projcctioos de .ses trois ar£tes contiguËs, données de 
grandeur et de direction ■. ., 23 

§ 35. Les projections d'un plan étant données, trouver sa projec- 
tion sur un plan perpendiculaire à l'un des deux premiers. 
Même qupstisn pour une droite ibid. 

§ 26. Etant données les deni projections d'un palier sur les plans 
V et[I,lrouversa projection sur nu plan perpendiculaire ani 
deux premiers ihid, 

§ 27. Delà représentation des surtaees courlies 2i 

§ 38. Delà représenta lion des poljêrirea 2o 

§ 19. Des divers moyens de représenter les corps par le dessin : 
Croqais, projections orthogonales, projections obliques, 
perspectives, ombres, coupes 27 

§ 30. Avantages et inconvénients des projections orthogonales. ... 31 

§ 31. Avantages et inconvénients des projections obliques 33 

§ 33. Avantages et incooiénients delà perspective 32 

§ 33. Conventions adoptées pour le tracé des lignes et pour celui 

des parties cachées 33 

§ 34. Définir les traces d'une droite sur les plans de projection ... 34 

§ 35. Déterminer l'es traces d'une droite dont les projections sont 

données ibid. 

§ 36. Lorsqu'une droite est située dans un plan , ses traces sont si- 
tuées sur les traces du plan ihid, 

§ 37. Lorsqu'un point est situé dans un plan , ses projections ne 
sont pas généralement situées sur les traces du plan. Quand 
celte coïncidence a-t-elle lieu ? ; 35 

§ 36. On ne peut se donner un point ou une droite, appartenant 

h un plan, par leurs deux projections ibid. 

§ 39. Une seule projection d'un point ou d'une droite d'un plan 

étant donnée, iepointou la droite sont déterminés, ibid. 

S 40. L'onedes projections d'une droite situéedans un plan élant 

donnée, tronier l'autre projection ibid. 

5 41. Qnand une droite parallèle à l'un des plans V ou H est située 
dans un plaa quelconque , sa projection sur V ou sur H est 
partlJile à la trace du plan sur ce taème plan de projection. .16 

S 42. L'une des projections d'un point situé dans un plan étant 

donnée , trouver l'autre projection ihid.' 

§ 43. Trouver Hntersection de deux plans 37 

S 44. Des rabattements ; de leur utilité 39 

^ 45. Un pointd'un plan étant donné, trouver son rabaltemenl sur - 



>;,l,ZDdbyG00gle 



• — 191 — ' 

r.g... 

le pliB H, quand on fait tourner le plan autour de sa trace 
hortzomale pouT le rabattre sur leplanH. Remarquer quels 
GODatruMlon doitnel'aDt;le duplan avec l'un des plana V oaH. 39 

$ 46. Babattement d'une droite quelconque, d'une drotte et d'un 

plan dans tontes leurs positions. ., 41 

. § 47. Le rabattement d'un point ou d'une droite étant donné , r,e' 

Iroster les projections do point ou de la droite i2 

§ 48. Habatiement autour d'une parallèle à la trace du plan 44 

§ 49. Intersection de deux pians dans quelijues cas particuliers... 47 

S 50. Faire passer un plan par un point, par nne droite, par dcui 

droites, par un point et une droite, par trois points 4B . 

$ 51. Faire passer une circonférence par trois points donnés, troQ- 

Ter leà projectiona du centre , la grandeur dn rayon , et les. ^gf 
projections de la circonférence SO 

-§ 52. Diviser ane circonftirence en parties égales ; trouver les pro- 
jectiona d'une roue d'engrenage cylindrique. , . ; 5Î 

§ S3. Trouver les projections oitliogonalea d'un palier placé paral- 
lèlement aui plans de projection 5â 

% 64. Projections d'un cube, d'une pyramide régulière, d'une pyra- 
mide quelconque 5» 

$ bb. Projection orthogonale d'un cube placé sur un plan quelcon- 
que dont les traces sont données il 

$ 60. Usage du problème précédent pour projeter orthogonale m eut 
un corps placé snr un plan quelconque. — Remarque sur 
les échelles 59 

§ 57. Procédé généraf pour tronver la projection oblique d'un 

corps 6Î 

$ &8. 'Uo point étant donné , tronrer sa projection oblique 64 

§ 59. TrouTer la projection oblique d'une ligne inclinée d'une ma- 

Dière quelconque sur tes plans B etV iUd. 

S 60. Trouver la projectioit oblique d'un chapeau de palier et d'un 

coussieei ' fls 

$ 61. Projection oblique d'un cube placé sur nu plan quelcon- 
que ". ibid, 

§ az. Usage du problème précédent pour projeter obliquement un 

corps placé sur un plan quelconque ^ 

§ B3. Deuï plans parallèles ont leurs traces respectivement paral- 
lèles. Par un point donné mener un plan parallèle à un plan 
donné ibid. 

§ 64. Trouver l'iniersection de trois plans 8' 

^ 65. Par une droite donnée mener un plan parallèle i une autre 

droite donnée 08 

§ ce. Par un poiut donné mener un plan parallèle i deux droites 

données ibid- 

§ G7. Par un point donné mener une droite qui en rencontre deuï 

autrps non situées dans le même plan 'Wd 

§ es. Mener une droite qui eo rencontre deux autres non situées 

dans le même plan , et qui soit parallèle i une troisième ... 69 

£ 60. Transmettre l'action d'une force d'une direcllon donnée eu 



by Google 



— 192 — 

une antre ëgklement donnée, cl non sltnde daoa le nfme 

plan 1 «9 

§ 70. Trourer le point de rencontre d'une droite et d'an plan,... 70 
S 71. CoDstmire lea projections d'un parrallèlipipède cvnnaitUDt 
la diagoaale donnée de grandeur et dé diiecllon , et le* di- 
rections de» «rWe» iWd- 

$ 73. Ombre d'une auge de meule ' 71 

§ 73. D*s coupes , 72 

$ 74. TrouTer la dislance de deux points donné» par lears proJ«c- 

, tiona , 73 

S 7S. TrouTer la distance d'un point i un plan 74 

§ 70. TrouTer la distance d'un point i une droite 70 

§ 77. Trouver la distance de deux pUni parallèles, de deux droites 

parallèles , d'une droite etd'un plan parallèles 78 

§ 78. TroUTer la plus courte disUnce de deux droites non situées . 

dans le mËoie plan ibid. 

§ 79. Troater l'angle de deut droite» dont les pro}ections sont 

données 80 

§ 80. Trouver l'angle des traces d'un plan ibid. 

§ 81. Partager l'angle de deux droites en deux parties égales 81 

§ 82. Trouver l'angle d'ane droite et d'un plap jbid. 

% 83. Trouver l'angle de deux plans dont les traces sont données. . . 83 

§ 8i. Trouver l'angle d'un plan avec les plans de projection. «3 

$ 85. Partager l'angle de deux plana en deux parties égales ibid. 

§ 80. Mener une droite qui fasse avec les plans de pro}ectiO|U de^i 

angles donnés h et v; même queaion pour un plan 84 

§ 87. Les trois angles plant d'un angle Irièdre étant donnés, trou* 

ver les trois angles dièdres ibid- 

§ 88. Réduire un angle è l'iiorlron 8S 

§ S9. Notions succinctes surlea cadrans solaires 8fi 

§ 90. Résumé des opérations géométriques à exécuter pour cous- , 

truireun cadran solaire «8 

§ 9t. Tracer la méridienne sur un plan borizontal 89 

§ 92. Construire un cadran sar nn plan horizontal 90 

$ 93. Construire UD cadran aolaire sur un plan vertical 91 

DES POLYÈDRES. 

S 94. luiersection d'un prisme par une droite, d'une pyramide par 

une droite 83 

§ 95. Intersection d'an prisme par un plan , d'une pjramïde par un 

plan...* 9* 

$ 9e. Développement des intersections précédentes. Son usage pour 

exécuter les corps en relief. Prisme, pyramide 95 

S 97. Intersection de deux prismes i pénétration et arrachement... 97 

S 98., Intersection d'un prisme et d'une pyramide 100 

DES SURFACES COURBES. — MOTIOHS GÉWÉRAiES. 
§ 99. De la génération des aurfaces; surfaces do second dogré — loi 



:,.;,l,ZDdbyG00gIC 



— 193 — 

$' 100. Sarfice» Je réfolatlon, ddOnltlani 103 

S lot. S urficçs refilées , surfaces driidoppabln, déflatthiiu ; torfa- 
'ces cyliodriques, coniques i défeloppcmeuts de ces sur- 
faces , 103 

$ 102. SnrAices rëgM«i; surface» gaocbes , défluitfams, plana 

gancbes , lOS 

$ 103. TsngcDtea et plans taogenta »iis aorfsces coarbes. Dëflal- ' 

tlon» ibid 

S t04. IntM'iection de surface* coarbes par des droites, par det 

plaos, par d'antres sorf aces courbes; tnétbodes géuéralca.. lOt 

DES SURFACES CYLINDRIQUES.' 

S 105. De la représentations des surfaces cjllndriqaes. Tout plan 

tangent contient ane génératrice 107 

$ 106. Un point d'une surface cjllndrique étant donné par l'une 

dose* pnijectiona, tronier l'autre. )09 

$ 107. Plan tanKcnt i une surface cylindrique; trois cas Ml 

' $ I08. Flan: langent an cjlindre droit dans <inelqne« cas particu- 

Mers........ 113 

$ 109. UtiliU des plans tangents pour raccorder les aorfama. 114 

$ I tO.lnterscclion d'une.surface cylindrique par nne droite...... ibid. 

§ 411. Intersection d'une aurfsce cjlindrlqae par nn plan > tan- 
gente, rabattement et déTeloppenent 119 

§ lu. Intersection d'an cylindre droit par un plan obli<|ne. Pro- 
jection oblique du tronc ils 

S I [3. Exécuter en relief une aurftce cylindriqae et ses direrse* 

sections 120 

§ 114. intersection dedeni surfaces cylindriques, iHigenle et dé- 
veloppement, protection obliqna : ibid; 

S 115. Cas auquel on peut ramener l'interaeetion de deni «^lin- 
drca quelconques. Intersection de deux cytindrto droits. 
Chapcaa de palier, toysnx 113 

$ lie. De l'hélice, déBnition, construction, tangente , 114 

S 117. Surfaes gaocfae bélicolde; définition, construction tïfi 

S 118. Vis; aiet;Tisà filet quadrsngulaire, i filet triangulaire, b 

Siet carré ', IK 

$ 1.19- Projectioiis d'one tis qnadragalaire , pas de la tis. -Vis 

simple, Tis double; leur usage 118 

( 110. Projections d'une ils t,r<soguUire 139 

S 111. Ecron.déaniilon.constraetion. Projections obliques des Tis. 

Moyen rapide de construire les projections des courbes., ibid. 

§ 111. Coupe de la Tis et desonécrou par un plan 130 

§ lia. Des escaliers 131 

DES SUBF&CeS WHIQUBS. 

$ 114. De la rqwésentatien des surfaces coniques. Tout plan taa- 

gent conliem une génératrice. 131 



i-,CoogIc 



— i94 — 

§ ta. Un poÎDtd'unv surface conique étant donné par l'une de «es 

projecttoBS, trouTCT l'autre 133 

$ lie. Plaa tangent àuneaurtacejcoaique. trou caa 135 

§ 137. Plan langent iun cAne (ln>itdajk»quelquescasparticulieta. 13a 

$ 128. Interjection d'une surface conique par une droite 137 

^ 139. Intersection d'une surface cuni que par un plan ibid. 

§ 130. Coadiliona pour qu'un plan iMupe une surface conique sui- 
Tanluuedes iraU courbes du deuxième degré. Asymptotes 

de l'hjpecbole, 139 

§ 131. InteraecttODd'uncADedrnit parun plan, trpiscas, laugenie. 
rabiitteoient , déielappeinent ; prujection oblique des 

sections 141 

§ 132. Intersection d'un cône et d'un cylindre; de deux cônes. . . . 143 

^ 133. ApplicatioD aui robiaels 145 

DES SURFACES DE RËVOLCTION. 

J 134. De la représentation de ces surfaces 1 4fi 

§ 135. Un point d'nne surface de rérolation étant donné par l'une 

de «es pn^eclKns, irouTcr l'aatre '147 

J 136. Tout plan tancent à une surface de rérolution est perpen- 
dicul«ire au plan méridien qui poasepar le point de cou- 

tact ibid. 

§ 137- Plaa tangent 1 une surface de ré*olation par un point ibid. 

$ 138, Plan tangent a U atihère par un point 148 

§ 139. Man tangent à une surface de réiolntion par un point ex- 
térieur. — Lieu géunjétrique des points de contact. — 

Plan tangent parallèlement 1 une droite 149 

§ 140. Plan langent à une surface de révolution par une droite. . . 150 

§ 141. Plan tsDgent i une sphère par-uae droite Ibid. 

^ 143. Plan jugent à uae surface de réfointion paraUélemeut i 

un plan. Cas de la spbére 1&2 

§ 143. Intersection d'une surface de réiolulion par une droite ibid. 

^ 144. Intersection d'une surface de réToiution par un plan ,163 

^ I4a. lutcrsection d'nne spbére par un pisn 154 

§ 146. Intersection d'une apbère par un prisme; application anx 

écrans ibid. 

§ 147. Interseclioiidedeuisurfacesde révolution, dedeuxsBhères 155 

^ 148. Intersection d'une spbére et d'un cjlindre droit 15S 

DES SURFACES GAUCHES. 

S 149. Do plan gauche, ou parabololde hyperbolique. Beprésenia- < 

tion de celte surface. Trouver un point 157 

§ 150. Double géné<-atfon du parabolulde lin>crbolique .' 1511 

§ I5[. Représentation de la uiëme surface par la seconde généra- 
tion; traces de la surface 160 

§ 153. Plans tangents on parabololde hyperbolique 161 

§ 153. Sections planes du parabololde hyperbolique 163 

§ 154. Intersection d'un parabololde hyperbolique par une surface 

cylindrique. '... - tQâ 



:,.;,l,ZDdbyG06gk"' 



— 195 — 

P.gcs. 
§ 165. S'ir quelques interseclions de surfaces usitées dans les arls, 

dénomi nattons qu'an leur donne IG6 

PRINCEPES SUR LES OMBRES. 

5 Ift6. Définitions ^ 168 

§ lôT. Deux prohUmen génériai à résoudre SUT les ilinbres 169 

§ 158. Desombressurlespolyéde»...; ITd 

§ 159. Ombre d'un prisme i 171 

§ 160. Ombres d'un cjliodre 172 

§ IGl. Ombfes d'une sphère 174. 

§ 162. Ombres d'une nicbe ephértqae .'. , . 17S 

§ 163. Ombres. d'une vis quadiangulaire 177 

5 164. Ombres d'une ris triangùlnire 178 

PRINCIPES DE CHARPEHTE. — ASSEMBLAGES. 

S 165.' Définillons Ibld, 

§ 166. Assemblage par tenon et mortaise 179 

^ 167. Assemblage à queue d'bironde- Trait de Jupiter -,.. fso 

§ 1 68. Assemblages des pièc'es croisées I ISt 

§ 169. Assemblage par raoiseg ibid. 

DBS COMBLES. 

§ 170. Pans àe boFs, combles, fermes 1S2 

§ 171. Comble à deux égouls 183 

CHARRENTE DE QUELQUES MACHINES. 

§ 17ï. Roues d'engrenage 186 

§ 173. Roues hydrauliques ibid. 

§ I7i. Ornes en bois -. 188 



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Full text of "Cours de géométrie descriptive et ses applications au dessin des machines, a l'usage des éleves des Écoles royales d'arts et métiers"

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